一元一次方程二次方程

一元二次方程知识点总结和例题――复习_百度文库
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一元二次方程知识点总结和例题――复习|一​元​二​次​方​程​知​识​点​总​结​和​例​题​―​―​复​习​教​案​+​例​题​+​作​业
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根的判别式是判断个数的,在时十分广泛,涉及到解的、判断方程的等。
判别式即判定个数及的。任意一个均可配成,因为a≠0,由平方根的意义可知,的符号可决定一元二次方程根的情况.
叫做一元二次方程的根的,用“△”表示(读做“delta”),即△=.在一元二次方程中
(1)当△&0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当△&0时,方程没有实数根,方程有两个.
(1)和(2)合起来:当△≥0时,方程有实数根.
上面结论反过来也成立,可以具体表示为:
在一元二次方程(a≠0,a、b、c∈R)中,
①当方程有两个不相等的实数根时,△&0;
②当方程有两个相等的实数根时,△=0;
③当方程没有实数根时,△&0。
注意 根的判别式是△=,而不是△=。
一元二次方程求根公式:
当Δ=≥0时,
当Δ=&0时,(i是单位)在一元二次方程(a、b、c是虚数)中
当Δ=≥0时,此方程有两个相等的复根;
当Δ=&0时,此方程有两个不等的复根[1]。(1)解方程,判别一元二次方程根的情况.
它有两种不同层次的类型:
①系数都为数字;
②系数中含有字母;
③系数中的字母人为地给出了一定的条件.
(2)根据一元二次方程根的情况,确定方程中字母的取值范围或字母间关系.
(3)应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根)
① 解一元二次方程,判断根的情况。
② 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦ 可以判断与x轴有几个交点
抛物线与x轴的交点 (1)当y=0时,即有,要求x的值,需解一元二次方程。可见,抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的,而决定一元二次方程的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:
1)当Δ&0时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。
2)当Δ=0时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是(,0)。
3)当 Δ&0时,抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线(Δ&0)与x轴两交点间的距离的问题。
⑨当a&0时,抛物线开口向上,当a&0时,抛物线开口向下。在特殊形式的一元三次方程x^3+bx+c=0中,其判别式为。当时,有一个实根和两个复根;时,有三个实根,当时,有一个三重零根,时,三个实根中有两个相等;时,有三个不等实根。
在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中,一般采用盛金判别法,即
当A=B=0时,方程有一个三重实根。
当Δ=B2-4AC&0时,方程有一个实根和一对共轭虚根。
当Δ=B2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个二重根。
当Δ=B2-4AC&0时,方程有三个不相等的实根。
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一元二次方程练习(含答案)|一​元​二​次​方​程​练​习​(​含​答​案​)
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一元二次方程式是只含有一个,并且未知数的最高是二次的。
例如,,,等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是:
其中,是二次项,是一次项,是常数项。是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然,在强调了是一元二次方程之后,也可以省略不写。當然,一元二次方程式有時會出現。
古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約,已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。左右,提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世紀印度的(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。
11世紀的 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。(亦以名字著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入。
据说是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自):
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方。
例如:解关于x的方程
  在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即4a,得
  在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即b^2,得
  然后在方程的两边同时开二次方,得
阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般來說,一元二次方程有兩個解,答案需提供兩個不同的數值,只要符合的原則就可以了。
把一个一元二次方程变形成一般形式後,如果能够较简便地分解成两个一次的乘积,则一般用来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程存在两个實根,那么它可以因式分解为。
例如,解一元二次方程
时,可将原方程左边分解成。所以,可解得。
对于,它的根可以表示为:
有些時候也写成
可以由得出。
首先先將一元二次方程的一般形式除以a(a在一元二次方程中不為零),我們將會得到
現在我們可以開始配方了。為了配方,我們必須要加上一個常數(在這個例子裡,它是指一個不隨x而變的量)到等式的左邊,使等式左邊有完全平方的樣子。當
亦即當我們在式子的兩邊加上
我們將得到:
式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數,因此式子變成了:
接下來,對式子的兩邊開根號:
最後,式子兩邊同時減去
公式解終於出現了:
一元二次方程的求根公式在方程的係數为、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式
應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為
的數當中任何一個」。在某些中,有些數值没有。
对于实系数一元二次方程,称作一元二次方程根的判別式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:
如果,则这个一元二次方程有兩个不同的根。如果係數都為有理數,且是一个完全平方数,则这两个根都是,否则这两个根都是。
如果,则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
如果,则这个一元二次方程有兩個不同的根。這時根為
即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
根據可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。
,则该函数与x轴相交(有两个交点)
,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
,则该函数与x轴相离(没有交点)
一元二次方程的根的意义是的图像(為一条)与x轴交点的X坐标。
的解是和交點的X座標
另外一种解法是把一元二次方程化为
则方程的根,就是函数和交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序,比如, 可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)
101 uses of a quadratic equation: ,}

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