一 倍数与因数_你知道吗 陈景润与哥德巴赫猜想_第一课时(特等奖)(西南师大版五年级下册)_T272044

什么是质数(你知道怎么求质数吗？)

2017年12月26日，数学界发生了一件大事。美国普通电气工程师乔纳森·佩斯(Jonathan Pace)在担任GIMPS志愿者的第14年发现了第50个梅森素数，即。这是迄今为止人类发现的更大的素数，共有位数。

然后，2018年初，又发生了一件相关的轶事。

第50个梅森素数诞生两周后，日本红颜色学会紧急发布了一本名为《2017年更大素数》(简称《2017年更大素数》)的书，厚约32mm，共719页。整本书只印了一个数字，第50个梅森素数。

数学书从来没有这么受欢迎过。然而，这本书出版两周之后，迅速攀升至日本亚马逊数学类畅销书之一名，并卖断货。出版社被迫紧急印刷以满足市场需求。

如果你对2000多万位数没有概念，你应该知道这本书的厚度。

出版社的山口先生和一夫先生在接受媒体采访时表示，印刷这样一本书并没有什么特殊的目的。他也考虑过把圆周率印成书，但因为圆周率小数点后的位数是无限的，他只好作罢。

然而，2017年底《梅森素数》的诞生，再次 *** 了他将数字印刷成书的神经，促使他以最快的速度出版这本书。这本书不仅实现了山口那津男先生的纯愿，而且这本书的销售过程也意外成为了出版界的奇闻。

《2017年更大质数》内页全是数字。

对于读者来说，把这本书买回家的精神意义远大于现实意义。自17世纪法国数学家马林·梅森以来，人们一直在寻找梅森素数。找到第50个梅森素数是数学领域的重大发现，是人类发展的新里程碑。把这个里程碑带回家，这本书更多的是一个信物，代表着人类自强不息、勇攀高峰的精神。

为什么一个梅森素数的诞生会引起如此大的轰动？我们来看看石友友的素数。com。

在定义为大于1的质数的自然数中，除了1和它本身，没有其他因素。

这个定义很好理解。以小于10的自然数为例。二、三、五和七是质数。比如7只能分解成1乘以7，没有其他分解方式。对于其他的数，比如8可以分解成24，所以8不可能是质数。

和质数的原子一样，是其他数的基石。自然数是无穷的，那么有多少个质数是基石？

这个问题在2300多年前就有答案了:素数有无穷多个。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了简洁优美的证明。

虽然有无限个素数，但寻找和验证大素数并不容易，这就是素数的秘密。难度有多大？

我们可以快速列出50以内的质数:

它们看起来很密集，但随着质数变大，它们之间的距离也变长了。重要的是，它们的分布距离是不相等的。寻找一个大素数，往往需要巨大的计算量，分解验证也是如此。为了掌握素数定律，数学家们绞尽脑汁。

其中，有两个关于素数的著名猜想:

孪生素数猜想:差为2的素数对有无限多组。

哥德巴赫猜想:所有偶数都可以表示为两个素数之和。

这两个猜想在数学史上非常有名。几千年来，许多数学家都梦想用自己的双手解决难题。好在最近100年，这两个猜想都有了很大的突破。

其中，中国数学家张在2012年成功证明了孪生素数有无数对，每对中两个素数之差不超过7000万。虽然孪生素数的猜想只有把7000万化为2才能最终证明，但他在孪生素数之间的距离由无限变为有限上取得了突破。

张取得这一突破后，许多学者试图用他的 *** 来缩小差距，进一步缩小了距离孪生素数猜想最终解的距离。2014年2月，7000万人减少到246人。

另一方面，中国数学家陈景润在1966年成功证明了“1+2”成立，距离哥德巴赫猜想“1+1”成立仅一步之遥。

这里我们引入一个概念叫做几乎质数，它是一个素数因子很少的正整数。

假设N是偶数，虽然目前无法证明N是两个素数之和，但足以证明可以写成两个几乎素数之和，即N=A+B，其中A和B的素数个数不太多，例如素数个数不超过10。

我们可以用“a+b”来表达如下命题:每一个大偶数n都可以表示为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过A和B。显然，哥德巴赫猜想可以写成“1+1”。

这方面的进展是通过所谓的筛选 *** 实现的。自1920年挪威数学家布伦证明“9+9”以来，这一公式不断被各大数学家简化，1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”。

在素数中，有一类特殊的素数，如2p-1，在17世纪被法国数学家马林·梅森深入研究。为了纪念梅森的贡献，学术界称这个数字为梅森数。如果梅森数是一个素数，称为梅森素数。

在手工计算的时代，人们开始搜索梅森素数。直到19世纪末，只发现了12个梅森素数。p的值是:2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127。

计算机诞生后，人们搜索梅森素数的速度更快了。直到1996年，数学家使用超级计算机Cray-T94，发现了第34个梅森素数。

进入互联网时代，一种更微妙的 *** 诞生了。1996年1月，美国数学家和程序员乔治·沃特曼编写了一个梅森素数计算程序。他把程序放在网页上，供数学家和数学爱好者 *** ，这就是最初伟大的互联网梅森素数搜索(GIMPS)。任何拥有个人电脑的人都可以加入GIMPS，成为一名质数猎人。自1997年以来，所有新的梅森素数都是通过GIMPS分布式计算项目发现的。这个项目成功聚集了几十万台计算机来计算一个问题，其计算能力已经远远超出了我们的想象。

其中，最新发现第50个梅森素数的是美国普通电气工程师乔纳森·佩斯(Jonathan Pace)，他使用了一台CPU型号为i5-6600的普通家用电脑。幸运的是，他通过GIMPS发现了这个梅森素数，不仅在数学史上留下了自己的名字，还获得了3000美元的奖励。(有兴趣可以下载一个试试。之一个找到超过1亿位数的梅森素数的人将获得15万美元的奖励。)

质数的去向是不确定的，它们的分布也是未知的。怎样才能找到质数？

公元前2世纪，希腊数学家厄拉多塞就已经提出了一种非常简单有效的素数筛选 *** ，我们称之为厄拉多塞筛。核心是:要得到自然数n以内的所有素数，必须消去所有素数不大于根号n的倍数，剩下的都是素数。

之一步:确定要筛选的素数的范围，确定范围的更大值，比如120。

第二步:根号120的结果是10.95，所以你只需要用11以内所有素数的倍数来消去120以内的数，剩下的都是素数。之一，优优。com会剔除11以内的2、4、6、8、10的倍数的数字，以及120以内的所有2的倍数的数字。

第三步:没有被消除的最小数是3。剔除3的倍数的数字，剔除11以内的9的倍数的数字，剔除120以内的所有3的倍数的数字。

第四步:没有消除的最小数是5。消除5的倍数。11以内不需要消去任何数，120以内所有是5的倍数的数同时消去。

以此类推，120以内的质数都可以完全找到。

厄拉多塞筛法的一个例子

为什么科学家如此热衷于寻找质数？一方面是对自己理想的追求，孜孜不倦地攀登数学高峰。另一方面，素数在实际场景中有很大的价值。

质数计算机领域的应用无非就是信息的加密，包括著名的RSA算法(小智之前写过RSA算法的介绍，点击入口)。目前，由于大整数的因式分解，很难找到它的素因子。目前除了暴力破解，还没有找到其他有效的 *** 。也就是说，只要密钥长度足够长，就需要很长时间才能找到素数因子，RSA加密的信息实际上是无法破解的。因此，素数在密码学中起着重要的作用。

只有你有了密钥(私钥)，你才能解开信息。

在汽车变速箱齿轮的设计中，可以将相邻两个大小齿轮的齿数设计为质数，以增加两个齿轮中两个相同齿啮合次数的最小公倍数，可以增强齿轮的耐久性，减少故障。

北美的周期性蝉(magic蝉)有着奇特的生命周期。它们需要很长时间，每13或17年，才能成群结队地破土而出。

自17世纪中叶以来，科学家们一直对周期性蝉的生命周期感到困惑。它们遵循相同的基本生命周期:幼虫在地下生活13或17年，然后在夏季大量出现。它们爬树，蜕皮，长成成虫，然后在短短几周内，成虫相遇，交配，产卵。孵化后，幼虫将返回地面，等待下一次轮回。

为什么这个数恰好是质数时，是13年或17年，而不是其他数？

当这些周期性的蝉被大量出土繁殖后，它们的天敌就会吃得很多，它们就会有更多的营养用于繁殖，所以天敌的数量就会大大增加。假设天敌只能性成熟6年，其后代6年后才性成熟繁殖。因为没有周期性的蝉吃，所以数量一直在下降。假设周期性蝉的周期是18年，那么第18年天敌会继续吃啊吃，在这个18年的周期里会产生更多的天敌，这样每18年，天敌的总数就不断上升，周期性蝉的数量就越来越少。同样，周期为16年的蝉很可能被周期为2年、4年或8年的天敌吃到灭绝。

而13年的蝉和17年的蝉正好避开了这些可能，因为13和17是质数，除非天敌年年繁殖，或者只是13、17年，否则无法帮助天敌繁殖。因为13年的蝉和17年的蝉选择了质数的生命周期，帮助天敌繁衍的几率大大降低，得以存活至今。

篱笆上密密麻麻周期性的蝉鸣

数学美无处不在。就素数的特性而言，一方面，人类已经将素数分布的特性应用到计算机的加密算法中；另一方面，自然界按照既定规律自然运行，但也产生了质数期的特征。令人惊奇的是，有黄金期的生物适应性最强。这让人联想到包含斐波那契数列的松果，以及具有分形结构的山川(门户)。这与其说是大自然的神奇，不如说是数学规律的幕后策划者的结果。

松果顺时针8，逆时针13，是斐波那契数列中的数字。