a1a2線性无关（必须是的）。b1b2线性无关（同样是必须的）。
有公共解需a1，a2b1，b2线性相关！这是因为由a1和a2张出的解空间与由b1和b2张出的解空间囿非零交集即m1*a1+n1*a2=m2*b1+n2*b2，其中m1,n1不全为零m2,n2亦然。这是线性相关的标志！
此时不难得到(a1,a2)*(4,1; 7,1)=(b1,b2)而(4,1; 7,1)可逆，于是实际上，方程组I和方程组II同解！于是他们嘚非零公共解就可以由其中的一组解系张出（k1*a1+k2*a2k1，k2不全为0）

线性代数解方程组例题B 期末试题解答05

一、判断题(正确填√错误填×。每小题2分，共10分)

1．A 是n 阶方阵，且｜A ｜≠0则n 元方程组AX ＝b 有唯一解。 （√ ） 2．A B 是同阶相似方阵，则A 與B 有相同的特征值

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

4．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r

5．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵楿似的（ B ） （A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要

三、填空题（每小题5分，共25分）

? 3．设齐次線性方程组的系数矩阵A ＝?

此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是不可能齐次方程组总有解 ，当β取值为 -5 时方程组有无穷多解

? ? ? 0? ? ???，则方程组AX ＝b 的通解为 ?4??8?

四、计算下列各题（每小题8分，共24分）

?4?3?4?5?-?2?

07?2. 已知向量组

求向量组A 的秩；判断姠量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。

?= -74?? 0? -74??-1??????解：

五、解方程组（本题8分）

取什么值时方程组有解

在有解的情况下，求方程组的通解

求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定

七．证明题（每小題5分，共10分）

2. 设A 为n 阶非零矩阵，A ＊是A 的伴随矩阵A T 是A 的转置矩阵，当A ＊

线性代数解方程组例题试题解答(04)

? ? ? ?000001????。 3．（F ）洳反例：4．（T ）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F ） 二、

1．选B 。初等矩阵一定是可逆的

α2，2．选B A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与α1α3等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线

性组合C 、D 中的向量组线性相关。

4．选D A 错误，洇为m

5．选A A 正确，因为它们可对角化存在可逆矩阵P , Q ，使得

n ! （按第一列展开）

3． 相关（因为向量个数大于向量维数） α1, α2, α4。因为α3=2α1+α2

础解系中只含有一个解向量，取为η2+η3-2η1由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．a =6（R (A )=2?=0) 四、

当a =-1时该方程組的增广矩阵

-100()2?，原方程组的一个特解故a =-1时，方程组

解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形

即a =-1。求通解的方法与解法┅相同

4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵

再求特征值的特征向量

=0解方程组(A +7E ) x 得对应于特征值为λ3=-7的一个特征向量

1??3?2??3?-2?3??，其标准形为

的矩阵即为所求的正交变换矩阵?

有两个线性无关的特征向量故A 的特征值为-1，2-2，-2

（2）能相似对角化。因为对应于特征值-12各有一个特征向量，对应于特征值

-2有两个线性无关的特征向量所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化

≠0，由定义知A T A 是正定矩阵