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f(x)=lnxax2+(a+2)x+lnx,求函数的单调性
f(x)=lnxax2+(a+2)x+lnx,求函数的单调性
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时间:2020-01-29 12:59
f(x)=lnx
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}
(1)求a的最大值使函数f(x)在(0,+∞)内是单调函数.
(2)若对于任意的x∈(0+∞),总有f(x)≤0求a的取值范围.
(1)求导函数可得
f′(x)=
∴2a≤0,∴a最大值为0
?2ax+1≤0
即-2ax
2
+x+1≤0,函数在(0+∞)内不是单调函数
(2)由(1)知,a≤0函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数f(x)>0
∵对于任意的x∈(0,+∞)总有f(x)≤0,
∴对于任意的x∈(0+∞),总有y
1
<y
2
即对于任意的x∈(0,+∞)y
1
=lnx在
y
2
=a
x
2
?x
的下方,
(1)求导函数令导数正负,分离参数即可求得結论;(2)分类讨论,利用数形结合的方法即可求a的取值范围.
函数单调性的性质;函数恒成立问题.
本题考查函数的单调性,考查导數知识的运用考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力属于中档题.
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(Ⅰ)当a=1时求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当a>0时函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2求a的取值范围;
(Ⅲ)若对任意x
1
,x
2
∈(0+∞),x
1
<x
2
且f(x
1
)+2x
1
<f(x
2
)+2x
2
恒成立,求a的取值范围.
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(Ⅰ)我们易求出f(1)及f′(1)的值代入点斜式方程即可得到答案;
(Ⅱ)确定函数的定义域,求导函数分类讨论,确定函数的单调性利用函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2即可求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax
2
-ax+lnx对任意x
1
,x
2
∈(0+∞),x
1
<x
2
且f(x
1
)+2x
1
<f(x
2
)+2x
2
恒成立,等价于g(x)在(0+∞)上单调递增,由此可求a的取值范围.
利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒荿立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查导数知识的运用考查函数的单调性与最值,考查导数的几何意义考查恒成立問题,正确求导是关键.
}
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说的太好了,我顶!
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