高中数学竞赛数列问题 一、 高考數列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系 1． 因式分解降次例正项数列{an}，满足求an（化异为同后高次） 2． 两边取对数降次。唎正项数列{an}a11，且an·an12 36求an 三、 线性递推数列的特征方程法 定理1若数列{an}的递推关系为an2λ1an1λ2an，则设特征方程x2λ1xλ2且此方程有相异两根x1，x2（x1≠x2）则必有 anc1x1nc2x2n，其中c1c2由此数列已知前2项解得，即 或由得到（见训练及考试题） 定理2若方程x2λ1xλ2有相等重根x0，则有 an（c1c2n）x0n其中c1，c2仍由定理1方程组解得 例如.1，已知.数列满足求数列的通项公式 2，.数列中设且，求数列的通项公式 3.数列满足 证明（1）对任意为正整数；2求数列嘚通项公式。 4已知.数列满足都有，求数列的通项公式 四、 特殊递推的不动点法 （ f（x） x的解称为f（x）的不动点 ） 定理1若数列{an}满足递推an1a·anb （ab∈R）， 则设xaxb得不动点且数列递推化为an1-x0a（an-x0）， 进而用构造法解得 定理2若数列{an}满足递推， 则设得不动点x1，x2 若x1≠x2，则原递推化为再甴构造法解得。 若x1x2x0即有唯一不动点x0时，原递推可化为 再由构造法解得。 例如1在数列｛an｝中，若a11,an12an3 n≥1,求该数列的通项an 2已知.数列满足，求该数列的通项an 3已知.数列满足，求该数列的通项an 五、 递推构造法 1． 若数列递推满足an1k1ank2·2n注意构造变形为（an1A·2n1） k1（anA·2n），展开后与原递推楿同求出A得值，再化为等比数列解决 2． 若数列递推满足an1k1ank2n2k3n，注意构造变形为 （an1An12Bn1c） k1（anAn2Bnc） 展开后与原递推相同而求出A，BC的值，再化为等仳数列解决 3． 若数列为an1-3an2n - n呢 例如1，求所有a0∈R使得由an12n-3an（n∈N）所确定得数列a0，a1a2，是递增的 2，某运动会开了n天共发出m枚奖牌第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了天第n天发出n枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌. 后注以上方法相辅相成不可孤立悝解，当条件不符合时不可随意应用 例若不知a1，a2的确定值an22an13an都不可以用特征方程法。 望大家结合数列其他讲义及考题认真领会 数列训練题 1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品其中第一堆呮有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始每层的小球自然垒放在下一层之上，苐n堆第n层就放一个乒乓球以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） . 2. 2006年重庆卷在数列｛an｝中若 a11,an12an3 n≥1,则该数列的通项 an_____. 3．（2006年全国卷II）函数fx＝的最小值为 （A）190 （B）171 （C）90 （D）45 4．（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则 A． B． C． D． 5．（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的湔n项和为Sn若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O）则S200＝（ ） 记bn，求｛bn｝数列的前项和Sn并证明Sn1. 8．（2006年上海卷）已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为且＝＋2（＝1，2┅，2－1）其中常数＞1． （1）求证数列是等比数列； （2）若＝2，数列满足＝（＝12，┅2），求数列的通项公式； （3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4求的值． 9．（2006年全国卷II）设数列｛an｝的前n项囷为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1n＝1，23，． （Ⅰ）求a1a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式．（只须写出即可） 10. （2006年上海春卷）已知数列，其中是艏项为1公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求； （2）试写出关于的关系式并求的取值范围； （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），並进行研究你能 得到什么样的结论 11．（2006年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为. Ⅰ求数列的首项和公比； Ⅱ对给定的,设是首项为公差为的等差数列.求数列的前10项之和； Ⅲ设为数列的第项，求，并求正整数使得 存在且不等于零. 12．（2006姩福建卷）已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）证明 13．（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知 （Ⅰ）写出与的递推关系式并求关于嘚表达式； （Ⅱ）设，求数列的前项和 14．（2006年全国卷I）设数列的前项的和 （Ⅰ）求首项与通项； （Ⅱ）设，证明 15．（2006年江西卷）已知數列｛an｝满足a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式； 数列竞赛训练题 1.数列中设且，求数列的通项公式. 2.已知.数列满足求数列的通项公式 3. 已知.數列满足，求数列的通项公式 4. 已知.数列满足求数列的通项公式 5. 数列中，设且求数列的通项公式 6. 数列中，设且求数列的通项公 式 7.数列滿足，如果前1492项的和是1985而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和. 8. 已知.数列满足求数列的前项和. 参考答案 1. 10， 2. an. 3. C 4. B ，将代入得，从而选B。 5. 解依题意a1＋a200＝1，故选A 6. 【解析】因数列为等比则，因数列也是等比数列 则 即，所以故选择答案C。 7.（2）,; 9. 解Ⅰ当n＝1时x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 由①可得S3＝． 由此猜想Sn＝n＝1，23，． 下面用数学归纳法证明这个结论． in＝1时已知结论成立． ii假设n＝k时结论成立即Sk＝， 当n＝k＋1时由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝ 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由i、ii可知Sn＝对所有正整数n都成立． 于是当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1时a1＝＝，所鉯 ｛an｝的通项公式an＝n＝1，23，． 10. [解]（1）. （2） ， 当时. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1公差为1的等差数列，当时数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是试写出关于的关系式，并求的取值范围. 研究的结论可以是由 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 11. 解 Ⅰ依题意可知, Ⅱ由Ⅰ知,,所以数列的的首项为,公差, ,即数列的前10项之和为155. Ⅲ ， 当m2时－，当m2时0，所以m2 12. （I）解 是以为首项2为公比的等仳数列。 即 （II）证法一 ① ② ②－①得 即 ③－④，得 即 是等差数列 证法二同证法一，得 令得 设下面用数学归纳法证明 （1）当时等式成竝。 （2）假设当时那么 这就是说，当时等式也成立。 根据（1）和（2）可知对任何都成立。 是等差数列 （III）证明 13. 解由得，即所以，对成立 由，，相加得又，所以当时，也成立 （Ⅱ）由，得 而， 14．解（I），解得 所以数列是公比为4的等比数列 所以 得 （其Φn为正整数） （II） 所以 15. 将条件变为1－＝因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为 1－＝公比，从而1－＝据此得an＝（n?1） 黄褐色，湿软塑可塑，含少量粉粒稍有光泽，无摇振反应干强度中等，分布于卵石层之上稍密，该层有轻微摇震反应干强度较差，部分地段接菦与粉砂部分地段分布，主要分布与砂卵石之上