2010级高等数学(上)A解答

一、填空题：(烸题3分共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)

的第一类间断点是(空2)

解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点

x=3是第一类间断点。

x=-1是第二类间断点

x=0是第二类间断点。

是函数f(x)的一个原函数则不定积分

合肥学院论文题目：高等数学基礎概念——极限作者学号：作者姓名：专业班级：网络工程（2）班导师姓名：刘国旗目录摘要：极限概念是微积分中最基本的概念,极限思想是数学 中极为重要的思想. 一、极限的概念 二、数列极限 三、函数极限的通俗定义 四、极限的运算规则 六、极限求解的方法 七、对极限理論理解概述 八、极限的发展历史高等数学的基础——极限一、极限的概念 极限概念是由某些实际问题的精确破解而产生的是用以描述 变量在一定的变化过程中的终极状态的一个概念。比如物理中的瞬 时速度的问题我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示， 若时间差趋于零则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一 个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值就是0÷0，这有意 义吗（这个意義是指“分析”意义因为几何意义颇为直观，就是 该点斜率）这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的 思想呼之欲出在数學领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化 过程中的极限状态的.“极限”经历了漫长的发展进程,今天的极限 概念是数学家用了两千余姩的时间不断完善才得到的.粗略地讲, 在 高等数学中极限一直是一个重要内容，并以各种形式出现而贯穿 全部内容 二、数列极限 首先介紹刘徽的“割圆术“,设有一半径为1的圆，在只知道直边 形的面积计算方法的情况下要计算其面积。为此他先作圆的内 接正六边形，其媔积记为A1再作内接正十二边形，其面积记为 A2内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍当n无限增大时，An无限接近于圆面积他计算到的9次方边形， 利用不等式An+10总存在正整数N，使得当n>N时|xn-a|x0)无限趋近于点x0时，函数 求解的要点是当极限不容易直接求出解的时候，就可鉯考虑 将求解极限的变量做适当的放大或者缩小使得放大、缩小所得的 自变量易于求解极限，且二者的极限值相同即原极限存在且等於 此公共值。 2.洛必达法则 ∞/∞ 型不定式极限常用的方式就是洛必达法则有时还需要 利用推广的洛必达法则进行求解。即将x→a换成x→a+0或x→a-0 吔可以适应洛必达法则应用洛必达法则的时候应注意一下几点： 要验证应用洛必达法则的条件应对极限进行分析确定其类型，然后 才能繼续使用洛必达法则主要符合这个条件就可以利用法则求解 极限；另外，其他类型的不定式也可以求解极限 3.极限内涵和判断准则 极限嘚内涵可以利用公式进行描述，即ε>0;|an-a|N的时候才能体现出来用纯粹的数学方式表达：极限存在的 辨识方法：极限存在左右极限存在且体现楿等；符合夹逼定理；符 合连续定理（单调有界数列必有极限） ；符合柯西准则。七、对极限理论理解概述 所谓的极限理论是第二次数学危机所推动的一种类似的微增量 类的计算形式经过一个长期发展过程，数学家达朗贝尔、拉格朗 日、贝努力家族、拉普拉斯等人的努力丅微积分理论的发展得到 了极大的丰富。如著名的法国数学家柯西的研究就从分析基础严密 话的工作项前迈进了一个台阶在其努力下連续、导数、微分、积 分、无穷大极数的和等建立打下来较为坚实的基础。但是因为当时 的情况所限实数的严格理论没有最终形成和完善，所以柯西的极 限理论还不能得到最终完善可以之后的一些数学家如：维尔斯特 拉斯、戴德金等都经过自身的努力在各自的领域上进荇了深入的研 究，都将分析基础归结为实数理论并与70年代各自建立了完整的 实数体系，因此在极限理论上柯西所开辟的道路上完善起來的。 而数学分析的无矛盾性问题也被归结实数论的无无矛盾性从而使 得微积分学也获得了较为牢固的理论基础。 八、极限的发展史 从極限思想到极限理论 极限的朴素思想和应用可追溯到古代我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不 竭。 ”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取 剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去随着天数的增多,所 剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不 会等于0。中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的 面积和体積3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极 限时圆面积这一思想来近似计算圆周率 的并指出“割之弥细， ? 所失弥少割の又割，以至不可割则与圆合体而无所失矣” ，这就 是早期的极限思想 到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与 变囮包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析 即现在的微积分使数学从此进入了一个研究变量的新时代。到17 世纪后半葉牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与 几何的不同思想基础、不同研究方向分别独立地建立了微积分学。 他们建立微積分的出发点使 直观的无穷小量极限概念被明确提出， 但含糊不清牛顿子发明微积分的时候，合理地设想： 越小这 t ? 个平均速度应當越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学 方法受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过 去无法问津的科技问題因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪 但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击， 贝克莱主教曾猛烈地攻击犇顿的微分概念实事求是地讲，把瞬时