一元线性回归模型的统计检验

目的：检验模型的统计学性质

内容：拟合优度检验( )，变量显著性检验(t检验)，方程显著性检验（F检验）

两边求平方和，交叉项可以证明为0，因此

也就是总离差平方和TSS=回归平方和ESS+残差平方和RSS。

• 总离差平方和TSS：反映样本观测值总体离差程度
• 回归平方和ESS：反映模型中解释变量能够解释的部分的离差大小
• 残差平方和RSS：反映模型中解释变量未能够解释的部分的离差大小（也称剩余平方和）

用小写的离差形式表示为

可决系数反映了模型解释能力的大小，可决系数越大，说明 的变动中由模型解释的部分占的比重越大。

• 可决系数是回归线拟合优度的度量；相关系数是两个变量线性相关关系得度量.
• 可决系数有因果之分；相关系数则只是两个地位相等的变量之间.





给定显著性水平，查表得临界值

根据回归的结果，判断t统计量是否在拒绝域中，从而判断是否接受原假设.

说明：t检验一般只针对解释变量而不针对截距项，如果截距项没有通过t检验，但根据经济理论是包含截距项的，那么我们也应该加入截距项。





所以置信水平为 的置信区间为





证明过程较长，且考试不要求，就不放上来了。

增大样本容量：样本容量越大，临界值 越小， 越大.

提高模型拟合优度：减小残差平方和，进而减小 .

提高样本观测值的分散程度：使得 变大.

例1 判断下面式子对错

解 一共就只学了四个式子：总体回归函数和模型，样本回归函数和模型。

其中 是总体回归模型， 是样本回归函数， 是样本回归模型，其余全错.

例2 零均值假定能否换为 ？

结论：此时只有斜率项，没有截距项

例6 设 和 分别为 对 回归的斜率和 对 回归的斜率.证明

例7 记样本回归模型为

（2）（3）（4）用的是正规方程组部分的结论.

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