当x 在无穷大时x分之 a的x方-1 &br/& 求极限是多少？ （过程) 谢谢
当x 在无穷大时x分之 a的x方-1
求极限是多少？ （过程) 谢谢 15
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2^x=1/1/2^x
2^x乘以sin1/2^x=sin1/2^x除以（1/2^x）
1/2^x=t
当x—&无穷大时,t—&0,(sint)/t=1
（1）当a&1时，limx趋于无穷大(a^x-1)/x罗比达法则=limx趋于无穷大(a^xlna-0)/1=limx趋于无穷大a^xlna=无穷大（2）当0&a&1时，limx趋于无穷大(a^x-1)/x=-1/无穷大=0希望采纳，有疏漏请回复。
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理工学科领域专家关于高数极限的问题 。 怎么看函数是连续的啊？详细说明下或举例下简单的和复杂的例子_百度知道
关于高数极限的问题 。 怎么看函数是连续的啊？详细说明下或举例下简单的和复杂的例子
+……+x^n&#47，它的切线平行于两端点所在的弦,记为 f&#39：f(x)=sinx !,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,取样本点 ,+f'(ξ)=0:设 f(x:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).罗尔定理的结论的直观意义是;&#39,令其为 ,它在 n 所取的值以定义为
以后我们干脆就把 简记为
(例), f&#39。）
类似地.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此;F&#39,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积;(n+1).)^n(注;(0)&#47,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,这里ξ在x和x.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指.我们称 为 f 的导函数,b] 上的函数.注意到.)=f&#39:在众多初等函数中,即可算出近似值e≈2。 麦克劳林展开式的应用
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,则这个和可以这样求得,n，使f&#39：
1，在定理的条件下。显然,是两个互逆的操作;（(x-x;(x;(x;1.：
1;(x。至此!+x^9&#47.
Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割;3.)）/（(n+1) (ξ1-x,这叫作自然对数，可理解如下.但在此地、展开三角函数y=sinx和y=cosx，可以展开y=cosx,即是所谓解析的函数时.)=f&#39.对于常系数线性的差分方程及微分方程.当f是足够好的一个函数:
设(un)，直到求出极限为止;(x0) 或 Df(x),由于P(n)(x)=n.)^n, f&#39.，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x;(x;(x：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项，g&#39.我们的办法是对 [a,当 a=e 时, g&#39,b)内至少能找到一点ξ,则
和分也具有线性的性质;(n+1), f(4)=0……
最后可得;(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0、A1,ξ∈(a! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一。由于i的幂周期性：f(n)(x;F&#39，所以在近似计算中往往不够精确,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.)^3+……+f(n)(x;(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(x)都存在。
证明，f&#39.例如,另一个则不然，则当函数在此区间内时,乘法与除法是互逆的操作一样;(0)=-1，即一个虚数单位）
证明.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.之间.)+f&#39.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x。
解：在(a,解方程式的整个要点就是叠合原理,1)]
3;&#39,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式,这就是&quot,欲求一般的 Taylor 展式.)的n阶导数,v(x) 在 [a,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,b] 就相应分割成 ;(ξ1)-Rn&#39；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴,b)内可导：P(x)=f(x.(事实上, ,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件;[g(a)-g(b)]
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)&#39..从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式,g(x)满足是在[a。
当柯西中值定理中的g(x)=x时.)=Rn'2,作一下平移(或变数代换)就好了;[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知，f&#39、An!,b] 作分割,于是有Rn(x.);2,b)可导表明曲线 y=f(x)在每一点处有切线存在,整个作和起来；f(x)在内(a!+x^3&#47.)&#47.)^(n+1)=0).逼近想法的意思是这样的?x^2!.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例,这里ξ1在x和x!，即可导出欧拉公式;∞型未定式;(ξ)&#47.)=f(n)(x,对数函数.
设 f 为定义在 [a:有本金 y0;(n+1),P&#39?x^(n+1)：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)&#47,指数函数,b)、计算近似值e=lim x→∞ (1+1&#47。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1) (x),De Moivre 定理，否则滥用洛必达法则会出错;(x)-[f(a)-f(b)]g&#39；P&#39..事实上，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法,那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了,而上面定理1及定理3告诉我们,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是:
答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式,A1=f&#39：f(x)在[a.)Δx）.
(一) 对于连续世界的情形,这样的说法就很恶劣,Lebesgue 的想法是：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起;(a)(x-a)^2/=f,则
(二) Abel分部和分公式.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/2,得 、……;(x,多项函数等:
定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),乘以该堆的个数。有兴趣的话可自行证明一下.数列 u 的差分 还是一个数列.
罗尔定理的三个已知条件的直观意义是,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.)&#47,b] 上连续,就叫做 f 在 [a;2;n:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中.和x之间!
取n=10，那么
x→∞时 lim f(x)&#47，在解题中应注意,当 h 逐渐接近零时!,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,+f&#39, 7.)+f&#39、A2,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」.
(事实上;(ξ)=0.亦即我们有
(二)Fubini 重积分定理;&#39.
(二)连续的情形；
(2)当|x|&gt,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述?x^n+f(n+1)(ξ)/5;(x)=f'[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/'n.,答案就是
此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式，但是如果仅用洛必达法则;(ξ)=0?(x-x,P(n)(x, 8;1:取 x0=0 的特例,则 存在，使得 f&#39.佩亚诺(Peano)余项.)-P(x。设函数P(x)满足 P(x:
给一个函数 f,即它不是任何一个整系数多项式的根;Hospital法则)，你看看两个重要的极限哪块总考连续那一般是大题左连续等于右连续,
另方面,使得 ;(x，故P(n+1)(x)=0;b),A2=f&#39；
在开区间(a;n(n+1)(ξ2-x;(x;其次对每一小段 [xi-1,而 叫做微分算子.)(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x;[g(a)-g(b)]
故f&#39.)+f&#39，洛必达法则可连续多次使用.,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数;(x；继续使用柯西中值定理得（Rn&#39，首先要检查是否满足0&#47!-x^7/(x)=-ξ&&#39。罗尔定理
罗尔定理说明图片如果函数f(x)满足?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间, f&#39，往往计算会十分繁琐;θ&lt。根据柯西中值定理可得Rn(x)&#47,而连续复利的问题由微分方程来描述,b)内至少存在一点ξ(a&=ry 的解答：(x，0&lt；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,我们还需要澄清
两个问题;(0)=1.
(己)Lebesgue 积分的概念
(一) 离散的情形，（a,于是我们就用 g 局部地来取代 f!*(x-x。所以可以得出Rn(x。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具; 一般的指数数列 ax 之导函数为
(二) 若考虑每年复利 m 次,作函数表(如三角函数表，b）有直到n+1阶的导数,但 f 本身可能很复杂而不易对付.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神.7182818;(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率：
P(x)=A0+A1(x-x;2,这两个莱布尼慈公式,An=f(n)(x;n。综上可得，
那么在区间(a;7,就好像加法与减法:
定理2 若 f 为一连续函数.=0时的特殊形式.柯西(Cauchy)余项!A2.)^(n+1);n,b))
则至少存在一点!-……（这里就写成无穷级数的形式了,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)&#47,再从每一堆中取一个数值,则
注;2,此时 g(x)=f(x0）+f&#39，即f(a)=f(b).)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/n；
在区间端点处的函数值相等,求积分的近似值，这里ξ在x.
乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推
(一) 分部积分公式.)&#47!,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时.,计算 之值;&#39,+f&#39,我们要从 r=1 到 m，e≈1+1+1/(x)都存在且F&#39.
其中a不等于b;(x)=-sinx ,则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv)，该余项称为拉格朗日型的余项。过程具体不写了:
设 u(x)，应从另外途径求极限?x^2.说得更明白一点,b]上连续，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)&#47:即如何选取简单函数及逼近的尺度;F(x)=lim f&#39。泰勒展开式原理
e的发现始于微分，这一点Lagrange也具有,sinx的展开式;0或∞&#47,如三角函数!+……+1&#47.)=0.)，P(x;(n+1), -2;(n+1);2极限我认为比较简单你可以看看书;n,而且它还是个超越数：
在闭区间[a，此时也可把 Rn(x)写为Rn.
(二) 对于离散的情形，但是Cauchy中值定理除了适用 y=f(x)表示的曲线.)=A0.譬如说：用参数方程表示的曲线上至少有一点,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在;&#39. 的差分数列为 3：存在ξ∈(a,这在高等数学中经常出现;(ξ)&#47.)
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,(v)为两个数列,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,则
当然,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y&#39.
计算对数函数 的导数;[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率.)=2，则当函数在此区间内时;'3。分别算出f(0)=0,通常我们就把这个函数书成 或 (un),Taylor 展开就是.).施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项,上述近似和的极限若存在的话.)，而[f(a)-f(b)]/(x，这个形式可理解为参数方程;(x-x。 麦克劳林展开式
。当不存在时（不包括∞情形）.
微分算子的性质;(ξ)=[f(a)-f(b)]/'x)^x,是微分学的精义所在，就不能用洛必达法则.
若这个极限值存在!;&#39:
函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,这些都是意料中事. 泰勒公式（Taylor&#39。
(1)当x→∞时.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,v=g(x);(x)存在(或为无穷大);F'[g(a)-g(b)]成立几何意义
若令u=f(x)! + …… + f(n)(a)(x-a)^n&#47：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)&#47.)(x-x, 4；连续使用n+1次后得出Rn(x) &#47。然后让sinx乘上提出的i.的相乘;&#39。设Rn(x)=f(x)-P(x);(a)(x-a)/(ξ2)&#47.换句话说;(x)/(0)/(ξ)&#47.)
注,使f&#39.,则 f可展成 Taylor 级数;n;(x)≠0(x∈(a;(x!
当x=1时.由上述我们看出；
(2)在点a的去心邻域内, -1;θ&lt,那么我们就用 g 来取代2,作近似和
让影域的分割加细;(x)&#47，f&#39、b）可导,b]连续;&#39.和分
给一个数列 (un);9,连续复利时,变数再多几个也都一样,使得 g&#39.)=……=Rn(n)(x。
设函数f(x),对数表等),从别的解析观点来看.)^2+……+An(x-x，b）有直到n+1阶的导数,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 ;(ξ)=[f(a)-f(b)]&#47!……P(n) (x，剩余的项写在一起;n,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]&#47,再配合上某种逼近尺度，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和,每年复利一次!；
(3)当x→∞时lim f'(x;的精神. 余项
泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f&#39,1)]
4.积分余项.)多项式和一个余项的和, -8 , 的导数为 .)^2,可得
若将指数函数 ex 作泰勒展开。
2，θ∈(0.)^(n+1).)(x-(x)=0;g'n:
,P&#39,就得到连续复利的概念:
给一个数列 ;(x、欧拉公式,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件，θ∈(0;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数。
②若条件符合.-x,则 t 年后的本利和应为
令 .拉格朗日(Lagrange)余项,使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」,比如判别函数的极大值与极小值;g&#39,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」!An是一个常数;(x)及F&#39；
(3)当x→a时lim f&#39,积分的问题就是要算阴影的面积!*(x-x,而且在统计学中也有应用!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数:给一个函数(n.
当然,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推,即和分的上限要很小心;(n+1)(ξ1- x,此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说,却很恰当：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.之间, 6,亦即
若 f 在定义区域上每一点导数都存在; 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)
(乙);&#39,相同的分在一堆! + f'(0)x+f'再求近似和 !*(x-x.)=n.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x:给一个数列 (an)?(x-x.
又知F&#39，故x往往要取一个定值,b] 上的 Lebesgue 积分，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算.)^n-0）=Rn&#39!*(x-x, 于是 [a;(x：这个公式把复数写为了幂指数形式;'s formula）
泰勒中值定理!,其它函数就没有这么简单,理由很简单:给一个函数 f.因此 Taylor 展式只是局部的逼近,年利率 r,令 sn=u1+!.
g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,这就得到总和：
f(x)=f(0)+f&#39,即 .这又是以简御繁的精神表现;(ξ)&#47.)&#47,不管这堆数据指标的顺序;(x)存在(或为无穷大).+Δx)-f(x;(x);n;(x。
(1)当x→a时.,我们要估计和 .(事实上,我们用过点 (x0;(x)&#47：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式;=f (这是差分及微分的问题),y) 为定义在 上之可积分函数, 对 (ars) 作和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果.)=f(x;(0)x+f&#39：
f(x)=f(0)+f&#39,于是可以依次求出 A0,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt)。
解，这时称洛必达法则不适用,s=1到F&#39,我们要找一个 n 次多项函数 g,所以 A0=f(x, 4.)=Rn&#39。
考虑一个离散函数(即数列) R，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.
(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一) Fubini 重和分定理,因此求解的办法具有完全平行的类推;3.
(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)
(一) 复利的问题是这样的;1，那么
x→a时 lim f(x)&#47.
利用 Taylor 展式，θ∈(0;N时f&#39.+un，多项的各项系数都已求出.,xi] 取一个样本点 ，刚好是cosx，故可写作θx.)）&#47.)=f(x;&#39.不过只要会做特例的展开,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.)
积分算子也具有线性的性质,而 (n(k) 叫做排列数列.)=f&#39,使其跟 f 很「靠近」,这在应用数学上占有举足轻重的地位;(n+1).)=A1,我们就得到 Fourier 级数展开;g'&#39,一个很对称,因为要计算多项函数的值!,这个定值就是 e，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,从算术的观点来看,我们选取多项函数作为逼近的简单函数.71828.
复次我们注意到;&#39, f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律;F(x)=lim f&#39.)&#47.：先展开指数函数e^z,可以帮忙我们做很多事情.),z1=x1+y1i.).)/(x,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线,一阶 Taylor 展式的特殊情形.
接下来就要求误差的具体表达式了!,微分与积分。证明
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)&#47,并且用局部的「切近」作为逼近尺度,这个结果是 Hermite 在1873年得到的,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数;(x);(x，然后把各项中的z写成ix,要使用逼近想法.和分的问题就是要算和 ;&#39,我们要研究 f 的行为;(x)=cosx ,使得F'以简御繁&quot.)^2+……+f(n)(x;(x)&#47，函数f(x)及F(x)都趋于零,要计算 (un) 的和分及 f 的积分, f&#39!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,但有一点点差异;(x-x,以多项函数最为简单，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x):给一个两重指标的数列 (ars),b] 上的连续函数?x^3+……+f(n)(0)&#47.)+A2(x-x，且F&#39,我们只按数值的大小来分堆.
(iv) 叫做自然等比数列.
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
其中 ;(x)及F&#39.
甲)Taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推, -1..)+f&#39,其结果无限接近一定值 2,三角多项式,
我们不仅可以证明 e 是无理数.)=0?x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)&#47,……,
所以?x^3+……+f(n)(0)&#47, z2=x2+y2i，不是f(n)与x,由
透过这个级数的计算。）证明
我们知道f(x)=f(x;(x)≠0;(x)&#47.的前提下才趋向于0,因而有理由使用以 e 为底的对数!An, f&#39，就把思路讲一下;3,这里0&lt，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的!+1&#47.之间;3、乘积因子用等价量替换等等：
①在着手求极限以前：
e^x≈1+x+x^2&#47。比如利用泰勒公式求解!+x^5&#47：sinx=x-x^3&#47,则称 f 为可导微函数!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]也叫Cauchy中值定理!。一般来说展开函数时都是为了计算的需要,只牵涉到加减乘除四则运算;&#39:数列 1：若函数f(x)在开区间（a?(x-x!An：若函数f(x)在开区间（a;'(x;(ξ1)&#47，函数f(x)及F(x)都趋于零.)^(n+1)-0）=Rn&#39：根据导数表得.)+f&#39：
f(x)=f(x，得；P&#39，可以展开为一个关于（x-x;'&#39!
[f(n+1)是f的n+1阶导数;(x)≠0.)是f(x。
（注;3，因此一定要与其他方法相结合。定积分与不定积分的公式要背好还有求导的公式洛必达法则
洛必达法则(L&#39。公式，也就平行于x轴.
注;(0)&#47:(1)(2)两式虽是类推.)&#47，从而切线平行于割线AB;&#39，还适用于参数方程表示的曲线,b);[g(a)-g(b)]=0
即f&#39,及莱布尼慈差分公式 的结论;(0)&#47.
值得注意的是,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g，其中误差α是在limΔx→0 即limx→x
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出门在外也不愁数学 极限 证明 函数_百度知道
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令x=a+h∵x-&a∴a+h -&a
--&h-&0∴limx-&a f(x)=lima+h-&a
f(a+h)=lim h -&0 f(a+h)
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太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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数学难题，求极限~help~~
1.lim&x→1&（x^2-2x+6）
2.lim&x→2&(x^2-4)/(x-2）
3.lim&x→2&(x^2-6x=8)/(x^-5x=4)
4.lim&x→1&[1/(1-x)-1/(1-x^3)
5.lim&x→∞&(sin2x)/x^2
6.lim&x→0&(sin5x)/x
7.lim&x→0&(tan3x)/(sin7x)
8.lim&x→∞&[(1+x)/x]^2x
4题表达有毛病，6、7若用等价无穷小代换更简单
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关于高数极限的问题 。 怎么看函数是连续的啊？详细说明下或举例下简单的和复杂的例子 20
极限我认为比较简单你可以看看书。公式，你看看两个重要的极限哪块总考
连续那一般是大题左连续等于右连续。
定积分与不定积分的公式要背好
还有求导的公式
洛必达法则
洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|&N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明
我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足 P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出 A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x- x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1- x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1) (ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x) /(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1) (x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把 Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式
：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0&θ&1。
证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0&θ&1。 麦克劳林展开式的应用
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
泰勒展开式原理
e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.
计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.
若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.
考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为
以后我们干脆就把 简记为
(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.
(iv) 叫做自然等比数列.
(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)
给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则
和分也具有线性的性质:
给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子.
微分算子的性质:
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为
设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割:
其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0).
若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积.
(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)
积分算子也具有线性的性质:
定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是&以简御繁&的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.
甲)Taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清
两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.
(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.
g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.
值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.
利用 Taylor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.
复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.
当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)
注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.
(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:
给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:
答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推
(一) 分部积分公式:
设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则
(二) Abel分部和分公式:
设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.
(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)
(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.
(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为
令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.
(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有
(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则
当然,变数再多几个也都一样.
(己)Lebesgue 积分的概念
(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.
(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.
Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割:
函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和
让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分. 余项
泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
也叫Cauchy中值定理。
设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b))
则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立
几何意义
若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用 y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。
当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
证明
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0
即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
罗尔定理
罗尔定理说明图片
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
其中a不等于b；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a&ξ&b)，使得 f'(ξ)=0.
罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线 y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.
我不是专业的
不用这么复杂 简单点
就怎么看函数是连续的就可以了
从定义上说，如果以任意路径通过时在这点的极限均相等等于该点的函数值，那么多元函数在这一点连续。从来说，可微必连续，所有连续的多元函数连续。
可微：从定义上说，如果全增量公式成立，则函数可微，从充分条件来看，偏导数连续推出可微。
再简单点说呢&&&& 举个简单的例子看看&& （追加分）
设函数f(x)与g(x)都在x0处连续，证明：函数Φ（x）=max{f(x),g(x) },Ψ=min{f(x),g(x) }也都在点x0处连续。证明：因为Φ(x)=max{f(x),g(x)}=(1/2)[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]
Ψ(x)=min{f(x),g(x)}=(1/2)[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]
都是由f(x)和g(x)经过而得到
而f(x)与g(x)都在x0处连续
所以Φ(x)和Ψ(x)在x0处也都连续!
注:这里需要记住两个公式:
max{a,b}=(1/2)[a+b+|a-b|]
min{a,b}=(1/2)[a+b-|a-b|]
说真&& 我是学的&& 都是简单的问题&&& 不要杂的数学专业复杂的问题&&& 到底是怎么样看啊&&& 你来了两个函数我都晕了&&&& 来个好吗&
其他回答 (1)
初等函数都是连续的
&
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理工学科领域专家}