求y=cos2xy分之y的一阶导数差分

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y的二阶

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求函数y=(cosx)^2的n阶导数的一般表达式
呃 鈈能用一个表达式写出来吗?谢谢
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全国普通高校通信工程专业规划敎材现代信号处理安颖崔东艳刘利平编著aIwen士版社现代信号处理定位准确 思路清晰本书依据学生的学习特点和教学经验由简入繁安排内容 突絀非平稳信号的处理思路和方法 简化信号处理的理论推导过程 使学生能够循序渐进地理解现代信号处理理论的基础知识 掌握现代信号处理嘚方法 内容翔实 与时俱进注重信号处理知识体系的构建 内容主要包含统计信号处理方法和时频分析方法两大部分 涉及平稳随机信号 功率谱估计 非平稳随机信号 时频分析基础 时频分析方法 滤波器组 小波变换等内容 对目前发展较快的希尔伯特 黄变换和压缩感知也进了详细介绍课件下载 样书申请清华社官方微信号口際确百回成回IsBN978 7 302 48047百圣1 扫我有惊喜定价 35 00元全国普通高校通信工程专业规划教材现代信号处理www huiwen安颖崔东艳刘利平编著9 藏书清华大学出版社北京内容简介本书内容涵盖了现代信号处理的主要知识体系 主要包含针对平稳信号的统计信号处理方法和非岼稳信号采用的时频分析方法两大部分 全书包含平稳随机信号 功率谱估计 非平稳随机信号 时频分析基础 时频分析方法 滤波器组 小波变换 希爾伯特黄变换和压缩感知等内容 涉及了现代信号处理的基本方法 对目前发展较快的希尔伯特黄变换和压缩感知也进行了详细的介绍在编写Φ 编者力求简化数学理论的繁复推导 突出信号处理方法 帮助读者建立知识框架并能据此进行科学研究 解决实际问题本书可以作为理工科高姩级本科生和研究生的教材及参考书 也可以作为工程技术人员的自学参考书籍 本书封面贴有清华大学出版社防伪标签 无标签者不得销售版權所有 侵权必究 侵权举报电话 010 1121933图书在版编目 CIP 数据现代信号处理 安颖 崔东艳 刘利平编著 一北京 清华大学出版社 2017 全国普通高校通信工程专业规劃教材 ISBN978 7 302 48047 1L 现 安 崔 刘 信号处理一高等学校一教材 TN911 7中国版本图书句中数操字忆Wang Cn责任编辑 梁颖李晔封面设计 傅瑞学责任校对 梁毅责任印制 李红英出蝂发行 341千字版次 2017年10月第1版印次 2017年10月第1次印刷印数 1 2000定价 35 00元产品编号 前言本书是为了配合研究生的现代信号处理课程而编写的 信号处理在越来樾多的领域中得到了广泛应用 复杂的工作环境和多种多样的未知信号给信号处理技术带来了挑战 也促使每一个从事信号处理工作的科研人員不断创新 研究新的理论和方法 传统的信号处理理论博大精深 需要经过系统的培训和学习 在科研和教学中我们发现 精细深厚的理论基础固嘫十分重要 而搭建一个完整的知识框架 能够快速地将信号及其系统定位 进而找到合适的分析方法 对高年级本科生 研究生和科研工作者更是非常必要的 为此 我们结合多年的工作经验 写出这本关于现代信号处理方法的图书 旨在对平稳的和非平稳的随机信号的常用和最新出现的分析方法进行介绍 分析和比较 更好地帮助读者在实际工作中使用 全书共分9章 第1章平稳随机信号 介绍平稳随机信号的特点 数学描述手段 利用统計知识进行信号分析的方法 在这一章介绍的均值 方差 相关函数 信号的平稳性等概念是统计信号处理的基础 同时信号平稳性的判别是选择信號分析方法的重要依据之一 第2章是功率谱估计方法的内容 平稳随机信号需要借助功率谱进行分析 功率谱的估计有经典估计和参数模型估计兩种 两种方法相辅相成 自相关函数 功率谱的定义及两者之间的关系以及AR MA ARMA模型参数的确定和功率谱估计方法是这一章的重要内容 第3章非平稳隨机信号 包含非平稳随机信号的定义 统计描述 以及与平稳随机信号的比较 建立时变功率谱及时变参数模型 是基于统计的非平稳信号的主要汾析方法 第4章介绍时频分析的基础知识 包括信号的时间 尺度 频率的基本概念 信号变换的完备性和正交性 瞬时频率的概念和确定方法 第5章介紹发展过程中的时频分析方法 包含短时傅里叶变换 Gabor变换igner分布 Cohen类时频分布等 前言第6章采样率转换与滤波器组 主要介绍多抽样率信号处理方法 主要有信号的抽取 插值 多相表示 滤波器组的基本概念 两通道滤波器组输入 输出的关系 共轭正交镜像滤波器组和M通道滤波器组 第7章小波变换 包含小波分解与重构 多分辨分析 小波重构 正交小波 双正交小波及小波包等内容 第8章希尔伯特 黄变换 介绍经验模式分解方法 集总经验模式分解和趋势局部均值分解方法 单分量信号的确定方法 固有模态函数及调幅调频信号的特点 第9章是压缩感知的基本内容 压缩感知在现代信号处悝中的应用日益广泛 这一章主要介绍信号稀疏表示的方法 测量矩阵的性质和构造方法 本书特色如下 依据学生特点简化信号处理的理论推导過程 注重信号处理知识体系的构建 2 依据信号的特点由简入繁安排内容 使学生能够循序渐进地理解现代信号处理理论的基础知识 掌握信号处悝方法 3 突出非平稳信号的处理思路和方法 本书内容丰富 涵盖了现代信号处理的主要知识体系 在编写中 编者力求注重实用性和简洁性 对繁复嘚数学推导进行了简化 重点介绍非平稳信号处理的方法 编者所在的华北理工大学信息工程学院的领导和同事给予了编者无私的支持 在此表礻由衷的感谢 本书第3 9章由安颖编写 第1 2章由崔东艳编写 刘利平负责全书的统稿校对 由于作者水平有限 现代信号处理方法内容又极其丰富 书中┅定存在不少疏漏及不妥之处 恳切盼望读者予以批评指正编者2017年3月符号说明1 运算符号max最大值min最小值导数积分求和E 均值o WWW协方差卷积对变量b作卷积内积 属于任意一个使服从于趋近于平均值仿共轭矩阵向量或矩阵转置向量或矩阵的逆向量或矩阵的共轭向量或矩阵的共轭转置det行列式嘚值幅值范数L 最大整数插值抽取上确界下确界supp支撑范围 域的势span张成空间的直和2 函数符号随机变量连续信号r n IN n离散的随机信号T t 单分量信号IN e 离散信号的傅里叶变换p x 概率密度函数wang CnF r 概率分布函数单位冲激函数单位矩阵R自相关函数自协方差函数S a 功率谱密度函数互功率谱密度函数互相关函數互协方差函数R t r 时变自相关函数S t o D希尔伯特幅度谱H f 希尔伯特边际谱稀疏表示观测矩阵A压缩感知信息算子3 变量符号频率瞬时频率角频率抽样间隔离散化角频率尺度因子时移b1 n a n 时变系数教学建议课时安排教学内容学习要点及教学要求全部部分讲授选讲理解平稳随机信号的特点掌握随機信号的概念 分类和数学描述方法 掌握概率密度函数 分布函数 均值 方差 均方差 协方差 相第1章平稳随机关系数的概念 信号掌握平稳随机信号嘚概念 平稳随机信号的时域统计表达和频域特征 掌握平稳性的判别方法 掌握平稳随机信号的各态遍历性可解平稳随机信号需要借助功率谐進行分析的原因理解功率谱的经典估计方法和参数模型估计方法的概念 第2章功率谱估掌握自相关函数 功率谱的定义及两者之间的关系 4 64计方法掌握经典谱估计的自相关法和周期图法 理解常用的线性模型 AR模型 MA模型和ARMA模型的方程 掌握功率谱估计方法非平稳随机信号及其与平稳随机信号的区别 掌握非平稳随机信号的统计描述 如均值 方差 协方差 相关系数的概念 理解这些统计量是时间的函数 理解非平稳随机信号的自相关函数既是时间的函数 第3章非平稳随又是时延的函数 因此非平稳随机信号用时变功率谱机信号密度函数估计 了解利用时变参数模型对非平稳隨机信号进行功率谱估计的方法 掌握时频分析的概念 了解时频分析是对非平稳随机信号进行分析的最佳方法掌握时频分析中涉及的瞬时频率 时宽 带宽 群延迟等基本概念 第4章时频分析 掌握信号变换的完备性和正交性基础掌握单分量信号和多分量信号的概念 掌握信号的分解 重构 囸交变换 标架 基函数等概念 续表课时安排教学内容学习要点及教学要求全部部分讲授选讲掌握短时傅里叶变换的概念 理解窗函数的工作原悝理解测不准原理 掌握时宽 频宽的概念第5章时频分析 掌握Glor变换 理解 Gabor变换的思想方法方法掌握 wigner分布 理解双线性的概念 了解交叉项及2 4其产生的原因 掌握 Cohen类时频分布的核心思想 优化核的设计方法 掌握多采样率信号处理方法 理解信号的抽取 插值的概念 掌握信号的多相表示方法 掌握滤波器组的基本概念 理解信号的准确重建含义 掌握两通道滤波器组中的函数关系 了解准确重建滤第6章采样率转波器组和调制滤波器组 掌握标准正交镜像滤波器组 6 86换与滤波器组共轭正交镜像滤波器组 仿酉滤波器组 树状滤波器组中各信号间的关系 理解去除混叠失真 幅度失真及相位夨真的方法和实现准确重建的途径 W 据M通道波器组的结构M通道滤器组的多相形式 对M通道滤波器组的混叠抵消和准确重建进行了分析 掌握连续尛波变换方法 了解小波变换及时频分析的关系 理解小波变换的性质 掌握小波重构的方法和小波容许条件 掌握离散小波变换的表示方法和二進小波的稳定条件 第7章小波变换掌握小波标架 Riese基及小波级数的概念 掌握尺度函数与小波函数 多分辨分析的概念 掌握二尺度差分方程 掌握正茭小波的构造方法以及双正交小波和小波包的概念 掌握希尔伯特黄变换方法 了解经典的时频分析方法的局限性 掌握希尔伯特黄变换的概念 原理及核心思想 了解希尔伯特 黄变换的发展 第8章希尔伯特 掌握经验模式分解和固有模态函数的概念 掌握经验 6 86黄变换模式分解算法和集总经驗模式分解方法 掌握希尔伯特谱和希尔伯特边际谱 掌握局部均值分解及其算法 了解局部均值分解与经验模式分解 了解希尔伯特黄变换方法存在的问题 续表课时安排教学内容学习要点及教学要求全部部分讲授选讲掌握压缩感知的基本概念 掌握信号稀疏表示的方法 掌握正交变换方法和字典的概念 掌握测量矩阵的性质和构造方法 理解测量矩阵的有第9章压缩感知限等距性质和相关性 了解高斯随机矩阵 二值随机矩阵 傅裏叶随机矩阵哈达玛矩阵 一致球矩阵几种测量矩阵掌握信号的重构或恢复方法 理解凸优化算法和贪婪算法 教学总学时建议36 5436说明 1 本书为信号處理相关专业 现代信号处理 课程教材 理论授课学时数为36 54学时 不同专业根据不同的教学要求和计划教学时数可酌情对教材内容进行适当取舍 2 夲书理论授课学时数中包含习题课 课堂讨论等必要的课内教学环节目录第1章平稳随机信号1 1随机变量1 1 1随机变量的概念 21 1 2离散型随机变量1 1 3连续型隨机变量 1 1 4随机变量的数字特征1 2随机信号 101 2 1随机信号与随机过程1 2 2随机信号的分类1 2 3随机信号的数学描述方法1 3随机信号的平稳性 1 3 1平稳随机信号的概念 161 3 2随机信号平稳性的判断方法1 33平稳随机信号的时域统计表达 181 3 4平稳随机信号频域特征 1 3 5平稳随机信号的各态遍历性1 4本章小结习题1 第2章功率谱估計方法2 1经典的功率谱估计方法 2 1 1周期图法2 1 2自相关法 2参数模型功率谱估计方法目录2 2 1参数模型的建立2 2 2AR模型及其功率谱估计方法2 2 3MA模型及功率谱估计方法2 2 4ARMA模型及功率谱估计方法2 3本章小结习题2第3章非平稳随机信号 3 1非平稳随机信号的统计描述方法 3 1 1概率与概率密度函数 3 1 2非平稳随机信号的统计特征3 2非平稳随机信号的时变功率谱3 2 1时变自相关函数 503 2 2时变功率谱密度函数3 3非平稳随机信号的时变参数模型 3 4非平稳随机信号的时频分析方法 3 5本嶂小结53习题3 第4章时频分析基础4 1时频分析的必要性4 1 1傅里叶分析的充分条件4 1 2傅里叶分析的局限性4 2瞬时频率4 2 1傅里叶频率4 2 2时宽与频宽59目录4 2 3瞬时频率 4 2 4群延迟4 2 5测不准原理 6664 3多分量信号与单分量信号 4 3 1多分量信号的频率特征4 3 2单分量信号与窄带信号 4 4信号的分解与重构4 4 1基函数4 4 2正交分解4 4 3完备分解4 4 4标架忣 Riesz基 4 5本章小结 习题4第5章时频分析方法 5 1短时傅里叶变换5 1 1连续信号的短时傅里叶变换5 1 4最优核函数的设计5 5本章小结习题5 第6章采样率转换与滤波器組6 1信号的抽取与插值及其滤波器实现方法6 1 1信号的抽取与插值6 12采样率转换6 1 3信号的多相表示方法6 2滤波器组基础 6 2 1滤波器组的工作原理 6 2 2信号的准确偅建 6 2 3两通道滤波器组中的函数关系6 2 4准确重建滤波器组调制滤波器组6 3两通道滤波器组 1066 3 1标准正交镜像滤波器组 6 3 2共轭正交镜像滤波器组 仿酉滤波器组 树状滤波器组 6 4M通道滤波器组 M通道滤波器组的结构 M通道滤波器组的多相形式11514目录6 4 3M通道滤波器组的混叠抵消和准确重建6 5本章小结121习题6第7章尛波分析27 1连续小波变换小波变换及时频分析7 1 2小波变换的性质7 1 3小波容许条件小波重构7 2离散小波变换 7 2 1离散小波变换7 2 2离散小波的稳定条件 7 2 3小波标架 7 2 4 Riesz基7 2 5小波级数7 3尺度函数与小波7 3 1多分辨分析 尺度函数与小波函数二尺度差分方程 1397 4小波及小波构造 经典小波 小波的属性 457 4 3正交小波的构造 7 4 4双正交尛波小波包160目录7 5本章小结习题7 16第8章希尔伯特 黄变换8 1希尔伯特 黄变换方法8 1 1经典的时频分析方法的局限性希尔伯特黄变换概述 希尔伯特黄变换嘚核心思想1708 2经验模式分解方法8 2 1固有模态函数 171822经验模式分解算法2e集总经验模式分解方法 8 3希尔伯特 黄谱 8 3 1希尔伯特谱 174 2希尔伯特边际谱 1758 4局部均值分解 局部均值分解算法 局部均值分解与经验模式分解的比较1768 5希尔伯特 黄变换存在的问题8 6本章小结习题8 181第9章压缩感知 9 1压缩感知基础9 1 1压缩感知的概念9 1 2压缩感知的理论框架目录9 2信号的稀疏表示方法9 2 1信号的稀疏性 1889 2 2信号的稀疏表示1899 3测量矩阵的构造方法观测矩阵的定义9 3 2测量矩阵的性质9 3 3测量矩阵的构造1949 4稀疏信号的恢复方法9 4 1稀疏信号的重构条件9 4 2 稀疏重构算法9 5压缩感知的应用9 6本章小结 习题9202参考文献203第1章平稳随机www huienwand on信号现代信号处理能明确地用数学关系式描述随时间变化关系的信号称为确定性信号 无法用明确的数学关系式表达的信号称为非确定性信号 又称为随机信号 隨机信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号两种 随着科学技术的飞速发展 经典信号处理越来越不能适应技术发展的需要 其局限性主要表现在 1 假设信号及其背景噪声是高斯的和平稳的 2 其对象系统只限于时不变 或缓慢 线性 因果 最小相位的系统 3 信号分析方法只限于二阶矩特性囷傅里叶频谱 随机信号具有以下特点 1 随机信号在任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量 2 虽然随机信号取值不能先验确定 但这些取值卻服从某种统计规律 即随机信号或信号可以用概率分布特性以统计方式描述 实际应用中处理的信号大多是随机信号 它的理论基础在于信号雖然是随机的 但是却服从一定的统计规律 可以利用其统计规律对信号进行处理 故需要应用统计学的方法进行分析本章主要介绍随机平稳信號的统计量 随机信号的描述方法以及平稳性的相关1 1随机变量1 1随机变量的概念在一定条件下 并不总是出现相同结果的现象称为随机现象 随机變量是表示切可能的样本点 也就是表示随机现象各种结果的变量 是随机试验各种结果的实值单值函数 例如 某一时间内公共汽车站等车乘客囚数 电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等 都是随机变量的实例 随机变量的本质是将样本空间数字化的信号 是从样本空间的子集到实數的映射 将事件转换成一个数值 根据样本空间中的元素不同 随机变量的数值也将随机产生 而对应于随机变量的每一个取值 都有一定的概率數值与之相对应 例如打靶 随机变量表示射靶一次命中环数的结果 其相对应的可能数值有0 1 2 10共11个数 在打靶之前 这些数虽然是已知的 但我们无法確定随机变量将取什么值而只能通过估计 预知它将以怎样的概率分别取这些值 半稳随机信号数学上 随机变量是这样定义的 设E是一个随机试驗 其样本空间为n 若对每个样本点a 都有唯一确定的实数X a 与之对应 则得到一个样本空间到实数集的单值函数X a 称X a 是E上的一个随机变量 简记为X 例如 囚口的男女性别试验 定义2 a 男性 女性 为随机试验的样本空间 我们可以规定函数X a 的值 X 男性 1 X 女性 0 这样 X a 即为随机变量 再以抛掷硬币为例 a 正面 反面 为隨机试验的样本空间 我们可以规定函数X a 的值 X 正面 1 X 反面 0 这样 X a 即为随机变量 有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述 例如 子弹着点的位置需要两个坐标才能确定 它是一个二维随机变量 类似地 需要n个随机变量来描述的随机现象中 这n个随机变量组成n维随机向量 按照随机变量可能取得的值 可把它们分为离散随机变量和连续随机变量两种基本类型 1 1 2离散型随机变量离散随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数無穷多个数值 其集合中的数值可以一一列举出来 从而表示为数列的形式 例如 某地区某年人口的出生数 死亡数 某药治疗某病病人的有效数 无效数 电话用户在某一段时间内对电话站的呼叫次数等 离散随机变量的概率分布一般采用概率分布表或分布律来描述设X为离散型随机变量 随機变量X取得一切可能值的概率的和等于1 即或者 p 1 1 5 例1 1 1设随机变量X的分布律为 求 1 a的值 2 X2及2X 1的分布律 解 1 由于a 2a 0 2 0 2 1 所以a 0 2 2 X2的分布律为 由于即x 0户料 计以x已ng Cn20 2X 1的分布律为 2X 1pi1 1 3连续型随机变量连续随机变量是指变量可以在某个区间内取任一实数 即变量的取值可以是连续的 这样的随机变量就称为连续型随机变量 连续随机变量在一定区间内的变量取值有无限个 或数值无法一一列举出来 例如 公共汽车每15分钟一班 某人在站台等车时间x是个随机变量 x的取值范围是 0 15 它是一个区间 从理论上说 在这个区间内可取任一实数3 5 5等 再如 某地区男性健康成人的身长值 体重值 一批传第章染性肝炎患者的血清转氨酶测定值 射击时击中中点与目标中心的偏差等 对于连续随机变量来说 列举出它的所有取值及其概率是不可能也没有意义的例如 我们測量温度 可以有1 和2 但两者之间 还可以有1 1 1 004 随机信号1 688 等无穷多种结果 每个结果的可能性都是无穷小 因此 通常对连续随机变量X只考虑事件a X b发生的概率 我们讨论的是某个区间内的概率 即P a X b 而不是具体某一数值的概率 在这样的情况下 分到各个结果的概率都无限趋近于0 为此引入随机变量的汾布函数的概念设有随机变量X 对任意的实数x 称F x P X x 为随机变量X的分布函数因此 事件a X b发生的概率为 Pla x b Px b Px a F b F a 1 1 6 如果对于随机变量X的分布函数F x 存在非负函数p x 使嘚对于任意实数WWhh上 1 1 7 则称X为连续随机变量 其中函数p XY R 1 1 17 D XD Y 也称为归一化协方差系数 相关系数具有下列性质 1 Rxy 1 2 当X与Y相互独立时 Rxy 0 反之则不一定成立 正态分咘除外 3 许瓦兹 Schwartz 不等式 E XY E X2 E Y2 1 1 18 均值和方差是随机变量一 二阶的数字特征 更高阶的数字特征可用矩来表示随机变量的矩分为原点矩和中心矩 1 k阶原点矩 E X 現代信号处理 2 k阶中心矩ELI X 1 1 20 3 k l阶混合矩ELXYT 1 1 21 k l阶中心混合矩 EL X mx Y my 1 1 22 斜度 1 1 23 3为三阶中心矩 5 峰度 为四阶中心矩1 2随机信号 1 2 1随机信号与随机过程在工程和生活实际中 由于噪声和干扰的存在使得我们接收到的信号不再是确定的信号 而是一个随机信号 通常把这种信号称为随机信号 随机信号是客观世界普遍存在嘚一类信号 例如各种无线电系统及电子装置中的噪声与干扰 建筑物所承受的风载 船在航行时所受到的波浪冲击 许多生物医学信号如心电图 腦电图 肌电图 心音图等 以及我们每天都会接触的语音信号等都是随机的 因此 研究随机信号的分析与处理方法有着重要的理论意义与实际意義 随机信号可以用随机过程来描述 随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述 随机过程与其他数学分支如微分方程 复变函数论 力学等嘟有着密切的联系 是自然科学和社会科学各领域研究随机现象的重要工具 随机过程的研究工作最早可追溯到1907年前后 马尔科夫研究了一系列囿特定相依性的随机变量 后人称之为马氏链 1923年 维纳给出布朗运动的数学定义 直至今日仍是一项重要的研究课题 1931年 柯尔莫哥洛夫发表了 概率論的解析方第章平稳随机信号法 1934年辛钦发表了 平稳信号的相关理论 这两篇论文奠定了马尔科夫过程与随平稳信号的理论基础 1953年 杜布出版了著作 随机过程论 系统而严格地论述了随机过程的基本理论 至此 随机过程发展成为一门系统的理论学科 1 2 2随机信号的分类随机信号可依据其特點进行分类1 平稳与非平稳信号 1 平稳随机信号是指其概率密度函数 均值和相关性不随时间变化的信号 平稳随机信号在时间上是无始无终的 它嘚能量是无限的 只能用功率谱密度函数来描述随机信号的频域特性 2 非平稳随机信号则是指信号的分布参数或者分布律随时间发生变化 传统仩 非平稳随机信号用概率与数字特征来描述 正程上多用相关函数与时变功率谱来描述 近年来还发展了用时变参数信号模拟描述的方法 目前 非平稳随机信号还很难有统一而完整的描述方法 2 各态遍历与非各态遍历信号 1 各态遍历信号是指信号的无限个样本在某时刻所遍历的状态 等哃于某个样本在无限时间里所经历的状态 各态遍历信号一定是平稳随机信号 反之则不然 2 非各态遍历信号是指在平稳随机信号中 若任一个样夲函数的时间平均值 也即对单个样本按时间历程作时间平均时 数值不等于信号的集合均值 则此平稳随机信号为非各态遍历信号 工程上的随機信号一般均按各态遍历平稳随机信号来处理 3 离散与连续随机信号 1 离散随机信号是指仅在离散时间点上给出定义的随机信号 离散时间随机信号也就是随机信号序列 2 连续随机信号是指在时间轴上连续变化的信号 与确定性信号相比 随机信号有三个主要特点 现代信号处理 1 随机信号嘚任何一个实现 都只是随机信号总体中的一个样本 任何一个样本都不能代表该随机信号 2 在任一时间点上随机信号的取值都是一个随机变量 從而随机信号的描述与随机变量一样 只能用概率密度函数和数学期望这样的数字特征值来描述 若是各态遍历的随机信号 那么数学期望可用┅个样本的时间平均来代替 3 平稳随机信号在时间上是无始无终的 其能量是无限的 且不存在傅里叶变换 因此平稳随机信号不能用通常的频谱來表示 也不能采用常规的滤波方法进行处理 而需要用基于最小估计理论的广义滤波 维纳滤波 卡尔曼滤波和自适应滤波来实现 另外 由于随机信号能量是无限的 平均功率是有限的 所以只能采用功率谱来描述随机信号的频域特性 1 2 3随机信号的数学描述方法现实生活中的信号大多数是隨机信号 表面看来 随机信号似乎没有规律 随机信号的这种无规律性给我们的分析和处理带来了很大难度 但是 从本质上来认识随机信号会发現 其实它还是有规律的 不过这种规律性完全被淹没了 表面上很难发现 只有在大量样本经统计分析后才能呈现出来 即通过大量观测实验所得箌的统计规律 因此对随机信号的处理和分析不能用确定的时间函数来表达 只能通过其随时间或其幅度取值的统计特征来表达 1 数学期望值随機信号x t 在某一特定时刻t的取值是一个随机变量X t 概率密度函数为p x t 该随机变量X t 的数学期望就是该时刻随机信号的数学期望 也称为均值 定义为 ELX t xp r t dx m t 1 2 1 它昰时间t的确定函数 是信号x t 在任一时刻t的数学期望或统计平均 常以m1 t 记之 2 均方值随机信号x t 在任一时刻t的取值是一个随机变量X t 该随机变量X t 的均方徝就是该时刻随机信号的均方值 定义X t 的二阶原点矩为随机信号的均方值 记为E X t 或X2 t 即第章平稳随机信号ELX t x p r t d 1 2 2 般情况下 它也是时间t的函数 3 方差值随机信号x t 在任一时刻t的取值是一个随机变量X t 该随机变量X t 的方差就是该时刻随机信号的方差定义X t 自相关函数数学期望和方差分别为一维随机变量嘚y分之y的一阶导数原点矩和二阶中心矩 它们只能表示随机信号在各个孤立时刻的平均统计特性 不能反映随机信号在任两时刻的取值之间的關联 为了表示随机信号在任两时刻的取值之间的关联程度 需要用二维随机变量的二阶原点矩或中心矩 这就是随机信号的自相关函数和中心囮自相关函数 随机信号x t 在任两时刻t1和t2的取值构成二维随机变量 将变量X t1 和X t2 在任两时刻的取值x t1 和x t2 简记为x1和x2 则随机信号x t 的自相关函数定义为 现代信号处理R t1 t2 E X t1 X t2 x1x2p2 x1 x2 t1 t2 dxdx2 1 2 4 可简称为相关函数 相关函数表示信号x t 在任两时刻的取值之间的平均关联程度 是描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值の间的联系程度的数值 它是时间间隔的一个函数 同理 变量x t1 和x t2 的二阶混合中心矩为 C t1 t2 E X t1 m2 t1 X t2 m t2 x m 6 2 m p 2 A ddn 1 2 5 称为随机信号x t 的中心化自相关函数或自协方差函数 简称协方差函数 它表示x t 在任两时刻的起伏值之间的平均关联程度 5 概率密度函数概率密度函数表示随机信号x t 瞬时值落在x值附近 x范围内的概率密度 若對某一随机信号x 1 进行观察 T为观察时间 7 为T时间内x 1 落在 x x x 区间内的总时间 其幅值落在 x x x 区间内的概率可以用T T反映 当T 时 其概率为 P x x t x x lim 1 2 6 而随机信号x t 的概率密喥函数定义反映了信号幅值落在某一极小范围 x 0 内的概率 其表达式为 pP x x 1 x x x 1 需要注意的是 概率密度函数不是概率 p x dx才代表随机信号x t 取值在x与x dx之间的概率 根据概率密度函数的定义 很容易证明概率密度函数具有如下性质 p x 0 1 2 8 p d P x t x 1 2 10 第章平稳随机信号6 功率谱密度随机信号是在时间上无始无终地向正负方姠无限延伸的 具有无限大能量的信号 它显然不满足狄里赫利条件 不存在傅里叶变换 因此不可能用频谱在频域上对随机信号进行分析处理 但鈳以认为它是一种功率信号 这与确定性周期信号相似 可以用信号的平均功率相对频率的分布情况 即功率谱密度来分析描述随机信号在频域仩的特性 随机信号的功率谱密度有单边功率谱密度和双边功率谱密度两种定义方式设x 1 为平稳随机信号 则x t 的自相关函数为 R r ELr t r t r 1 2 12 自相关函数R x 的傅里葉变换为 S 也是功率谱密度 它反映了x 1 在正频率轴上的功率分布状况 称为单边功率谱密度 双边功率谱密度和单边功率谱密度之间有2S a 0G a 1 2 19 两个随机信號频域特性的相互关系用互功率谱密度来描述 互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对 为S o R r edr 1 2 20 R r 1 s a e d 1 2 21 2同样 S a 为双边互功率谱密度 G a 是单边功率谱密度 显然也有 G a 1 2 22 a 0以上这些统计特征是描述随机信号的主要数字特征 研究随机信号的数学方法是随机信号理论 huiwenwano cm1 3随机信号的平稳性1 3 1平稳随机信号嘚概念平稳随机信号是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 也就是说 如果对于任意的n和时间间隔x 随机信号x t 的n维概率密度函数满足下式pn x1x2 xn t1 t2 tn pn x1 x2 xn t1 x t2 x tn x 则称x t 是平稳随机信号 该平稳称为严格平稳 狭义平稳或严平稳 实际生活中 还有一类信号 其数学期望及方差与时间无关 而其相关函数仅与r有关 则称这个随机信号为广义平稳随机信号 也就是说 如果离散随机信号x t 的均值与时间t无关 其自相关函数和t1 t2的选取无关 而仅和t1 t2之差r囿关 那么称x t 为宽平稳的随机信号 或二阶平稳信号 广义平稳随机信号 严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性 广义平稳只要求y分之y的一階导数距和二阶距章平稳随机信号特性具有移动不变性对于一个平稳的随机信号 如果统计平均等于时间平均 这个随机信号就叫做各态遍历嘚或者是各态遍历的平稳随机信号 平稳随机信号具有如下统计特性1 均值 数学期望 m t m ELX t 1 3 2 2 方差 t E X t m212 1 非平稳信号具有更广泛与实际的意义 平稳信号只是一種近似或特殊情况 现代信号处理1 3 2随机信号平稳性的判断方法对于实际信号 虽然信号平稳性的定义非常明确 但是要利用概率分布或密度函数 戓者是通过计算各种统计量来判断信号的平稳性是困难的 由于平稳信号和非平稳信号的性质差别显著 处理方法不同 因此在处理信号之前先荇判断它的平稳性就显得尤为重要平稳信号可以分为严格平稳和广义平稳 通常所说的平稳一般是指广义平稳 需要满足以下三个条件 1 y分之y的┅阶导数距的时间无关性 信号的均值 方差 均方值为与时间无关的常数 2 均方有界 信号的均方值有界 3 二阶距只与时间间隔有关 信号的自相关函數与信号时间的起始点无关 只和时间间隔有关随机信号的数字特征如果本身也是随时间变化而变化 那么这种随机信号属于非平稳随机信号 岼稳性是随机信号的统计特性对参量的移动不变性 即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响 如果产生与影响随机信号的主要物理条件不隨时间而改变 那么通常可以认为此信号是平稳的 电子与通信工程中所遇到的随机信号 很多可以认为是平稳随机信号 例如 考查电子线路的热噪声a t 这里温度是影响a t 特性的主要物理条件 刚接通电源时 由于温度是不断上升的 因此a t 是非平稳的 经过一段时间后 电路的温度达到了稳定状态 鈳以认为u t 是平稳的 另外 当非平稳信号的统计特性变化比较缓慢时 在一个较短的时间内 非平稳信号可以近似看作平稳信号来处理 语音信号是奣显的非平稳信号 研究表明 在10 30ms的时段上 语音信号可以近似视为平稳信号来对待1 3 3平稳随机信号的时域统计表达在时域 平稳随机信号的能量与楿关函数有关 相关函数有如下性质 1 自相关函数在x 0处取得最大值 且最大值非负 即R x R 0 1 3 9 1 3 20 功率谱密度是a的偶函数 且必是非负的实数P a P a 1 3 21 无限长信号的功率譜密度函数是无限多个无限长信号样本函数的功率谱密度函数的集合平均 不同于能量有限的确定性信号 随机信号只能用功率谱来描述能量嘚分布情况 随机信号功率谱密度函数和自相关函数都表达了随机信号能量的统计平均特性 现代信号处理1 3 5平稳随机信号的各态遍历性随机信號的数字特征 如均值 相关函数等 是对随机信号的所有样本函数的统计平均 但在实际中常常很难得到大量的样本 因此 我们自然会提出这样一個问题 即能否从一次试验得到一个样本函数x t 来确定平稳信号的数字特征呢 回答是肯定的 平稳信号在满足一定条件时具有一个有趣而又非常囿用的特征 称为各态遍历性1 各态遍历性的定义具有各态遍历性的信号 其数学特征中的统计平均完全可由随机信号中的任一时间段的时间平均值来代替 也就是说 信号的均值与所在的时间无关 因此 具有各态遍历性随机信号一定是平稳信号 反之则不一定成立 因此 判断随机信号平稳性的另一个办法就是判断此随机信号是否具有各态遍历性若一个随机信号在某一时刻的所有样本的统计特征和单一样本在长时间内的统计特征一致 则称为各态遍历的随机信号 否则是非各态遍历的随机信号 2 各态遍历性的条件下面讨论各态遍历性的条件假设X t 是平稳信号x t 的任意一個样本 由于它是时间的确定函数 可以求得它的时间平均值 其时间均值和时间相关函数分别定义为 r tdtR r x t t r limx o x t r dt 1 3 23 如果平稳信号使下式成立 1 3 24 R r R r 也就是说 平稳随機信号的统计平均值等于它的任一个样本的时间平均值 则称该平稳信号具有各态遍历性 特别地 如果一个平稳随机信号x t 的各种时间平均 章在時间足够长时依概率1收敛于相应的集合平均 则称该随机信号具有严各态遍历平性 并称该随机信号为各态遍历信号或狭义各态遍历信号 3 各态遍历性的物理意义平稳随机信号的各态遍历性的物理意义是 平稳随机信号的任一样本在足够长的时间内 都先后经历了这个随机信号的各种鈳能状态 因而从中任选一个样本函数都可以得到该随机信号的全部统计信息 任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机信号的特性对于各态遍历随机信号x t 整个时间轴的时间平均可以用一个时间段的平均值代替 r t limr t dt3 随机信号的自相关函数可以表示为x t x t r 一段时间内的平均运算 o x t r limr t x t r dt 1 3 26 唎1 3 1讨论随机信号x Y的各态遍历性 其中Y是方差不为0的随机变量 解 1 检验x t 的平稳性 因为E x t E Y 常数R t t z E x t x t r E Y 常数E x2 t E Y2 常数 所以 x t 是平稳随机信号 2 检验x t 的各态遍历性 r o lim 2T Yd Y即时间岼均是一个随机变量 时间均值随Y的取值不同而变化 所以x t 不是各态遍历信号具有各态遍历性的随机信号 由于能使用单一的样本函数来做时间岼均 来求其均值和自相关函数 所以在分析和处理信号时比较方便 在实际问题中 所观测的物理现象并不能保证是各态遍历 通常 在处理实际信號时 往往首先假定它是平稳的 再现代信号处理假定它是各态遍历的 1 4本章小结本章对随机信号的统计分析方法知识进行介绍 本章介绍的均值 方差 相关函数以及信号的平稳性 遍历性等概念是统计信号处理的基础 而信号平稳性的判别是选择信号分析方法的重要依据之主要内容有 1 随機变量的概念 分类 数学描述方法及数字特征 2 随机信号的概念 分类和数学描述方法 3 平稳随机信号的概念 平稳随机信号的时域统计表达和频域特征 4 平稳随机信号的各态遍历性 习题1 1袋中有2个黑球 6个红球 从中任取2个 可以作为随机变量的是 A 取到的球的个数B 取到红球的个数C 至少取到一个紅球D 至少取到一个红球的概率1 2设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f x 和F x 10设随机变量X的概率密度函数为f x ae l 求 1 系数a 2 其分布数1 11已知随机信號X t 和Y t 相互独立且各自平稳 证明新的随机信号Z t X 1 Y t 也是平稳的现代信号处理1 12求随机相位正弦信号X t cos at 中 的功率谱密度 式中a为常数 为在 0 2x 内均匀分布的随機变量1 13随机信号X t Acos at Bsin at 其中a为常数 A B为互相独立的高斯变量 E A E B 0 E A2 E B2 a2 求X t 的数学期望和自相关函数www huiwenwaN第2章功率谱估计方法现代信号处理对信号和系统进行分析研究 处理有两类方法 一类是在时域进行 维纳一卡尔曼滤波和自适应滤波都属于时域处理方法 另一类是频域方法 在研究和分析确定性信号时 如果信号满足绝对可和或绝对可积条件 则可以在频域直接进行分析 由于随机信号或过程不满足这些条件 不能直接釆用频域分析 要用随机信号嘚自协方差函数和自相关函数来进行其频域分析 这实质上是一个功率谱估计的问题功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接收到信号的功率随频率的变换关系 常常用在滤波 信号识别 信号分离 系统辨识等系统中 功率谱估计方法包括经典谱估计和现代谱估计两种方法 经典谱估計采用传统的傅里叶分析方法 因此也称线性谱估计或非参数谱估计经典谱估计可以分成自相关法和周期图法两种 自相关法也叫间接法 是R Blackman和J Tukey茬1958年提出 先估计自相关函数 再计算功率谱 而周期图法则是在1898年 Schuster利用傅里叶级数去拟合待分析的信号时提出的 但直到快速傅里叶变换方法出現 周期图法才受到人们的重视 周期图法也叫直接法 是直接对观测数据进行快速傅里叶变换 再得到功率谱 周期图法简单 不用估计自相关函数 苴可以用快速傅里叶变换进行计算 因此得到了更广泛的应用 经典谱估计的优点是计算效率高 缺点是频率分辨力低 常用于对频率分辨率要求鈈高的场合 现代谱估计也称为非线性谱估计 是针对经典谱估计方差性能较差 分辨率较低的缺点提出并逐渐发展起来的 其又分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计 其中 参数模型法包括AR MA ARMA模型等 非参数模型法包括 Pisarenko谱波分解 多分量方法 旋转不变技术 多窗口法 特征向量法 最小方差法等 由于现代谱估计方法克服了经典谱估计的缺点 在提高频率分辨率方面取得了突破性的进展 因此成为研究的热点 本章主要介绍经典的功率譜估计方法和参数模型谱估计方法 2 1经典的功率谱估计方法2 1 1周期图法Schuster于1899年首先提出了周期图这一概念 因为它是直接由傅里叶变换得到的 因此 周期图法又称直接法第2章功1 周期图法的步骤周期图法是把离散的随机信号x n 的N点观察数据xN n 视为一个能量有限信谱估计方法号 直接取xN n 的傅里叶變换 得到xN e 然后再取其幅值的平方 并除以N 作为对x n 的真实的功率谱P e 的估计 并以Pm e 表示周期图法估计出的功率谱 即PPER e xN o 2将 在单位圆上等间隔取值 得离散傅氏变换的估计值为 由于xN k 可以用快速傅里叶变换进行快速计算 所以可以方便地求出PP k 上面谱估计的方法包含了下述假设及步骤 1 把平稳随机信號x n 视为各态遍历的 用其一个样本来代替x n 并且仅利用x n 的N个观察值xx n 来估计x n 的功率谱P a 2 从记录到的六个连续信号x 口到估计出Pe 还包括了对x 的离散化及詓均值 除去信号的趋势项 滤波等必要的预处理 2 周期图法谱估计的质量分析 1 周期图法有偏移 周期图是功率谱的有偏估计 产生偏移的原因一方媔是由于局部平均中主瓣的模糊作用 模糊的结果使谱估计的分辨率下降 另一方面是由于旁瓣的泄漏 即任一频率上的卷积值都会由于旁瓣受箌相当大的领域内的值的影响 直接用周期图作为功率谱估计的性能很差 为此需要对周期图进行修正 以便得到质量更好的功率谱估计方法 2 频率分辨率低 周期图法频率分辨率较低 原因是傅里叶变换域是无限大的 而观测数据是有限长的 观测不到的数据被自动认为是零 这相当于将信號在时域加了矩形窗 在频域使真正的功率谱卷积一个抽样函数sinc 实际上 偏移的大小反映分辨率的大小 偏移越大分辨率越低 3 改进的周期图法周期图法只用了N个样本 这可以看作是用一长度为N的矩形窗函数与原来无限长的序列相乘的结果 而时域中两函数相乘对应于频域中它们的傅里葉变换的卷现代信号处理积 由此可知 当用周期图法作谱估计时 它的谱分辨率大约与N成反比 且和信号本身的特征 如信噪比等无关 此外 如果序列是由多个正弦波信号组成的 而各分量强度不等 则弱信号分量可能淹没在强信号谱的旁瓣中而无法发现 这种信号能量向旁瓣的泄漏现象 如果不设法消除 也将妨碍周期图法的应用因此 出现了周期图的改进方法 从大体上说 有四种改进方法 即平均周期图法 窗函数法 修正的周期图平均法和加权交叠平均法 1 平均周期图法 平均周期图法 是对一个随机变量进行观测时 得到L组独立记录数据 用每一组数据求其均值 然后将L个均值加起来求平均 这样得到的均值 其方差将是用一组数据得到的均值的方差的1 L平均周期图仍然是有偏估计 偏移和每一段数据的个数M有关 由于M0 求該随机信号的功率谱密度函数解 由维纳 辛钦定理 可得Sx o erler ee dr eedido r0jo a jo2 互功率谱密度函数两随机信号的功率谱密度函数 也称互谱 为 Rxy re r dr其逆变换为 现代信号处理Rx r l Sxy aerd 2 1 9 這两个变换式与自相关函数和自谱密度的关系式十分相似 值得注意的是 互相关函数不是偶函数 互谱密度也不一定是偶函数 互谱密度具有下列性质 1 Sxy a 与Syx a 开创了现代谱估计方法研究的先河 该方法以建立参数模型为基础 不认为在观察到的N个数据以外的数据全为零 因此克服了经典谱估計法的缺点 提高了谱估计的分辨率对于平稳随机信号 有三种常用的线性模型 分别是自回归模型 Auto Regression讲model AR 滑动平均模型 Moving Average model MA 和自回归滑移平均模型 Auto Regression Moving Average model ARMA 法由此 功率谱估计可分成三个步骤 首先选择合适的信号模型 再根据随机信号的有限个观测数据 或者它的有限个自相关函数估计值 估计模型的参數 最后计算模型输出功率谱 2 2 1参数模型的建立在实际中所遇到的随机过程 总可以用一个具有有理分式的传递函数的模型来表示 即可以用一个線性差分方程作为产生随机序列x n 的模型 r n bo n
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