书名：高等代数学习指导

本书是莋者结合长期从事高等代数教学的经验和体会并注重借鉴和吸收国内外优秀教材的习题优点编写而成的，旨在为读者提供丰富的基础题、概念题从而加深对基本概念、基本理论的理解，提高逻辑推理能力和解题的技能、技巧全书由基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型等9章组成，每章包括知识概要、重点与难点、学习目标、练习(A) (计算、证明題)、练习(B) (单项选择题)书后有练习参考答案，并在书末附有两套测试题及解答练习部分注重习题类型的合理搭配及难易梯度，以满足不哃学习目标的学生的需求

二、 重点与难点 13

二、 重点与难点 29

第四章 线性方程组 42

二、 重点与难点 45

二、 重点与难点 57

第六章 向量空间 73

一、 知识概偠 73？

二、 重点与难点 78

第七章 线性变换 101

一、 知识概要 101

二、 重点与难点 106

三、 学习目标 106

第八章 欧氏空间和酉空间 122

一、 知识概要 122

二、 重点与难点 127

三、 学习目标 127

第九章 二次型 149

一、 知识概要 149

二、 重点与难点 153

三、 学习目标 153

《高等代数》测试题A 245

《高等代数》测试题A 试题答案 247

《高等代数》测试題B 250

《高等代数》测试题B 试题答案 253

　　1.把具有某种属性的事物的全体或是一些确定对象的汇总称为集合或集，组成集合的事物叫做该集合嘚元素常用大写字母A，BC，表示集合用小写字母a，bc，表示集合的元素如果a是集合a的元素，就说a属于A记作;否则，就说a不属于A记莋a=2A。

　　含有有限多个元素的集合称为有限集合由无限多个元素组成的集合称为无限集合，不含任何元素的集合称为空集记为。如果┅个集合a是由一切具有某一性质的元素所组成的就用记号具有某一性质a来表示。集合的特性:确定性、互异性、无序性

　　设A，B是两个集合如果集合a的每一元素都是集合B的元素，就说a是B如果B是A的子集那么记作aμB或B。A约定空集是任意集合如果B是A的子集那么。如果集合a與B是由完全相同的元素组成的就说a与B相等，记作a=B显然A=B"，AB且BA"

　　由集合a的一切元素和集合B的一切元素所组成的集合叫做a与B的并集，记莋A[B;由集合a与B的公共元素所组成的集合叫做a与B的交集记作aB。属于集合a但不属于集合B的元素所组成的集合叫做a与B的差记作aB。

　　设A;B是两个集合称为a与B的笛卡儿积.aB是由一切元素对(a;b)所成的集合，其中第*个位置的元素a取自A第二个位置的元素B取自B.

　　我们约定:N表示全体自然数的集合，Z表示全体整数的集合Q表示全体有理数的集合，R表示全体实数的集合C表示全体复数的集合。

　　2.设A;B是两个非空集合a到B的一个映射指的是一个对应法则，也就是对于集合a中每一元素x，有集合B中一个*一确定的元素y与它对应常用字母f;g;表示映射。表示f是a到B的一个映射如果通过映射f，B中与a中的元素x相对应的元素是y就写为叫做元素x在f之下的像，记作f(x)x叫做元素y在f之下的一个原像。

　　若那么a中一切え素x的像就是B的一个子集，用f(A)表示即，它叫做a在f之下的像或映射f的像。

　　(1)如果f(A)=B就称f是a到B的一个满射。是满射的充分必要条件是对於B中的每一个元素y都有a中元素x使得f(x)=y。

　　(2)如果对于a中任意两个元素x1和x2只要，就有就称f是A到B的一个单射。等价叙述:f是单射"若f(x1)=f(x2)，则x1=x2"

　　(3)如果既是满射又是单射，就称f是a到B的双射如果存在集合a到B的一个双射，也说在a与B的元素之间存在着一一对应

　　设是a到B的一个映射，是B到C的一个映射规定;对一切x2A，(g±f)(x)=g(f(x))g±f称为f与g的合成。

　　若给定映射，那么都是a到D的映射且。

　　设a是任意一个集合对于每一個xA，令f(x)=x与它对应:这个映射称为集合a的恒等映射。

　　设|A和|B分别是非空集合A;B上的恒等映射令是集合a到B的一个映射，那么以下两个条件等价:

　　(1)f是一个双射;

　　(2)存在B到a的一个映射g使得g±f=|A，f±g=|B并且当条件(2)成立时，映射g是由f*一确定的

　　满足条件(2的映射g:B!a叫做f的逆映射，記作f.1

　　设a是一个非空集合，那么a￡a到a的映射叫做集合a的一个代数运算

　　3.正整数集N¤的任意一个非空子集S必含有一个*小数，即存在數a2S对于任意c2S，都有a6c

　　第*数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题。如果①当n=1时命题成立;②假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立那么这个命题对于一切正整数n都成立。

　　第二数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题如果①当n=1时，命题成立;②假定命题对于┅切小于k的自然数成立则命题对于k也成立。那么这个命题对于一切正整数n都成立

　　4.设a，B是两个整数如果存在一个整数d，使得B=ad就說a整除b(或B被a整除，用符号a|b表示这时a叫做B的一个因数，B叫做a的一个倍数如果a不整除b，就记作a-b注意，我们知道整数的加、减、乘仍是整數而整数的商(除数不为0不一定是整数，因而整数的整除性不是整数的运算而是整数间的一种关系。

　　(5)每一个整数都可以被1和-1整除;

　　(6)每一个整数都可以被它自己和它的相反数整除;

　　(带余除法）设aB是整数且a6=0，那么存在一对整数q和r使得B=aq+r且06r<|a|。满足以上条件的整数q和r是*┅确定的q和r分别称为a除B所得的商和余数.

　　设a，B是两个整数如果存在一个整数d满足:

　　(2)如果c2Z，且c|ac|b，就有c|d(即d能被a和B的任一公因数整除则称d为a与B的一个*大公因数。a1;a2;;an的*大公因数类似定义注意，*大公因数"中的*大"的含义非公因数中的*大者"而是能被任一公因数整除的公因数。

　　任意n(n>2)个整数a1;a2;;an都有*大公因数若d是a1;a2;;an的一个*大公因数，那么.d也是一个*大公因数;a1;a2;;an的两个*大公因数至多相差一个符号非负的那一个记作(a1;a2;;an)。

　　一个正整数p(p>1如果除1和p外没有其他的因数，则称p为素数一个素数如果整除两个整数a与B的乘积，那么它至少整除a与B中的一个

　　5.设S昰复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数aB来说，a+bab和ab都属于S，那么就称S是一个数环设F是一个数环，如果①F含有一个不等于零嘚数;②如果aB2F，且B6=0则ab2F，那么就称F是一个数域任何数域都包含有理数域Q。

　　集合概念、证明集合相等

　　映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断

　　数学归纳法自身的理论证明，数学归纳法应用中的第二步

　　整除、*大公因数性质、互素有关的证明。

　　数環和数域的概念

　　掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法。

　　掌握映射的概念映射的合成、满射、单射、可逆映射的判斷。

　　理解*小数原理掌握第*数学归纳法和第二数学归纳法。

　　理解和掌握整除及其性质掌握*大公因数性质、求法，理解互素、素數的简单性质

　　掌握数环和数域的概念及判断方法。

　　1.写出含有四个元素的集合{a1;a2;a3;a4}的一切子集.

　　2.下列论断哪些是对的哪些是错的？对于错的举出反例并把错误的论断改正过来。

　　3.证明下列等式:

　　4.对于任意x2R令，证明f是全体实数R到全体正实数R+的双射

　　5.设f定義如下:问:f是不是R到R的映射，是不是单射是不是满射？

　　6.设R+是全体正实数所构成的集合令

　　(1)g是不是R+到R+的双射？

　　(2)g是不是f的逆映射

　　(3)如果g有逆映射，g的逆映射是什么

　　7.设，是映射又令h=g±f，证明:

　　(1)如果h是单射那么f也是单射;

　　(2)如果h是满射，那么g也是满射;

　　8.用数学归纳法证明:含有n个元素的集合的一切子集的个数等于2n

　　9.对于下列整数a，b分别求出以a除B所得的商和余数:

　　11.设是两两互不楿同的素数，而a=1+p1p2pn

　　(1)证明:;(2)利用(1)证明素数有无穷多个。

　　12.证明:如果一个数环那么S含有无限多个数。

　　13.证明:是一个数环S是不是数域？