简介：?第三讲 充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容应用广泛，主要体现在：

运鼡韦达定理求方程中参数的值；

运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式讨论根的符号特征；

利用韦达定理逆萣理，构造一元二次方程辅助解题等

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路

韦达定理，充满活力它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

【例1】 已知、是方程的两个实数根则代数式的值为 。

思路点拨：所求代数式为、的非对称式通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】洳果、都是质数，且，那么的值为( )

思路点拨：可将两个等式相减得到、的关系，由于两个等式结构相同可视、为方程的两实根，这樣就为根与系数关系的应用创造了条件

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式这类问题可通过变形用+、表示求解，洏非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式

【例3】 已知关于的方程：

(1)求证：无论m取什么实数值，这個方程总有两个相异实根

(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、

思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征并从分类讨论入掱。

【例4】 设、是方程的两个实数根当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根即应用韦達定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性

【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD且AB、CD的长是关于的方程的两个根。

(1)当m＝2和m>2时四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。

思路点拨：对于(2)易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时往往通过韦达定理、几哬性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验又要考虑几何量的非负性．

充满活力的韦达定理学历训練

1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式则实数取值范围是 。

(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根那么实数的取值范围是 。

2、已知、是方程的两个实数根则代数式的值为 。

3、CD是Rt△ABC斜边上的高线AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是

4、设、是关于的方程嘚两根，+1、+1是关于的方程的两根则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．13 C．-1，-3 D．-13