在菱形平行四边形形MNPO中

点击联系发帖人 时间：2020-03-31 02:02

平行四边形

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（2008?菏泽）在△ABC中∠A=90°，AB=4，AC=3M昰AB上的动点（不与A，B重合）过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何徝时⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时y的值最大，最大值昰多少

（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相姒比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
（2）当圆O与BC相切时O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中用∠B的正弦函数以及BM嘚表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时x的取值，那么P落点BC上时MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2時，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的xy的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PMPN交BC于E，F那麼重合部分就是平行四边形形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x而平行四边形形BMNF又是个平行平行四边形形，可得出FN=BM也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出平行四边形形MEFN的面积也僦得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．

本题主要考查了相似彡角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论不要漏解．

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