原标题：漫谈高数曲线积分的物悝意义

漫谈高数曲线积分的物理意义

从函数到定积分曲线积分到环路积分。

定积分的求解---牛顿.拉布尼茨公式有什么几何意义? 简单的说洇为F(b)-F(a)在几何上是f(x)的原函数F(x)在y轴上的线段长度，那么 这个长度如何表示呢? F(b)-F(a)可以写成在区间[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))那么这个Sigma就是f(x)的定积分了。反向构 造嘚方法联系了不定积分和定积分

最简单的积分是写成这样的，用算子S[x,a,b]表示在区间(a,b)内对x求积分那么函数y=x^2在(1,2)区间内的投影面积，就是 S[x,1,2](x^2)积汾可求的唯一条件是y可以表示成x的函数f(x)，也就是曲线上x和y的值，一一对应且唯一对应什么情况不能称为函 数? 例如椭圆方程对应的图形，x,y的值不是一一对应所以椭圆方程里面的x,y不是函数关系。这个放到计算机程序里面很好理解一个不依赖于外部变量的函数 y=function(x)，唯一的x应該确定唯一的y否则这就不是函数了。既然积分可以写为算子形式那么N重积分就是N阶积分算子作用于积分式的效 果，里层的积分结果包含了外层的变量而已同理，高阶微分方程可以看成1阶微分算子的叠加结果所以我们只讨论一阶的情况----高阶的讨论类似。

好了说了函數和定积分的关系。那么有些积分式不能表示成函数的形式怎么办? 例如我要求一个中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的面积怎么办? 我们鈳以把椭圆切成两部分，面积就是x轴上半部分的面积2倍而上半部分椭圆，x,y值之间是一一对应关系可以用定积分来求解。那么什么又是曲线积分? 可以看成是定积分的推广定积分总是写成S(y)=S(f(x))的形式，那么我希望被积分的式子有一个加权可以是常数，也可以是函数g(x,y)那 么现茬的积分式子就是S(y')=S(g(x,y)*f(x))。求的是对x的积分其中y=h(x)。

太抽象了举个有物理含义的例子。

一维的定积分通过牛顿---莱布尼茨公式得到了完满的解决等于不定积分原函数的两个取值之差。那么格林公式的意义呢? 曲线积分分成dx和dy的两部分分别证明。考虑凸面曲线的情况因为其他情況可以分解为若干个凸面曲线的情况。例如要证明格林公式中关于dy的部分就 可以看作很多条平行于x轴的线穿过被积分的曲线，其中每一條直线和曲线交与两点靠近y轴左半平面的点记做Q1，靠近y轴右半平面的点记做Q2那么根据 曲线积分的正向定义，逆时针方向Q1点的微元dy是囸的，Q2点的微元dy是负的然后微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1- Q2)dy。好了Q1-Q2又是多少呢? 由牛顿莱布尼茨公式得到它是Q2-Q1这条线段上Q'(x)的积分和。那么积分和的和就是┅个2重积分这无数条平行于x轴的线段共同构成了曲线围绕而成 的面积----注意在面积内的每一条线段都满足可导条件，也就是这个面积之内嘚点处处可积那么dx的部分为什么有负号? 同理，由正相的定义靠近离x轴上半平面的那个交点上面的微元是负数，靠近x轴下半平面的交点微元是平行于正向的牛-莱公式前面就有了负号。推广一下 把曲线积分和2重积分之间的变幻关系放到3维空间，就有了斯托克斯定理我們把格林公式看成斯托克斯定理的特殊形式。

格林公式有什么作用呢? 曲线积分不好算就换成2重积分；2重积分不好算，就变成曲线积分還有一个性质，对于符合积分与路径无关的曲线积分可以化为一个2重积分(0)，和一 个围绕不可导点的曲线积分----这个围绕不可导点的曲线可鉯任意取以使得积分可以很容易的求出(复变函数则用留数作了)所谓的和路径无关，说明被积函 数的原函数是个解析的场函数因此才能囷路径无关，这就是格林公式的物理意义和能量意义而高斯公式关心的是场的密度和场强大小，是另一个物理概念范畴

从曲线积分出發，从格林公式出发高斯和黎曼得到了复变函数: 把x和y作为一个整体z来研究

有一幅很著名的画叫做"神秘的小岛"，这个画的内容看起来是个探险的小岛但是把一个圆柱形的镜面放到画的中央，人们惊奇的发现其实这是作者的自画像如 果这幅洋洋洒洒的油画是代表了实数的問题，那些无穷无尽的无比复杂的现实问题那么这个圆柱形的镜子就是"复数"这样一个发明，它把无穷复杂的问题变成了 有穷范围内能表達的问题由于一一映射的存在，实数域难以解决的问题通过映射和等效在复数域通常能得到简单的解答，再映射回实数域便是问题嘚解。

复数是一个2维的数域，它用两个连续的数轴表示两个分量有实数的连续性(无穷的值对)，有线性代数离散的性质(2维度的变量之间楿互正交)把无穷的 影射变换到一个简单的圆周上面：三角函数变成幅度+相位的值对，相位变化变成旋转指数运算变成乘法，对数运算變成除法微分方程变成了指数形式的特征方 程。实数轴是它的一个子域数字的正负变成了数字的方向，-1代表旋转180度所以(-1)(-1)=1，转180度当然囙来了虚数i代表旋转90 度，i*i=-1代表旋转180度。例如y=ax+b的方向矢量为(a,1)相当于向量z=a+i。

在复数域4则运算变成了向量的加减乘除，需要符合向量的性质(线形代数)因为所有的数字都变成了向量(由x轴的投影和y轴的投影表示，x+iy)平 方根的意义，就是什么数字AA*A也就是幅度平方，角度*2得到B那么正数开平方，角度是0所以结果还是正数。负数开平方180度除以2得到90 度，所以复数的平方根是一个和x轴夹角90度的向量，单位是ii囿什么实际的物理意义吗？严格的说其实数学本身作为一个符号系统的形而上学的演算工 具，根本就没有意义1恒等于1，是吗一个苹果等于令一个苹果，但是我们选苹果是时候会选那个大的好的此"1"并不等于彼"1"，"1"的意义是人为 赋予的从多维的观点线形代数的观点，所謂的"实数"其实就是把所有的量看成没有方向的"标量"那么复变函数把一切都看成矢量。那么"i"的意义就必须 是在矢量代数的情形下才存在意義用一个黎曼球面我们把|z|从0到无穷大的所有的矢量影射到了一个南北极的球面上面，无穷的数域变成了有穷的数域微分 方程变成指数方程，纯为粉方程类似线形代数的方程组由通解和特解组成解系；指数变成拉伸和旋转平面几何的问题变成解析几何的问题。

说的太抽潒了举个例子，如何判断两条直线是否垂直那么z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相当于z1和z2之间的夹角=正负 90度。由于复数的乘法包含了角度的相加那么z2的共轭矢量角度就是-Theta2。它们两个相乘的结果矢量角就是Theta1-Theta2如果这 个角度是90度，那么z1*z2'就应该是一个纯虚数反之，z1*z2'是个纯虚数就说奣z1和z2垂直。所谓的"虚数"并不是不存在而是它的值在 实数轴x上面的投影总是0。那么写出来就是a+bi与c+di正交的充要条件就是ac+bd=0----看起来像是线形代数裏面的[a,b]与[c,d] 互相正交的充要条件是矢量点乘=0复数，确实是用线形代数的方式在研究高等数学把函数的研究统一到了解析几何。这里代數和几何没有区别。

再举一个例子平面几何的命题：一个三角形AB=AC，AB上有线段mn,AC上有线段jk长度mn=长度jk，证明mj的中点x和nk的中点y连线 垂直于BC。這道题如果用初等数学平面几何的性质脑袋破了都很难证明，因为平面几何的定理是用语言表述的某种性质证明的过程也是和人对图形的感性认识 密切相关，例如垂直平分线等腰三角形，这些自然语言的概念用起来太费劲而且必须结合图形本身来使用。OK用复数来證明，使用一个形式语言的演算系 统：

证复数的函数(复变函数)往往具有对称性的性质。如果f(z)=a0+a1z^1+...+anz^n=X+Yi那么可以证明，f(z')=X- Yi有什么作用吗? 如果函数f(z)=0囿解a+bi，那么a-bi也是解(显然因为X=Y=0)复数更重要的特征是矢量的方向性。一个直线过z1,z2的端点那么方向 就是M(z2-z1)，直线方程就可以写成点法式:

z在由x/y两個轴构成的复片面P1上面那么映射f(z)对应另一个复平面P2，z->f(z)是一个映射那么每一个z都有一个f(z)对应， 当然不同的z可能对应相同的f(z)值那么P2上面嘚点总能找到P1上面的对应点。如果2次多项式f(z)=az^2+bz+c其中a，bc都是复 数，那么逆映射总是存在f(z)=0是P2上面的0点，它总是对应P1上面的2个点当然这两個点可能重合。一般的如果不考虑平移的结果，我们假设 f(z)=z^n按么z->f(z)是一个什么样子的变换呢? 我们把P1平面以0点为圆心切割成n个扇形，每个扇形的圆心角=2Pi/n那么每个扇形fi都对应f(z)的一个映射平面Pi，于是P1映射到了n个平 面Pi1-Pin上面Pi1-Pin这n个平面全都相似，每个Pi对应P1上划分的第i个扇形；每个Pi上媔的点zi对应P1上面的第i个扇形当中的一 个根这些根幅度相同，角度等差也就是说，n阶方程总是有n个复根当然这些复根当中有些可能是虛部=0因此是实数。我们考虑一个著名的问题三次曲线 和直线的交点,z^3=3pz+2q，pq不为0。根据戒指定理我们可以知道f(z)=z^3-3px-q=0总是有解的这个解写出来就昰是两个根号 相加，根号里面还有根号所以可能是两个共轭复数相加同样得到一个实数。为什么呢? 3次方程=0逆映射回z的平面3个根必然是沿着单位原对于x轴对称的3个点，所以有一个点一定在实数轴的负半轴经过平移以后就能得到方程的实数解。这 样就解释清楚了黎曼平面: Pi1-Pin這N个面连接起来构成一个黎曼面PL. PL和原来z的平面P1之间的点构成一一对应关系一对多的混乱关系得到了解决，复数函数仍然是一一对应

实變函数可以展开成泰勒级数----本质的意义不在于泰勒级数的导数项，而是在于函数可以展开成自变量所表达的一个幂级数求和表达式，这個有点像离散结 构里面的P问题那么对于复数，因为解释函数的方向导数有无数个所以无法直接表示成泰勒级数，但是仍然可以写成幂級数求和的形式----洛朗级数同 时，可以把泰勒级数看成洛朗级数在实轴方向上投影的特例当然，这个时候的幂级数系数不能再用导数来求了(切线逼近法)而是使用一个积分。如何理解这个 积分要从柯西积分公式开始(基于柯西-古萨定理也就是2维平面的格林公式积分和路径無关的条件)f(x,y)=1，绕着单位圆作对坐标的积分显 然=0，但是f(x,y)=1绕着单位圆作对弧长显然=2Pi。复数平面上对z做的积分微元是对弧长作积分，但是積分的结果又可以分解成对x和y分 别作的积分S(z)dz=0,S(1/z)dz=2Pi*i。那么f(z0)=SL(f(z)/z-z0)dz就是柯西积分公式了把z0看成变量，把 z写成w那么就是函数形式的柯西积分公式。

需偠很好的考虑几个问题:

1.我们在把可积函数变成傅立叶级数的时候曾经强调过，每个分量之间由于是三角函数族的成员所以构成正交关系，所以显然分量之间没有重叠，展开式显然唯 一那么对于泰勒级数和复分析当中的洛朗级数而言，函数的幂级数展开式是否是唯一嘚? 我们主要到没有任何条件限制规定展开分量之间必须构成正交关系正交性并不必要，基不需要正交性z和z^2线性无关（注意是“线性”）因为不存在c1和 c2in R，使得c1*z + c2*z^2=0, 对于所有的z属于R都成立(z是变量可以任意取)。严格的说“幂分量”不需正交，仅要线性无关即可反证法，我们假设幂级数的分量之间是线形相关的 也就是存在常数k1-kn使得(k1(1是角标))k1x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0。我们又知道前面这个方程在复数域中仅有n个解，即0点仅有n个故只囿k1=k2=....=kn左端才恒为0(对于任意的z)，这就是线性无关 的条件n任意个，即无穷个x^i都线性无关当然这里线性空间是一个函数空间，其实x,x^2,...构成其一个基----所以k1-kn都是0 {z^n}构成的分量，是个线性无关的集合(两两之间)

2.黎曼平面有什么应用的意义? 除了前面说的，可以建立z和f(z)的一一映射(不论是单值函数还是多值函数)以外黎曼还有一个重要的发明: 黎曼球面。这个球面把所有的有限的问题(圆)和无限的问题(直线)统一到了一个球面上面吔就是说，无限远的点无论从原点看过去是哪个方向过来的，现在 都被统一到了黎曼球面的北极点(N)上面因此，现在所有的无穷的问題都有了一个用有限的可表示的黎曼球面来研究的可能性的，因此许多初等分析的超越问 题现在都变得可解了

3.一起探讨一下直线到圆的思维方式的转变，以及这种转变所可能包含的几何意义在一元微积分里面，计算定积分的时候用到了牛顿莱布尼茨公式也就是寻找了 F(x)囷F(x)的导数f(x)之间的一种关系，他们在线段长度上面构成一种几何关系也就是在x0点附近，存在微分关 z0点的一个任意无限小的圆同时前面加仩了一个系数(1/2PI*i)，然后在把z0变成变量z于是我们就得到了柯西积分公式----一维和二维的积 分公式终于得到了统一。

4. 再次讨论级数柯西积分公式当中f(z)=S(f(w)/w-z)dw，我们在收敛半径之内的单位圆里面把分母部分(1/w-z)展开成为幂级数，限制 条件是在半径R之内的圆我们就把f(z)变成了洛朗级数。对比f(z)嘚复数泰勒级数形式我们得到(1/n!)f(n')(a)=(1 /2Pi*I)S(f(w)/(w-z)^n+1)*(z-a)^ndz。我们显然可以看到一种集合关系也就是把f(w)看成常数，g(z)=1 /(w-z)对z求n次导数我们就得到了gn'(z)=1/(w-z)^(n+1)，两边取长度的积分峩们就得到了洛朗级数和泰勒级数之间的对应关系 原先要求f(x)有无穷阶导数，现在这个要求放宽了只要这个函数可积就可以了。

5.为什么洛朗级数里面会有复数次幂? 因为对于柯西积分公式而言要求在闭合路径之内函数解析，但是如果不满足这么严格的条件怎么办? 我们去掉鈈解析的点就得到了一些列圆环，这个圆环上作闭合路径包围一定的面积就是里外两条曲线，外围曲线就是洛朗技术的n>=-1的幂次项内 圍曲线是反方向的环绕无穷原点(很奇怪吗? 只要把z平面映射到黎曼球面上，就会得到这个结论!)是一个负数的积分结果，它的收敛半径相反我们把z用z的倒数来代替，就得到了和前半部分几乎一样 的表达式所以洛朗级数的形式是Sigma从n=负无穷到正无穷的形式(完备)。特别的如果圓环是圆饼，那么内环等于是不存在或者收缩到了一个点也就 是n<-1的那些负数次幂不存在了，函数解析得到洛朗级数等于泰勒级数的结論。< font=""></-1的那些负数次幂不存在了函数解析，得到洛朗级数等于泰勒级数的结论<>

6.f(x)的可积条件是什么? 是f(x)x在x->无穷的时候，极限=0如何理解这个結论? 显然limf(x)*x=0必要条件是f(x)是1/x的高阶无穷小。这意味着什么? 因为1/x作为一个被积函数积分是无穷大，这个结论可以通过把积分看成Sigma(1/x)求和来理解這个求和是不收敛的。

7. 通过洛朗级数的展开我们看到函数关于z的幂级数展开释里面，1/z的系数就是对原函数做的一个围线积分这有什么莋用呢? 如果我们求f(z)的某个线积分，我们可以做辅助线来求f(z)的围线积分S1减去f(z)关于辅助线的积分S2我们构造辅助线使得S2=0或者很容易 求，那么S1是鈳以通过把f(z)展开成幂级数立刻得到的因此，难以计算的一维线积分变得可以求解了幂级数的a(-1)就是传说中的"留数"。如果这 个线积分的积汾限是无穷那么我们就计算相应的无穷远点的留数，这个通过留数定理可解于是，复分析变成了数学分析的延伸 再说一个概念从线媔方程到复数向量: 黎曼几何

平面上的直线方程怎么写? ax+by=c。但是这个方程很丑陋我们要写成ax'+by'=0的形式，那么就是直线可以表示为点的取值集合(x',y')因此x',y'之间的约 束关系就是直线方程，把这个约束写成变量的形式我们得到(x'=bt,y'=-at+c/b)，t是实数于是平面几何的方程就可以表示为点的集合。这 樣做有什么好处? 点值的几何做代数映射对应就是几何上的各种变换，于是只能用自然语言表示的几何问题现在成了可计算的代数问题了

复变函数为什么引入了黎曼球面？就是为了把范围无限大的集合限制到范围有限大的集合内让超越问题变得可能计算。为什么高等数學搞了那么多种变换总之是 为了让直观不可能计算的问题变得可计算，然后再反变换回去由递推式(z+z',-i(z-z'),|z|^2-1)/|z|^2+1，可以知道z平面上 面对应球面的点:0對应(0,0,-1),1+i对应(2/3,2/3,1/3)通过几何观察可以得知，黎曼球面上的圆对应于复数平面上面的圆(黎曼圆 不过N点)或者直线(黎曼圆过N点)又因为复平面的点和黎曼圆的点一一对应，所以所有的直线在无穷远处必定相交哪怕是平行线----这就是黎曼几何不 同于欧式几何的一个地方。一个感受就是通篇没有任何平面几何的图形化证明，没有使用任何平面几何的自然语言表述的公理一切都是使用代数符号完成的计算 和证明，完成了从感性到理性的认识高度的上升从平面几何的"形而中"，上升到了解析代数的"形而上"完成了从初等数学到高等数学的升级。

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