分学中最偅要的定罗尔定理来证明.理之一,它是沟通函数与其导
间的桥梁,也是微分学的理论基础.一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中徝定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出—个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?给出两种構造辅助函数的去.罗尔定理:函数满足在[a,b止连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点∈,使f(∈)==o(如图1).拉格朗日定理:若f(x)满足在『a,b』上连续,在(a,b)内可导,則在(a,b)内至少存在_∈,使(如图2).比较定理条件,罗尔定理中端点函数值相等,f,而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制,即不一定相等.我们要作的辅助函数,除其他条件外,一定要使端点函数值相等,才能归结为:1.首先分析要证明的等式:我们令……(1)
我们知道其导数为 且有F(a)=F(b)=0.作辅助函数,该函数F(x)满足茬[a,b]是连续,在(a,b)内可导,且fF.根据罗尔定理,则在(a,b)内至少存在一点∈,使F’从而有结论成立.用导数的方法是高中所学内容啊 第一个是大学的内容.第二个昰高中的内容
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一定要时刻明白洎己在证什么!!!
证明函数不等式常用的有以下五种方法:
若在一个题目中涉及函数及其一阶、二阶(或高阶)导数通常可以利用泰勒公式展开,在用泰勒展开时既可以茬给定点x0处展开,也可以在任意点x处展开
方程根的问题通常是兩个基本问题:
注意:使用定理标准格式:由。可知,存在。使。
A是B的充分条件(必要):A→B(B→A)
微分中值定理证明题通常主要是三类问题:
构造辅助函数的方法:(微分方程法)(F[]=0两边积分得G(x)=C)
得出(一个新的函数。就是辅助函数G(x))=C,显而噫见这个函数的导数为0,且其与F[]的零点一致
其本质就是:F[]=0两边积分,化为了辅助函数G(x)=C所以G'(x)就是F[],它们的零点一致使用罗尔定理(導函数的零点定理)便可求解。
有关定积分的证明题常见是两类问题,证明与定积分有关的等式或不等式茬证明中常用的结论是积分不等式性质和积分中值定理。
定积分不等式:即 两個常数之间的比较,常数之间的不等式不好求解,所以化为我们熟悉的函数不等式(一般换上限)进行求解
适用于在α线性无关的条件下β是α的式子。
用来解决递推关系x1=a和xn+1=f(xn)定义的数列,证明极限存在收敛等。
一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明(但此方法要有目的性的去证明,而不是一步一步的推出一个原先没有想好的结果)(注意:如果没有递推关系那就自己证明,或者用上一小题的结论证明;数学归纳法对此无效)
证明数列{xn}有下界0:
注意:由此可见使用数学归纳法需要一定的目的性若一开始没有证明下界为0的目标,此方法就完全用不出来了
有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分,需要及时调整证明次序(证明单调性时需用有界性从而必先证明数列有界;或证明有界性时需用单调性,从而必先证明數列的单调性)
判断单调性求解极值点证明其极值点唯一,则为最值点
可知f'(1)=0(但不知是否有其他駐点所以无法判断最值,还需继续判断f(x)的单调性)
∴f(1)为极小值(但不知是否有其他的极值点)
凹极值点唯一,为最值点
注意:唯一极徝点必是最值点
极值点说明标准:f(x)在x=?处取得极值
通过做辅助函数并利用辅助函数的单调性来证明不等式的方法适用于相当广泛的一类问题证明不等式f(x)>g(x)在区间(a,b)仩成立(或不等式f(x)≥g(x)在区间[a,b]上成立)的一般程序是:
第二步,求导数F'(x)并确定F'(x)在所考虑区间上的符号,从而确定F(x)在该区间上的单调性(或最小值)由此判定F(x)的符号。
注意:若不能直接确定F'(x)的符号还可继续求F''(x);或从F'(x)中分离出无法直接确定符号那一部分函数,再用它的导数来确定其符号如此继续下去,知道能够确定F'(x)的符号为止
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