一元二次方程知识点总结和例题――复习_百度文库
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一元二次方程知识点总结和例题――复习|一​元​二​次​方​程​知​识​点​总​结​和​例​题​―​―​复​习​教​案​+​例​题​+​作​业
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根的判别式是判断个数的，在时十分广泛，涉及到解的、判断方程的等。
判别式即判定个数及的。任意一个均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，的符号可决定一元二次方程根的情况．
叫做一元二次方程的根的，用“△”表示(读做“delta”)，即△=．在一元二次方程中
（1）当△&0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△&0时，方程没有实数根,方程有两个．
（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．
上面结论反过来也成立，可以具体表示为：
在一元二次方程（a≠0，a、b、c∈R）中，
①当方程有两个不相等的实数根时，△&0；
②当方程有两个相等的实数根时，△=0；
③当方程没有实数根时，△&0。
注意 根的判别式是△=，而不是△=。
一元二次方程求根公式：
当Δ=≥0时，
当Δ=&0时，(i是单位)在一元二次方程（a、b、c是虚数）中
当Δ=≥0时，此方程有两个相等的复根；
当Δ=&0时，此方程有两个不等的复根[1]。（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．
它有两种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）
① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦ 可以判断与x轴有几个交点
抛物线与x轴的交点 （1）当y=0时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的，而决定一元二次方程的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
1）当Δ&0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（，0）。
3）当 Δ&0时，抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ&0）与x轴两交点间的距离的问题。
⑨当a&0时，抛物线开口向上，当a&0时，抛物线开口向下。在特殊形式的一元三次方程x^3+bx+c=0中，其判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中，一般采用盛金判别法，即
当A=B=0时，方程有一个三重实根。
当Δ=B2－4AC&0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。
当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B2－4AC&0时，方程有三个不相等的实根。
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一元二次方程练习(含答案)|一​元​二​次​方​程​练​习​(​含​答​案​)
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性质及定理
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一元二次方程式是只含有一个，并且未知数的最高是二次的。
例如，，，等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是：
其中，是二次项，是一次项，是常数项。是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，也可以省略不写。當然,一元二次方程式有時會出現。
古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約，已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。左右，提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世紀印度的（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。
11世紀的 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。（亦以名字著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入。
据说是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自）：
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。
例如：解关于x的方程
　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即4a，得
　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即b^2，得
　　然后在方程的两边同时开二次方，得
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合的原則就可以了。
把一个一元二次方程变形成一般形式後，如果能够较简便地分解成两个一次的乘积，则一般用来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程存在两个實根，那么它可以因式分解为。
例如，解一元二次方程
时，可将原方程左边分解成。所以，可解得。
对于，它的根可以表示为：
有些時候也写成
可以由得出。
首先先將一元二次方程的一般形式除以a（a在一元二次方程中不為零），我們將會得到
現在我們可以開始配方了。為了配方，我們必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨x而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方的樣子。當
亦即當我們在式子的兩邊加上
我們將得到：
式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了：
接下來，對式子的兩邊開根號：
最後，式子兩邊同時減去
公式解終於出現了：
一元二次方程的求根公式在方程的係數为、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式
應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為
的數當中任何一個」。在某些中，有些數值没有。
对于实系数一元二次方程，称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：
如果，则这个一元二次方程有兩个不同的根。如果係數都為有理數，且是一个完全平方数，则这两个根都是，否则这两个根都是。
如果，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
如果，则这个一元二次方程有兩個不同的根。這時根為
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
根據可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。
，则该函数与x轴相交（有两个交点）
，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
，则该函数与x轴相离（没有交点）
一元二次方程的根的意义是的图像（為一条）与x轴交点的X坐标。
的解是和交點的X座標
另外一种解法是把一元二次方程化为
则方程的根，就是函数和交点的X坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。
在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序，比如, 可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)
101 uses of a quadratic equation: ，}