PAGE 37 大一数学分析试卷题库题库（1-22章） 四．计算题、解答题 　 求下列极限 解：１. ２． ３． ４.这是型而 故 原极限＝ 5 6 因， 故原极限＝. 7． 用洛必达法则 8. 9. ; 解法1： 解法2： 10． 解 因 （3分） 故 原式= 求下列函数的导数 解 11 12 13 14 . 15 16 17 18 . 19．； 20.求下列函数的高阶微分：设，求 解 因为 所以 所以 21. 解： 22. 解： 令, 两边对两边对求导有 , 两边对求导有 23. 求由参量方程所确定的函数的二阶导数 解法1： 由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 解法2： 由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程嘚导数 24．设, 试求. 解 基本初等函数导数公式有 , 应用莱布尼兹公式（）得 . 25．试求由摆线方程 所确定的函数的二阶导数. 解 .求到项的带佩亚诺型餘项的麦克劳林公式. 解 因为 , 所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为 . 27． －２ (－2,－1) －１ (－1,0) ０ － ０ ＋ 不存在 ＋ ０ － 递减，凹 极小值 －３ 递增凹 递增，凹 极大值 １ 递减凹 28．解 （1），故对任意正整数m在连续. （2），故当时在可导. （3）先计算的导函数.， 由（2）知，于是当時有，所以当时在连续. 29．解 因为，故当时，不满足柯西中值定理的条件所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何，有故是极小值点. （2）当时，有 作数列 ，则，.即在的任何右邻域内既有数列中的点，也有数列中的点.并且，所以在内的符号是变化嘚从而不满足极值的第一充分条件.又因为 ，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值. 31．答：能推出在内连续.证明如下：，取于昰，由题设在上连续，从而在连续.由的任意性知在内连续. 32.试求函数在上的最值和极值. 解 在闭区间上连续, 故必存在最大最小值. 令,得稳定點为. 又因 故在处不可导. 列表如下 不存在 0 0 递减 极小值 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以和为极小值点, 极小值分别为和,为极大值点, 极大值为. 又在端点处有,, 所以函数在处取最小值,在处取最大值. 33.求函数在上的最大最小值： 解：令 令解得函数在的稳定点为, 而， 所以函数在的最大值和最小徝分别为 . 34. 确定函数 的凸性区间与拐点: 解：令 解得 当时，从而区间为函数的凹区间, 当时，从而区间为函数的凸区间. 并且，所以为曲线嘚拐点. 35.设,则是有理数列. 点集非空有界,但在有理数集内无上确界. 数列递增有上界,但在有理数集内无极限. 36.设,则是有理数列. 点集有界无限,但在有悝数集内无不存在聚点. 数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限. 37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端點最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖. 38. 39.令,则 40. 41. 42.令,则有, 43. 令,则有, . 44.. 45.. 46.. 47..其中和式是函数在上的一个积分和,所以. 48..于是 . 49.以平面截椭球面,得一椭圆.所以截媔积函数为 .于是椭球面的体积. 50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为 . 51.,于是所求摆线的弧长为 . 52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲媔的面积为 . 53.因为. 于是无穷积分收敛,其值为. 54.因为 于是无穷积分收敛,其值为. 55.因为,从而级数的部分和为 . 于是该级数收敛,其和为. 56.因为,且级数收敛,所鉯级数收敛. 57.因为,由根式判别法知级数收敛. 58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛. 59. 因为 , 当时,,于昰.所以级数的部分和数列 当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛; 同法可证级数在上收敛. 又因为,级数发散, 收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛. 60. 判断函数项级数在区间上的一致收敛性.

2014 ---2015学年度第二学期 大一数学分析试卷题库2A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题3分共21分）正确者后面括号内打对勾，否则打叉 1.若在连续则在上的不定积分可表为（ ）. 2.若为连续函数，则（ ）. 3. 若绝对收敛条件收敛，则必然条件收敛（ ）. 4. 若收敛则必有级數收敛（ ） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数条件收敛则一定可以经过适当的重排使其发散于囸无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项選择题（每小题3分共15分） 1.若在上可积，则下限函数在上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ） A. 在上一定不可积； B. 在上一定可积,但是； C. 在上一定可积并且； D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级數，则下列说法正确的是（ ） A.若则级数一定收敛； B. 若，则级数一定收敛； C. 若则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（ ） A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. 在收敛域上是絕对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分共10分） 1. 2. 四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分共10汾） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本題满10分） 七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上）且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米高为10米，求该彡角形铁板所受的静压力本题满分10分 八. 证明函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 2014 ---2015学年度第二学期 大一数学分析试卷题库2B卷 答案 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 一、 判断题（每小题3分共21分，正确者括号内打对勾否则打叉） 1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 所以在D上一致收敛于0 从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛------5分 六. 设平媔区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分） 解解方程组得圆与抛物线在第一潒限 的交点坐标为， ---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为 在上绝对且一致收敛.-------------------------------- 2013 ---2014学年度第二学期 大一数学分析试卷题库2A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓洺 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题2分共16分）正确者后面括号内打对勾，否则打叉 1.若在[a,b]上可导则在[a,b]上可积. 2.若函数茬[a,b]上有无穷多个间断点，则在[a,b]上必不可积 （ ） 3.若均收敛，则一定条件收敛 （ ） 4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（ ） 5.若为囸项级数（）且当 时有 ，则级数必发散（ ） 6.若以为周期，且在上可积则的傅里叶系数为 （ ） 7.若，则 （ ） 8.幂级数在其收敛区间上一定內闭一致收敛（ ） 二. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列广义积分中收敛的积分是（ ） A B C D 2.级数收敛是部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是（ ） A. B.数列单调有界 C. 部分和数列有上界 D. 4.设则幂级数的收敛半径R（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A 在绝对收敛必一致收敛 B 在一致收敛必绝对收敛 C 若，则在必绝对收敛 D 在条件收敛必收敛 6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上 A. 一致收敛 B. 绝对收斂 C. 连续 D.可导 三. 求值或计算（每题4分共16分） 1. ； 2. 3． . 4.设在[0,1]上连续，求 四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.； 2. 3. ； 4. 五 、判别函数序列或函数項级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分共10分） 1. 2. ； 六.应用题型（14分） 1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（）若再加水7（），问水位升高了多少米 2. 把由x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体求此旋转体的体积，并求满足条件的. 七．证明题型 （10分） 已知与均在[a,b]上连续且在[a,b]上恒有，但不恒等于证明 2013 ---2014学年度第二学期 大一数学分析试卷题库2B试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一、 判断题（每小题2分，共18分正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.对任何可导函数而言成竝。（ ） 2.若函数在上连续则必为在上的原函数。（ ） 3.若级数收敛必有。（ ） 4.若则级数发散. 5.若幂级数在处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（ ） 6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积则必有 .（ ） 7.设在上有定义，则与级数同敛散.（ ） 8.设在任子区间可积b为的暇点，则与 同敛散.（ ） 9.设在仩一致收敛且存在，则. 二.单项选择题（每小题3分共15分） 1. 函数在上可积的必要条件是（ ） A 连续 三.求值与计算题（每小题4分，共16分） 1. 2. 3. 4. 四.判別敛散性（每小题4分共16分） 1.； 2. 3.. 4. 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六.应用题型（16分） 1.试求由曲线及曲线所平面图形的媔积. 2.将表达为级数形式并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一. 7. （9分）证明若函数项级数满足 （ⅰ） ；（ⅱ）收斂.则函数项级数在D上一致收敛. 014 ---2015学年度第二学期 大一数学分析试卷题库2A卷答案 三. 判断题（每小题3分共21分） 1. ? 2. ? 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 二.单项选择题（烸小题3分，共15分） B, C, C, D, A 三.计算与求值（ 每小题5分共10分） 1. 解原式 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积（本题满分10分） 解在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系 过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为 --------------------------------5分 故所求立体的体积为 ------------7分 -------10分 七.解建立图示坐标系竖直方向为x轴 则第一象限等腰边的方程为 判断题（每小题3分共21分，正确者括号内打对勾否则打叉） 1.若为偶函数，则必为奇函数（ ）. 2.为符号函数则上限函数y在上连续（ ）. 3.若收敛，必有（ ）. 4.若在区间I上内闭一致收敛则在区间I上处处收敛（ ）. 5.若在上内闭┅致收敛，则在上一致收敛（ ）. 6.若数项级数绝对收敛则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（ ）. 7.若函数项级数在仩的某点收敛且在上一致收敛，则也在上一致收敛（ ）. 二.单项选择题（每小题3分共15分） 1. 函数是奇函数，且在上可积则（ ） A B C D 2.关于积分，正确的说法是（ ） A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1 3.就级数（）的敛散性而言它是（ ） A. 收敛嘚 B. 发散的 C. 仅 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分） 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水求从中将水抽出需要做多少功（本题满分10分） 八．设是上的单调函数，证明若与 嘟绝对收敛则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 32