显然，在丨z丨=1的域内z=0是其一个三5261阶极点。

留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的推广：

在计算留数res柯西分布的特征函数时会出现用初等的微积分是不可能把它计算留数res出来的。我们把这个积分表示成┅个路径积分的极限积分路径为沿着实直线从?a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到?a取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面

由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点由于z2 + 1 = (z + i)(z ? i)，因此这个函数在z = i或z = ?i时具有奇点这两個点只有一个在路径所包围的区域中。

复分析把分析学方法从实变数推广到复变数复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采鼡a+bi的形式, 式中a和b是实数a称为这个复数的实数部分,b是复数的虚数部分,i为根号-1,是虚数单位。