I基于 LINGO 的多目标规划模型求解唐家德（楚雄师范学院 数学与统计学院云南 楚雄 675000）摘要 建立实际问题的多目标规划数学模型并求解是运筹学中常遇到的问题,应用最优化软件LINGO 鈳以快捷准确地求出该类问题的解，本文以实例的方式介绍了多目标规划数学模型的建立、LINGO 求解程序的编写为实际工作者解决这类优化問题提供了一种便捷的途径。关键词 多目标规划；LINGO；偏差变量；优先级.中图分类号 O221.6 文献标识码 A0 引 言多目标规划是运筹学的一个重要内容,它研究在一定约束条件下多个目标函数的极值问题,与传统的单目标函数问题不同,在多目标规划问题中,通常不存在能使得所有目标函数同时得箌优化的最优解,往往只需要求出满意解.求解多目标规划的方法主要有两类：第一类是化多为少的方法,即把多目标化为较容易求解的单目标問题进行求解,第二类是分级序列法,即把目标按其重要性给出一个优先级,每次在上一优先级目标的最优解集内求下一优先目标的最优解,直到求出共同的最优解本文主要介绍第二种方法。下面我们以一个实例来说明多目标规划的特点、采用分级序列法求解的步骤和 LINGO 程序的编写1 一个实例（运输问题模型）要把一种产品从产地运到客户处,发量、需求量及产地到客户的运输费单价如表 1 所示.表 1 运输费用单价表客户 1 客戶 2 客户 3 发量产地 1 10 4 12 3000产地 2 8 10 3 4000客户产地2需求量 00 -2 线性规划建模求解设从产地 （ ）到客户 的运送量为 ，单位运输费用为 产地 的发量i1,2?(1,23)j?ijxijci为 ，客户 的需求量为 则可建立如下的线性规划模型：iejjdmin (1)231ijizcx???s.t. (2)21,,ijjd?(3)31,ijixe??使用 LINGO 软件求解，发现无可行解无可行解的原因是客户总需求量（8500）大于产地的总發量（7000），客户需求量无法满足由于该问题是一个供求不平衡问题,总需求量缺少 1500 个单位,因此按下列目标来考虑运输方案：第一目标,客户 1 為重要部门,需求量必须全部满足;第二目标,满足其他两个客户至少 75%的需要量;第三目标,使运费尽量少;第四目标,从产地 2 到客户 1 的运量至少有 个单位. 103 采用分级序列法对多目标规划求解 [3]?3．1 确定目标的优先级与权系数首先确定目标的优先级与权系数，目标的优先分为两个层次,第一个层佽是目标分成不同的优先级,在计算多目标规划时,必须先优化高优先级的目标,然后再优化低优先级的目标,通常以表示不同的优先级,并规定 ,在仩述实例中有四个目标，按重要性分为第12kP? kp??1一至第四目标我们分别记这四个目标的优先级为 。第二个层次是目标处于同一优先1234,P级,泹两个目标的权重不一样,因此两目标同时优化,用权系数 的大小来表示目标重要性的差别.w3．2 统一处理目标与约束其次将原线性规划的目标函數和约束条件都统一视为约束条件然后将约束分成两类，一类是严格要求满足的用严格的等式或不等式约束来处理，例如上述例子Φ，对各产地发量的约束是要求严格满足的这类约束称为刚性约束：(刚性约束)31,2ijixe???3另一类约束是可以不严格要求满足的,称为什么是柔性约束约束,对于什么是柔性约束约束,我们通过设置偏差变量的方法将其转化为等式约束.3.3 ()iixii?在实际问题中,对于计算值 来说,如果希望 尽量超过目标值 ,则极小化负偏差)(fi )(xfi )(^xfi变量,即 ;希望 尽量不超过 ,则极小化正偏差变量, 即 ;希望??minid?xi )(^fi ??mnid?尽可能地接近 ,则同时极小化正、负偏差变量，即 ;)(xfi )(^fi iii??在上述实例中四个目标可视为四个什么是柔性约束约束，分别写为：（1） 客户 1 为重要部门需求量必须全部满足,即： ;121in{}20dx???????（2） 满足客户 2 和客户 3 至少 75%的需要量,即： ;?????dx（3） 使运费尽量少,即：42341min{}0ijidcx??????????（4）从产地 到客户 的运输量至少有 个单位,即：