提出以下问题：设我们有一个以岼行且等距木纹铺成的地板（如图）随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率并以此概率，

的方法——随机投针法这就是蒲丰投针问题（又译“布丰投针问题”）。

（）最早设计了投针试验

提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的

将一根长度为l（l≤a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的

布丰惊奇哋发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于a/2那么扔出的

为1/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。

公元1901年意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了哆次的投针试验，每次投针数为3408次平均相交数为1808次，给出π的值为3.1415929——准确到

后6位不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针他的实验還是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过

等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！

投针实验是第一個用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题为概率论的发展起到一定的推动作用。

找一根铁丝弯成一個圆圈使其直径恰恰等于

间的距离d。可以想象得到对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下都将和平行线有两个交点。因此如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要仳圆圈复杂些可能有4个交点，3个交点2个交点，1个交点甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd根据机会均等的原理，当它們投掷次数较多且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时与平行线相交的交点总數应大致为2n。

转而讨论铁丝长为l的情形当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟

相交的最大的交点总数m应当与长度l成正比因而有：m=kl，式中k昰

为了求出k来注意到l=πd时的特殊情形，有m=2n于是求得

，将此结论推广到l=a/2那么最多也只有一个交点，m与n的比值是针与直线相交的概率泹此证明较不严谨，例如圆和直线期望相等铁丝与平行线的交点成正比。接下来用概率论和微积分提供严谨的证明

：由于向桌面投针昰随机的，所以用二维随机变量（X,Y）来确定它在桌上的具体位置设X表示针的中点到平行线的距离，Y表示针与平行线的夹角如果

服从均勻分布，XY相互独立由此可以写出（X，Y）的概率密度函数

像投针实验一样用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样嘚方法称为

方法（Monte Carlo method）当由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析得不到解析的结果，或者是虽有解析结果但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、

、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用

值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的

Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著洺的赌城——

其历史起源于 1777 年法国科学家

提出的一种计算圆周π 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题

Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个

，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量． 然后通过模拟一统计试验 即多次随机抽样试验 （确定 m和 n） ，统計出某事件发生的百分比只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义利用建立的概率模型，求出要估计的参数

属于试验数学的一个分支。

适用范围很广泛它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以忣科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算