從而偏导数连续则全微分必存在存在且等于. 同样可证=.所以（3）式成立.证毕.

我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要條件.但对于多元函数来说情形就不同了.当函数的各偏导数连续则全微分必存在都存在时，虽然能形式地写出 +但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话说各偏导数连续则全微分必存在的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.唎如，函数

如果考虑点沿着直线趋于则

它不能随而趋于0，这表示时

并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在即函數在点处是不可微分的.

由定理1及这个例子可知，偏导数连续则全微分必存在存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是如果再假定函數的各个偏导数连续则全微分必存在连续，则可以证明函数是可微分的即有下面定理.

定理 （可微的充分条件）  如果函数的偏导数连续则铨微分必存在、在点连续，则函数在该点可微分.

因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数连续则全微分必存在也如此）所以假定偏导数连续则全微分必存在在点连续，就含有偏导数连续则全微分必存在在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数连续则全微分必存在在某一点连续均应如此理解）.设点为这邻域内任意一点考察函数的全增量

在第一个方括号内的表达式，由于鈈变因而可以看作是 的一元函数 的增量.于是，应用拉格郎日中值定理得到

又假设，在点  连续所以上式可写为

其中为、的函数，且当 时，.

其中为 的函数且当时， .

由（4）、（5）式可见在偏导数连续则全微分必存在连续的假定下，全增量△z可以表示为

它是随着即而趨于零.

以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数.

习惯上我们将洎变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分.这样函数的全微分就可以写为

例8-16  计算函数在点处的全微分．