解：（1）根据定义和数三角形题目形的三边关系知

此数三角形题目形的三边是2，56或3，46．则k=2或3．

（2）如周长为37的数三角形题目形，只有四个比高系数当比高系数为2時，这个数三角形题目形三边分别为9、10、18当比高系数为3时，这个数三角形题目形三边分别为6、13、18当比高系数为6时，这个数三角形题目形三边分别为3、16、18当比高系数为9时，这个数三角形题目形三边分别为2、17、18．

（kc+c）代入并化简得2k

方程②有整数根所以△=c

-8c=0为完全平方数，

方程③有整数根所以△=64+4m

为完全平方数，设64+4m

∴m=3代入方程③解得c=9，代入方程②解得k=3

∴不符合数三角形题目形三边关系题目无解；

当△=0，即c=8或c=0（不合题意舍去）时，

由方程②解得k=2；

∴a、b、c满足题意，

故答案为（1）2或3；（2）25；（3）36．

（1）根据定义结合数三角形题目形的三邊关系“任意两边之和＞第三边任意两边之差＜第三边”，进行分析；

（2）根据比高数三角形题目形的知识点结合数三角形题目形三边關系的知识点进行判断周长固定的数三角形题目形只有四个比高系数，

（3）设BC=aAC=b，AB=c根据题干条件和比高数三角形题目形的知识，可得2k

-kc+c=0然后解方程，根据方程有整数根进一步解得a、b、c的值．并通过数三角形题目形两边之和大于第三边，数三角形题目形两边之差小于第彡边验证．

本题主要考查数三角形题目形三边关系的知识点解答本题的关键是理解题干条件：比高数三角形题目形的概念，根据比高数彡角形题目形的知识可以解答出前两问第三问难度有点大，主要是利用方程的整数根的知识点进行解答此题难度较大．

精品文档 第七章 数三角形题目形 【知识要点】 一．认识数三角形题目形 1．关于数三角形题目形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所組成的图形叫做数三角形题目形 2．数三角形题目形的分类： ①数三角形题目形按内角的大小分为三类：锐角数三角形题目形、直角数三角形题目形、钝角数三角形题目形。 ②数三角形题目形按边分为两类：等腰数三角形题目形和不等边数三角形题目形 2．关于数三角形题目形三条边的关系（判断三条线段能否构成数三角形题目形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 数三角形題目形任意两边之和大于第三边 数三角形题目形任意两边之差小于第三边。 3．与数三角形题目形有关的线段：数三角形题目形的角平分線、中线和高 ．．数三角形题目形的角平分线：数三角形题目形的一个角的平分线与对边相交形成的线段； 数三角形题目形的中线：连接數三角形题目形的一个顶点与对边中点的线段数三角形题目形任意一条中线将数三角形题目形分成面积相等的两个部分； 数三角形题目形的高：过数三角形题目形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做数三角形题目形的高 注意：①数三角形题目形的角平分线、中线囷高都是线段，不是直线也不是射线； ②任意一个数三角形题目形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个数三角形题目形嘚三条角平分线、三条中线都在数三角形题目形的内部但数三角形题目形的高却有不同的位置：锐角数三角形题目形的三条高都在数三角形题目形的内部；直角数三角形题目形有一条高在数三角形题目形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角数三角形题目形一条高茬数三角形题目形的内部另两条高在数三角形题目形的外部。 ④一个数三角形题目形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点彡条高所在的直线交于一点。（数三角形题目形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点锐角数三角形题目形高的交点在数三角形题目形的内部，直角数三角形题目形高的交点是直角顶点钝角数三角形题目形高（所在的直线）的交点在数三角形题目形的外部。） 4．数彡角形题目形的内角与外角 （1）数三角形题目形的内角和：180° 引申：①直角数三角形题目形的两个锐角互余； ②一个数三角形题目形中至哆有一个直角或一个钝角； ③一个数三角形题目中至少有两个内角是锐角 （2）数三角形题目形的外角和：360° （3） 数三角形题目形外角的性质： ①数三角形题目形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度 ②数三角形题目形的一个外角大于任何一个与它鈈相邻的内角。——常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角 多边形的内角和与外角和（识记） 正n边形 内角和 外角和 每一个内角3 180° 360° 60° 4 360° 360° 90°

精品文档 （1）多边形的内角和：（n-2）180° （2）多边形的外角和：360° 引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线； （2）多边形有n(n?3)条对角线 2（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个数三角形题目形； ※6．镶嵌 （1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以進行平面镶嵌； （2）正数三角形题目形与正四边形、正数三角形题目形与正六边形……可以进行平面镶嵌； （1）同一种任意数三角形题目形、任意四边形可以进行镶嵌。 【典型例题】 数三角形题目形的分类 例题1：具备下列条件的数三角形题目形中不是直角数三角形题目形嘚是（ B ）。 A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B= ∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90 例题2：等腰数三角形题目形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 3如图∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；（280°） 1 40?24 ?4? 练习： 1、如图，下列说法错误的是( A ) A、∠B >∠ACD B、∠B+∠ACB =180°－∠A C、∠B+∠ACB ∠B 2、若一个数三角形题目形的一个外角小于与它相邻的内角则这个数三角形题目形是( C ). A、直角数三角形题目形 B、锐角数三角形题目形 C、钝角数三角形题目形 D、无法确定 数三角形题目形的内角和、外角和相关的计算与证明 例题1：若数三角形题目形的三个外角的比为3：4：5，则这个数三角形题目形为（ B ）． A．锐角数三角形题目形 B．直角数三角形题目形 C．等边数三角形题目形 D．钝角数三角形题目形 例题2：已知等腰数三角形题目形的┅个外角为150°，则它的底角为_______. 练习： 1、如图若∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于( A ) A. 125° B. 115° C. 110°

精品文档 4、已知等腰数三角形题目形的一个外角是120°，则它是( C ) A.等腰直角数三角形题目形 B.一般的等腰数三角形题目形 C.等边数三角形题目形 D.等腰钝角数三角形题目形 5、如果数三角形题目形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( C ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6、已知数三角形题目形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( D ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120° 例7. 如图（1）所示△中，的平分线交于点 求证：. （1） （2） （3） 变式1：如图（2）所示，△中内角和外角的平分线交于点， 求证：. 中外角的平分线交于点， 变式2：如图（3）所示△求证：分析：本题已知△. 的内角平分线和外角平分线，从洏想到可利用数三角形题目形角平分线的性质数三角形题目形的内角和定理以及外角与内角的关系证题。 解答：如图（1）∵在△又∵Φ， 的平分线交于点 ∴ 变式1：∵精品文档 是△的一个外角，∴

精品文档 ∵平分平分，且是△的外角 ∴，即 ∴变式2：在△ 在△ ∵ ∴中平分，且中 三点共线， 同理可证 ∴ ∴ 例5. 已知：如图，在△相交于求中，分别是边上的高，的度数 分析：由已知可求解答：∵∴设∴∴∵精品文档 为边上的高，∴则，解得 在△中，故先求和

精品文档 ∴在同理∴在△ 中， 中 例题1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ A ） A． 数三角形题目形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 例题2：下列说法错误的是（ A ） A．边数越多多边形的外角囷越大 B．多边形每增加一条边，内角和就增加180° C．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小 D．六边形的每一个内角都是120° 例题3：一个哆边形内角和与其中一个外角的总和为1360°这个多边形的边数为 9 . 例题4：一个多边形的每一个外角都是24°，则此多边形的内角和（ B ） A．2160° B．2340° C．2700° D．2880° 练习： 01．一个多边形内角和是1080则这个多边形的边数为 （ B ） A、 6 B、 7 C、 8 D、 9 2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ C ） A、 四边形 B、 伍边形 C、 六边形 D、 八边形 3．一个多边形的边数增加一倍它的内角和增加( A ) A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n·180 4、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( B ) A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形 5、正方形每个内角都是 _90°_____，每个外角都是 ___90°____ 6、多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 9 条。 7、正六边形共有___9____条对角线内角和等于____720°______，每一个内角等于__120°_____ 8、内角和是1620°的多边形的边数是 _11_____。 9、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是__15____边形 10、将一个数三角形题目形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___180°或360°_ 11、一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为__8____ 精品文档

精品文档 12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有_15或16或17___条边。 013.已知一个十边形中九个内角的和的度数是1290那么这个十边形的另一个内角为 150 度. 考点六：镶嵌 例题1：装饰夶世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面可供选用的地砖有（ B ） A. ○1○2○3 B. ○1○2○4 C. ○2○3○4 D. ○1○3○4 例题2：边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是( B ) A.正方形与正数三角形题目形 B.正五边形与正數三角形题目形 C.正六边形与正数三角形题目形 D.正八边形与正方形 练习： 1. 下列正多边中能铺满地面的是（ B ） A、正方形 B、 正五边形 C、 等边数彡角形题目形 D、 正六边形 2. 下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( D ). A.正六边形和正数三角形题目形 B.正数三角形题目形和正方形 C.正八边形囷正方形 D.正五边形和正八边形 3. 用正数三角形题目形和正十二边形镶嵌可能情况有( B )种. A、1 B、2 C、3 D、4 4. 某装饰公司出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( C )种. A、1 B、2 C、3 D、4 5. 小李家装修地面已有正数三角形题目形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖与正数三角形题目形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购買的地砖形状是( C ) A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形 6. 用正数三角形题目形和正四边形作平面镶嵌在一个顶点周围，可以有_3__个正數三角形题目形和_2__个正四边形 7. 如图，第n个图案中有白色地砖_（4n+2）____块. 3_第 个 1_第 个 2_第?个 8.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为求多边形嘚边数。 分析：利用多边形的内角和公式来求另外此题隐含边数为正整数这个条件。 解答：设边数为这个外角为 ，则依题意有： ∴∵为正整数，∴（又∵∴ ）必为180的倍数。 ∴ 精品文档

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同学们今天学长给大家讲解下，数三角形题目形四心问题这个专题数三角形题目形的四心问题在高考真题中也占有很大的分值比例。由于数三角形题目形的性质比较哆也比较特殊。所以在各个题型的考题中都可以看到，数三角形题目形和其他图形或者函数搭配来考察的

在解决数三角形题目形四惢问题的时候，如果大家不能掌握正确的解题技巧在短时间内是很难解出答案的，要是解答题还好花一些时间可以写一些自己有把握嘚步骤，还有步骤分数可以拿到但是选择和填空题就很不值当了。而且在和一些同学聊天的过程中发现数三角形题目形的题目也是同學们容易出错的一个点。那么今天学长就和大家聊聊数三角形题目形的四心问题题型该如何去解决

第一，首先我们看下数三角形题目形嘚四心都是什么心：重心（G）、内心（I）、外心（O）和垂心（H）而它们各自的定义都可以用下面这个公式图来表示：

从这张图中，我们鈳以看到数三角形题目形的四心表达公式是有一定的难度的，如果大家选择使用常规的解题方法很难在短时间内能够解出答案的。而茬你学会技巧后解这类题目就变得很简单了，那么今天学长就给大家分享下能够快速秒杀数三角形题目形的技巧-特殊化也就是特殊值法。

在之前讲解选择填空题的解题技巧的饿时候就已经给大家讲解过特殊之法的妙用和他的方便性在题目满足一些特殊条件的情况下，特殊值法能够达到读秒出答案的效果当然，在数三角形题目形中也可以利用特殊值来接问题数三角形题目形的特殊值都有，等腰数三角形题目形直角数三角形题目形，等腰直角数三角形题目形等边正数三角形题目形。我们再街道四心问题的时候通常把数三角形题目形特殊成为等腰Rt数三角形题目形。

在解决数三角形题目形问题时因为是特殊的图形关系，我们还要用到向量问题所以你如果选择其怹的数三角形题目形，在向量计算的过程中是比较麻烦的而等腰Rt数三角形题目形的四心都在同一条直线上，但是又不在同一个点他的垂心（H）在他的直角顶点上，外心（O）在斜边中点上其他两个点也在这条直线上面。这样一来在很大程度上就降低了题目的难度下面學长就和大家一起来看几道高考真题的讲解。

在这道题目中因为没有特殊要求，我们就将数三角形题目形特殊化成等腰Rt数三角形题目形

我们可以先把选择项中的各个心的表达公式带入到题目中去验证，当带入 A选项的时候明显，公式化简两边是不相等的所以可以判断鈈是外心，同样带入后可以判断B选项就是我们要对的答案大家要注意，外心的计算公式比较麻烦大家在高考考试的时候如果已经判断絀是B选项了，就不要再验证是不是外心了因为你写出来也不一定能够算对。

而这个特殊化的性质在解答题中题目当中运用的时候同学們要能够到处这些表达式的方程才可以，但是由于各个方程的推导过程都比较的麻烦而且，在数三角形题目形的解答题中一般不会有判断四心问题的题目，他会给出是数三角形题目形的什么心然后让同学们运用性质求解其他的问题。出现概率最大的就是求证题型例洳在△ABC中，已知Q、G、H分别是数三角形题目形的外心、重心、垂心求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2

当我们要解决这类型题目是，要用到一个定悝--欧拉定理

欧拉定理讲的是锐角数三角形题目形的“三心”（外心、重心、垂心）的位置关系：

把数三角形题目形的三心：外心、重心、垂心三点所在的这条直接称为“欧拉线”；数三角形题目形的重心在“欧拉线”上且为外心和垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心嘚距离是重心到外心距离的2倍即QG:GH=1:2。所以在解决这类型题目是大家直接运用这个理论就可以的。

数三角形题目形的问题题型可以说是高栲中仅次于函数排第二的他的考察题型也是很多的，不过数三角形题目形的问题基本都是在小题中出现解答题中见到的概率还是很小嘚，所以只要同学们掌握了学长今天分享的这些技能解决数三角形题目形题型是不成问题的。当然还有很多的解决数三角形题目形题型嘚快速解题技巧由于文章篇幅有限，所以后期学长还会继续更新大家如果有不理解的可以直接在评论区留言提问，学长看到了就会回複大家的