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导读：约1500年前的古代数学著作《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：

今有雉兔同籠上有三十五头，下有九十四足问雉兔各几何？

这就是今人所谓的鸡兔同笼问题如今这个问题小学生们解决起来可能都轻而易举，泹对于人工智能而言可能并非如此在人工智能火热的今天，我们想聊聊如何让计算机具备解此类问题的能力——即数学解题

如果说一套系统就能解决所有问题的“通用人工智能”离人们的生活还很遥远，那么让人工智能系统解决具体的某一项、或某一类问题已经是一个切实可行的小目标近几年智能解题逐渐成为人工智能的一大研究热点。随着这项研究的日益火热人们想通过让人工智能参加“考试”，与人类选手进行公平、公开的比试从而衡量目前人工智能系统的“智能”水平。

在全世界范围内有多家研究机构正在从事这一方面嘚研究。

例如日本国立情报学研究所开发了一个项目Todai Robot他们让机器人挑战大学试题，目标是2021能够考上东京大学艾伦人工智能研究所(Allen Institute for Artificial Intelligence) 也举辦了一项比赛，来自全世界的几千个团队纷纷提交了自己的软件系统来挑战8年级的科学题目最终，该比赛的第一名仅能达到59%的正确率

茬中国，国家科技部2015年也开启了“高考机器人” 项目(863计划中的类人智能项目)让人工智能系统和全国的文科考生一样，挑战2017年高考语文、數学、文综三项科目研究相关类人答题系统。超过30多家高校和科研机构（清华大学、中科院自动化所等）联合参与了该项目

意料之外泹又情理之中的是，目前各个人工智能系统的表现普遍在理科解题上弱于文科解题究其原因：目前机器学习更多强调的是对记忆、计算等相关内容的储存和运用，而对于逻辑理解和推理这一模块还没有很好的解决数学解题，作为理科考试的一部分十分考验计算机的理解能力和推理能力，针对数学解题之上的研究成果非常有可能定义计算机智能的新层次有鉴于此，数学解题应该也正在成为人工智能的┅块重要拼图

尽管鸡兔同笼问题已经成为小学数学中的常见题型，然而该问题对于计算机来说却是一个极大的挑战具体来讲，为了得箌最终答案计算机需要通过理解题目的文字描述来得到相关数学表达计算机需要具备逻辑推理能力来对得到的数学表达进行算术演算，計算机还需要具有一定的有关现实世界的常识从而能够约束和简化题目

首先，数学解题需要多种层次的自然语言理解对于一道题目的攵字描述，计算机需要知道并理解其中包含的概念举个例子，“一加一8x6等于几几”以及“小明有一个苹果和一个梨问小明有几个水果”，同样本质是“1+1=”的两道题，在题型概念上是一样的表达方式却截然不同。计算机需要知道如何把以上两道问题都抽象成两个对象楿加这就涉及到所谓的自然语言理解。

事实上抽取题目中各个概念变量的关系也十分具有难度。数学题要求的是精确如果题目变换叻一个词，变量之间的关系可能就会改变整个解法也会不一样。比如下面两道追赶问题:

• 两辆车同时往同一方向开速度分别为28km/h和46km/h，问多尐小时后两车相距63km

• 两辆车同时往相反方向开，速度分别为28km/h和46km/h问多少小时后两车相距63km？

两道题描述很类似但是车的方向关系导致了两題的解法大不相同。如何捕抓出这种细微的差别也是一大难点这也是所谓的自然语言理解的一部分。

其次在一定程度上理解文字之后，数学解题需要通过逻辑推理生成解题公式如下图Hosseni 2014的工作，把数学题通过自然语言处理得到几个变量状态之后需要推理得到各个变量狀态之间的关系得出数学公式。在他给出的例子中计算机通过学习能得到动词“give”代表两个状态相减。

↑Hosseni 2014训练一个分类器判断一个动词屬于加/减

最后计算机需要具有一定有关现实世界的常识去理解自然语言里面一些隐式的指代。比如圆周率为3.14速度乘以时间8x6等于几路程等等。在鸡兔同笼问题中鸡有两条腿、兔有四条腿是隐式包含的条件，只有知道这些常识才能正确的解答问题

智能答题系统最早可以囙溯到20世纪60年代。1964年提出的STUDENT（Bobrow 1964）系统可以视作早期答题人工智能实现的代表：输入有规定的描述方式的数学题人工定义一组关键词和关系（如EQUAL, SUM, PRODUCT），把自然语言（linguistic form）通过模式匹配映射到对应的函数关系表达例如句子

之后的CARPS系统（Charniak 1968）能够把自然语言表示成为成树状结构，再匹配生成公式解答此外它嵌入了很多数学模型的知识，如面积、体积、维度等等但CARPS系统仅限于解决比率问题（ratio problem）。  

2008年之前多数关于智能答题系统的工作都是基于预定义的模式匹配规则这类工作主有两个主要的缺点：

• 定义的规则覆盖率小，能解决的问题十分有限而在嫃实场景下数学题目的描述往往是比较自由、不太受限的；

• 评测比较模糊，这些系统很少给出评测结果以验证其有效性

2014）让机器学习题目中的动词，并对这些动词进行加减二分类把数学题看作以动词为关系的状态转移图，但这个方法目前只解决一元加减问题不考虑乘除。

MIT 于2014年在国际计算语言年会(ACL 2014, Kushman 2014) 上提出了一种基于统计学习的方法（命名为KAZB）引入了模板的概念 (比如“1+1”和 “1+2”同属于一个模板x = a + b) 。根据公式的标注把数学题归类成不同的题型抽取题目中不同层次的特征（如有关词汇、词性以及语法等），使用统计学习技术自动判断题型

泹是此类方法的一个缺点为：无法解决训练集之外的题型。比如训练集只出现过两个数相加机器无法泛化解答三个数相加的问题。之后百度ZDC（Zhou et al. 2015）微软研究院 （Upadhyay 2016）的研究团队也在同样的方法框架下分别做了不同的优化改进。在一个开放的评测数据集上（即ALG514含有514道题），彡个系统准确率在上分别是68.7%78.7%以及83%。

2015）定义了Qset的概念(一个Qset包括QuantityEntity，Adjective等属性)首先抽取一道问题的Qset，利用线性整数规划把Qset和加减乘除生成可能的公式再选出最有可能的公式解出答案。目前限定于一元一次方程他们同时构建了一个508道题的数据集，系统获得的准确率在72%左右

艾伦人工智能研究所除了考虑数学文字题之外，还有关于几何看图题的研究GEOS (Seo et al. 2015) 根据几何数学定义了一组数学概念以及函数，对图和文字分別构建了不同的分析器(parser)他们在186道SAT的数学题上获得的准确率大概是60%左右。

下表对以上一些具有代表性的系统做出了总结给出一道数学题攵字描述，系统需要涵盖三大部分：自然语言理解语义表达和映射以及数学推理得出解决公式和答案。

作为一种有趣的人工智能问题數学解题相关的研究和努力不仅有助于推动机器智能的进步，同时也会在众多实际应用场景中产生价值

近几年兴起的中小学生学习平台，该类应用普遍会支持如下功能——学生可以采取对准题目拍照或者文字语音方式来输入数学题，学习平台识别题目并给出解题思路甴于此类平台具有庞大的题库，因此可以通过识别匹配题目来实现上功能该应用的用户量已经突破一亿，在教育市场份额巨大但是这些平台中所有的题目需要人工预设解题思路，受限于此题库的扩展存在一定约束。人工智能数学解题的成功解决将会大大提升此类平台

作为新一代的知识搜索引擎的代表，WolframAlpha能理解用户搜索问题并直接给出答案而不是返回一堆网页链接。其中WolframAlpha被搜索过的一类典型的问题僦是数学问题输入数学题，它能给出数学模型、解题步骤以及答案数学解题是此类引擎的核心构件之一。

智能对话系统的终极目标是實现人机自由对话计算机能够响应来自用户的各种问题。其中自然也包括数学解题。微软小冰实际上已经开始了这方面的尝试它目湔已可以解决比较简单的算术题。

SigmaDolphin——微软亚洲研究院的数学解题

SigmaDolphin是微软亚洲研究院在2013年初启动的解题项目Sigma即西格玛大厦，是微软亚洲研究院的诞生地；而Dolphin则是该系统被赋予的期望——像海豚一样聪明

SigmaDolphin定义了一套针对数学解题的抽象表示语言（被命名为Dolphin Language），包含了数学楿关的类和函数该语言人工定义了1000多种数学类型以及7000多种从Freebase和其它网页自动抽取的概念类型，加上其定义的函数和数据结构使得该语訁十分适合表达数学概念及运算，并能很好地构建出一个精准的数学解题系统

目前该研究领域正在使用的数据集规模都相对较小，而且題型都比较简单众所周知，机器学习的关键是数据特别关键的是数据规模。然而数学题库需要提供公式和答案，人工标注十分耗时微软亚洲研究院团队采用半自动地方法从雅虎问答获取数学题，经过人工筛选题目并自动抽取公式和答案作为标注，构建一个新的数據集Dolphin18K该数据集包含了1万8千多道数学题。有关该数据集的详细介绍已发表在ACL

过往的系统在各自的数据集上都有高达60%至80%的准确率但由于评測的数据集都在几百道题目的规模上，而且都有不同的题型限制导致其得出的结论可能不够有代表性。对比之前的数据集Dolphin18K题目数量增加了10倍以上，涵盖了不同年级、不同难度的数学题且题型更加全面丰富，更具有挑战性目前，在Dolphin18K的评测上过往的这些数学解题系统岼均只能获得20%左右的准确率，说明了数学解题并没有想象中的那么简单

如上所述，目前智能解题任务仍然存在众多的挑战但我们仍可鉯期冀，通过不断的数据积累和方法创新智能解题系统的能力终将逼近甚至超过人类——答题能力能从及格逐渐提升至100分的水平。

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PAGE 初一代数易错练习 1．已知数轴上嘚A点到原点的距离为2那么数轴上到A点距离是3的点表示的数为 2．一个数的立方8x6等于几它本身，这个数是 3．用代数式表示：每间上衣a元，漲价10%后再降价10%以后的售价 （ 变低变高，不变 ） 4．一艘轮船从A港到B港的速度为a,从B港到A港的速度为b,则此轮船全程的平均速度为 5． 11．已知m、x、y满足：（1）， （2）与是同类项.求代数式：的值 . 12．化简-{-[-(+2.4)]}= ;-{+[-(-2.4)]}= 13．如果|a-3|-3+a=0,则a的取值范围是 14．已知－2<x<3,化简|x+2|－|x－3|= 15．一个数的相反数的绝对值与这个数的绝對值的相反数的关系式 在有理数，绝对值最小的数是 在负整数中，绝对值最小的数是 16． 由四舍五入得到的近似数17.0,其真值不可能是（ ） A 17.02 B 16.99 C 17. 17.┅家商店将某种服装按成本价提高40%后标价又以8折（即按标准的80%）优惠卖出，结果每作服装仍可获利15元则这种服装每件的成本是 18.已知4个礦泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶若不交钱，最多可以喝 矿泉水 -1时y=7,求当x=-1时，y= . 27． 设a为一个二位数b为一个三位数，则a放茬b的左边得一个五位数则此五位数是 28．已知推测的个位数字是________。 29． 在1：50 000 000的地图上两地的距离是1.3厘米用科学计数法表示两地的实际距离為 （ ）千米 。 30． 若|ab-2|+(b-1)2=0,求代数式 +++……+的值 31．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”如图6-2，在边长为1的正方形纸板上依次贴上面积为，，…的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想依数形变化的规律，计算…+=___________. 32． 如图大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的. 请你用两个不同形式的代数式（需简化）表示这个大转关系的面积； 由(1)可得到关於a、b的关系，利用得到的这个等式关系计算：的值. 33．观察月历 下列问题请你试一试你一定行。请你探究：有阴影方框中的9个数与方框中間的数有什么关系吗这个关系对任意一个这样的方框都成立吗？ . 日 一 二 三 四 五 六 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26