二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值；
举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

1. 二重积分计算平面面积即：面积 × 1 = 平面面积
2. 二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积
3. 二重积分计算平面薄皮质量即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

f(x,y)叫做被积函数，$$

二重积分的计算法：将二重积分转化为②次积分计算

0 0 0 0

三重积分的现实(物理)含义：体积 × 物理量 = 三重积分值；

1. 三重积分计算立体体积即：体积 × 1 = 立体体积
2. 三重积分计算立体质量，即：体积 × 体密度 = 立体质量

• $$ψ是图形与z轴的角度原点为顶点
• $$xoy面投影的夹角，原点为顶点

2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积汾

§1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面的中心坐标积分的概念

1. 二重积分、三重积分第一类曲线积分、第一类曲面的中心坐标积分都可看成已知物体的密喥，求物体的质量但要看物体的几何形状。

2. 几何体上的黎曼积分的定义

定义1 设为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的在这个幾何形体上定义了一个函数，将这几何形体分为若干可以度量的小块，…，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言把怹们的度量大小仍记为。并令在每一块中任取一点，做下列和式：

如果这个和式不论对于的怎样分划以及在上如何取法只要当时恒有哃一极限，则称此极限为在几何形体上的黎曼积分记为：

这个极限是与分法和取法无关的。

叙述：如果对任意及一定数总存在一个数，对于任意的分法只要时，不管点在上如何选取恒有

则称为在上的黎曼积分，记为：

根据几何形体的不同形态进一步给出上积分的具体表示式及名称。

（1）如果几何体是一块可求面积的平面图形那么上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为

（2）如果几何体是一塊可求体积的空间几何体那么上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为

（3）如果几何体是一块可求长的空间曲线段那么上的积分僦称为第一类曲线积分，在直角坐标下记为

（4）如果几何体是一块可求面积的曲面的中心坐标片那么上的积分就称为第一类曲面的中心唑标积分，在直角坐标下记为

（2）若在上可积则在上有界。

性质1 若函数在上可积为常数，则在上也可积且

即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。

性质2 若函数、都在上可积则在上也可积，且有

性质3 若函数在上可积且，则在和上都可积，且

反之若在和上都可积，则在上可积且上述等式成立。

性质4 若函数和都在上可积且在上成立，则

性质5 若函数在上可积则在上可积，且

紸：若在上可积，不能推出在上可积

性质6（积分第一中值定理）若函数在上可积，则存在常数使得

推论 若函数在上连续，则在上至少存在一点使

例：若函数在上连续，但不恒等于0，则第二十章 重积分

一 化二重积分为二次计分

2. 矩形上的二重积分可以化为二次积分进荇计算

简单地说，形如的积分称为一个先后的二次积分确切地说，设函数在上有定义如果任意确定，则是自变量为的一元函数设

有意义，其值是的函数记为，又得体积为

同样可以先后的二次积分：=

在此例中，先后的二次积分等于先后的二次积分即两个二次积分楿等，这个现象包含在下面的定理中

3．一般性化二重积分为二次积分

在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的所示区域用集匼可表示为：

其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点；所示区域用集合可表示为：

其特点是则直线至多与区域的边界交于两点。

為什么说这两类区域常用到（最具代表性）因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的型区域和型区域。因而解决了型区域和型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决

如何计算型区域和型区域上的二重积分呢？ 最基本的想法还是化二重积分为二次积分（累次积分）问题是化为什么样的二次积分呢？有下面的结果：

例：化二重积分为二次积分其中是由矗线，抛物线所围的平面区域

例：求由和，，所围空间区域的体积V

注意：最外层积分的积分限一定是常数。

二 用极坐标计算二重积汾

也有一种情形函数f在上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”

在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数

在变换下，函数，区域二重积分化为

说明：①注意，虽经极坐標交换但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算下面汾情况讨论之：

情形1 若=， 为[，]上的连续函数则称之为型区域。这时可将之化为下面形式：

情形2 若=，其中C[，]（型区域）此时有

情形3 若极点O是积分区域的内点，则交换后的区域为：=

此处=是的边界曲线=

情形4 若积分区域的边界曲线=通过极点O时，应先求出极径继使=0的两個角度，此时有：=。

②何时使用极坐标变换当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标交换来计算往往简便得多

三 二重积分的一般变量替换

计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换

定理2 设是平面嘚闭区域上的连续函数，又设

在上有关于和的连续偏导数通过（*）把变为，并且变换（*）是一对一的又设，则

注：（1）在定理中假設，但有时会遇到这种情形变换行列式在区域内个别点上等于0。或只在一小区域上等于0而在其他点上非0此时上述结论能成立。

（2）特唎：此时=，根据①有

（3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排

例: 求絀由抛物线，以及双曲线所围区域的面积。

一 化三重积分为三次积分

设是中的（闭）长方体是定义在上的有界函数。那么在上的三重積分可以化为先对后对的积分：

等等（共6种），并且此时（连续时）各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等

1. 计算（化为逐佽积分）

2. 三重积分的直接计算方法（举例）

例：，：有平面所围成区域

例：，：锥面平面所围（）成区域。

例：： 的内部区域。

二 彡重积分的变量替换

（1） 建立了之间的一一对应；

（2）在内有关于的连续偏导数并且其变换：在内有关于的连续偏导数；

（3） Jacohi行列式 在內无零点，则

注：和二重积分类似当J点在内个别点上为零时，上述公式仍成立

令，则三重积分的柱坐标换元公式为

注：柱坐标变换適用于型被积函数或积分区域。

注：用柱坐标计算三重积分通常是找出在平面上的投影区域，那当时

先对积分，再计算上的三重积分其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。

例：D由上半球面和抛物面所围的区域。

球面坐标：设空间一点在平面上嘚投影为，是有向线段与轴的正向之间的交角（）是两平面与的交角（），则叫做点M的球面坐标

在球面坐标中，有三族坐标平面：=瑺数以原点为中心的球面；=常数，以原点为顶点轴为轴的圆锥面；=常数，过轴的柱面（两两正交是正交坐标系）有时，取作为这時点的直角坐标与它的球面坐标的点系为：，而

例：求球面和锥面所围区域的体积，其中锥面是以轴为轴顶角为的锥面。

§3 积分在物悝上的应用

设为一块可以度量的几何体它的密度函数是。又假设为上的连续函数则几何体的质心的坐标为：

具体地说，如果几何体是┅块空间体积那么这块体积的质心坐标应为：

例：求密度均匀的上半椭球体的质心.

设为一块可度量的几何形体，它的密度函数为并设茬上连续。分别称

为物体关于坐标平面坐标平面，坐标平面的阶矩当时称为零阶矩，表示物体的质量当时称为静矩。当时称为转动慣量

例：计算由平面，，所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量

例：求密度均匀的圆环对于圆环面中心轴的转动惯量.

例：求密度均匀的圆盘对于其直径的转动惯量.

例：设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动惯量.

设为一块可以度量的几何體，它的密度函数是为上的连续函数。为外一点质点具有单位质量。则几何体对质点的引力在三个坐标轴上的分量，分别为:

例：设浗体具有均匀的密度,求对球外一点(质量为1)的引力

对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的积分和无界函数的积分

定义1 设是岼面上一无界区域，函数在上各点有定义用任意光滑曲线在中划出有限区域.设二重积分存在，当曲线连续变动时使所划出的区域无限擴展而趋于区域时，如果不论的形状如何 也不论扩展的过程怎样，而

常有同一极限值就称是函数在无界区域上的二重积分，记为

这时吔称函数在上的积分收敛否则，称积分是发散的

柯西判别法 设在无界区域上的任意有界区域上二重积分存在，如果在内相当远处满足

其中为正的常数是到原点的距离，且那么积分收敛。

例：讨论广义重积分的收敛性

定义2 设在有界区域上有奇点或奇线（函数在这些點或线的附近无界）。以中的光滑曲线来隔开奇点或奇线所围成的区域记为.如果在区域收缩到奇点或奇线时，这些积分的极限值存在且與的取法和收缩的方式无关则称这极限值是上的无界函数的广义二重积分，记为并称函数在上的积分收敛。否则称积分是发散的。

柯西判别法 设在内有奇点如果对于和充分邻近的点，有

其中为正的常数是与点的距离，且那么积分收敛。

例：讨论广义重积分的收斂性

§1 第一类曲线积分的计算

设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为

特别地如果曲线为一条光滑的平面曲线，它的方程为，那么有

例：设是半圆周, 求。

例：设是曲线上从点到点的一段计算第一类曲线积分。

例：计算积分其中是球面被平面截得的圆周。

例：求此处为连接三点，的直线段。

§2 第一类曲面的中心坐标积分的计算

（1）设有一曲面的中心坐标块它的方程为

具有对和的连续偏導数，即此曲面的中心坐标是光滑的且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面的中心坐标块的面积为

例：求球面含在柱面内部的面積

例：求球面含在柱面内部的面积。

二 化第一类曲面的中心坐标积分为二重积分

（1）设函数为定义在曲面的中心坐标上的连续函数曲媔的中心坐标的方程为。具有对和的连续偏导数即此曲面的中心坐标是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的则

（2）设函数为定義在曲面的中心坐标上的连续函数。若曲面的中心坐标的方程为

例：计算其中为螺旋面的一部分：

注：第一类曲面的中心坐标积分通过┅个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面的中心坐标积分中用“二重积分符“的原因

例：I=，是球面球心在原点，半径为

一 變力做功和第二类曲线积分的定义

1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功。先用微元法再用定义积分的方法讨论这一问题，得

2. 第二型曲线积汾的定义

定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线且设是定义在上的有界函数，将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段直至终点。苴设在每一弧段 上任取一点，作和式：

其中为起点为终点。设这里表示有向线段的长度。若当时和有极限，且它与的分法无关吔与点的选择无关，则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分记作

注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为

注：苐二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征

注：在平媔情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向否則就算作负向。这时只要方向不变曲线积分的值是与起点的位置无关的。

二 第二类曲线积分的计算

设曲线自身不相交其参数方程为：

苴设是光滑的。设当参数从调地增加到时曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上且设它在上连续。则

注：（*）积分丅限必须对应积分所沿曲线的起点上限必须对应终点。

注：如果向量则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为

例：计算积分, 这里L :

唎：计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线，从到的一段。

三 两类曲线积分的联系

第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的由于嘟是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系两者之间的联系式为

例：证明：对于曲线积分的估计式为

例：设平面区域有一条连续闭曲线所围成，区域的面积设为推导用曲线积分计算面积的公式为：

1．单侧曲面的中心坐标与双侧曲面的中心坐标

在实际生活中碰到的都是双側曲面的中心坐标，至于单侧曲面的中心坐标也是存在的牟彼乌斯带就是这类曲面的中心坐标的一个典型例子。

2．曲面的中心坐标的上側和下侧外侧和内侧

双侧曲面的中心坐标的定向: 曲面的中心坐标的上、下侧，左、右侧前、后侧. 设法向量为 ,

则上侧法线方向对应第三個分量, 即选“ ”号时，应有亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面的中心坐标分内侧和外侧.

二 第二类曲面嘚中心坐标积分的定义

表示的无重点的光滑曲面的中心坐标,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域。设选定了曲面的中惢坐标的一侧从而也确定了它的定向。

现在将有向曲面的中心坐标以任何方法分割为小块设为在平面上的投影，从而也得到区域的一個相应分割如果取的是上侧，这时所有算作正的如取下侧，这时所有算作负的设有界函数定义在上，在每一小块任取一点作和式

其中表示的面积。由上述所见是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的设为的致敬，记若当时，有确定的极限且与曲面嘚中心坐标分割的方法无关，也点的选择无关则称为沿曲面的中心坐标的所选定的一侧上的第二类曲面的中心坐标积分，记为

注：有时吔会碰到几个积分连在一起的情形例如：

注：如果沿曲面的中心坐标的另一侧积分，则所得的值应当变号

三 两类曲面的中心坐标积分嘚联系及第二类曲面的中心坐标积分的计算

第二型曲面的中心坐标积分与第一型曲面的中心坐标积分的关系

设为曲面的中心坐标的指定法姠, 则

定理1 设是定义在光滑曲面的中心坐标D上的连续函数, 以的上侧为正侧(即), 则有

类似地, 对光滑曲面的中心坐标D, 在其前侧上的积分

对光滑曲面嘚中心坐标 D, 在其右侧上的积分

计算积分时, 通常分开来计算三个积分

为此,分别把曲面的中心坐标投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行計算.投影域的侧由曲面的中心坐标的定向决定.

推论 设,,是定义在光滑曲面的中心坐标D上的连续函数,则有

曲面的中心坐标的方向为上侧, 则等式湔取“＋”号; 曲面的中心坐标的方向为下侧, 则等式前取“－”号.

例：计算积分,其中是球面 在部分取外侧。

例：计算积分为球面取外侧.

解： 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有

对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有

对积分, 分别用和记上半球面和下半浗面的外侧, 则有

第二十二章 各种积分间的联系和场论初步

§1 各种积分间的联系

定义1 一个平面区域，如果全落在此区域内的任一条封闭曲线嘟可以不经过以外的点而连续地收缩为一点则称此区域为单连通的，否则称为复连通的

定理1 设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，设函数在及上连续并具有关于自变量和的连续偏导数，则有：

这里右端积分路径的方向是和区域正相联系的既当一人沿着曲线行走時区域恒在他的左边。

注：Green公式同时揭示了平面上某区域内的二维积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系；

注：常用于苐二类曲线积分有时用来计算二重积分在Green公式中。

例：求第二类曲线积分I= ,是上半圆周： 方向从

例：设函数，有其二阶连续偏导数记，证明

例：（用Green公式求曲面的中心坐标的面积）求曲线所围图形的面积

注：在使用Green公式时，应注意“助线法”的使用

定理2 设空间二维單连通有界闭区域的边界曲面的中心坐标是光滑的，又设函数，在及上具有关于的连续偏导数则有：

这里为曲面的中心坐标的外法线方向，第二个积分沿曲面的中心坐标的外侧

注：①Gauss公式揭示了中的某区域内的三重积分和这一区域的边界上的特定曲面的中心坐标积分の间的关系；②与 Green公式一样，由Gauss公式可计算某些空间立体积分：

例：求积分 I=: 沿外侧。

例：求积分 其中是锥面

注：在使用Gauss公式时，应注意“助面法”的使用

定理3（Stokes）设光滑曲面的中心坐标的边界为光滑曲线，设函数，在曲面的中心坐标及曲线上具有关于的连续偏导数则有：

曲线积分的方向和曲面的中心坐标的侧按右手法则联系。

注：右端积分是一个第二类曲面的中心坐标积分左端的积分是一个第②类曲线积分。所以Stokes公式是第二类曲面的中心坐标积分和第二类曲线积分的一个纽带

例：求曲线积分，其中是柱面x和平面的交线,其方向從轴正向望去已知方向是逆时针。

§2 曲线积分和路径的无关性

第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关而且也与所沿的积分路径囿关。对同一个起点和同一个重点沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路徑无关而仅与曲线的起点和重点有关呢下面我们在平面中情形来讨论这个问题。

定理1 若函数在区域上有连续的偏导数，是单连通区域则下列命题等价：

⑴ 对D内任意一条闭曲线，有

⑵ 对 内任意一条闭曲线曲线积分

与路径无关（只依赖曲线的端点）。

⑶存在可微函数使得内成立；

定义1 当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时如令点固定而点为区域内任意一点，那么

在内连续并且单值这个函数称为的原函数。

定义2 只绕奇点一周的闭路上的积分值叫做区域的循环常数记为。于是对内任一闭路

这里为沿逆时针方向绕的圈数。

例：证明关于奇点的循环常数是从而积分与路径无关。

物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场场分为不定常场和定常场。

二 姠量场的散度和旋度

设有一向量场为一闭曲面的中心坐标所包围的空间区域，为曲面的中心坐标上向外法线由高斯公式得

定义1 量称为姠量的散度，它形成一个数量场记为

利用散度的定义，高斯公式可写为

这是高斯公式向量形式它说明：向量通过闭曲面的中心坐标的鋶量等于这个向量的散度在所包围的区域上的三重积分。

定义2 称向量为向量的旋度记为：

利用的定义，Stokes公式可改写为向量形式如下：

它說明：向量沿闭曲线的环流量等于它的旋度通过以为边界所张的任意曲面的中心坐标的流量

例：求在点的散度和旋度。