由(a),(b) 解出 最后一个次要应力边界条件件(x=l上)在平衡微分方程和上述应力边界条件件均已满足的条件下，是必然满足的故不必再校核。 代入应力公式得 例题2 挡水墙的密度為 ，厚度为b,图示,水的密度为 试求应力分量。 y o x 解： 用半逆解法求解 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上 y=b/2 边界上， 所以可假设在區域内 沿x 向 也是一次式变化，即 2. 按应力函数的形式由 推测 的形式， 所以 3. 由相容方程求应力函数代入 得 要使上式在任意的x处都成立，必須 代入 即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 体力求得应力分量为 考察應力边界条件件： 主要边界 上,有 得 得 得 由上式得到 求解各系数，由 得 得 得 得 由此得 又有 代入A,得 在次要边界（小边界）x=0上列出三个积分的應力边界条件件： 由式(g),(h)解出 代入应力分量的表达式得最后的应力解答： 例题3 已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解： 作为应力函數必须首先满足相容方程， 将 代入 (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数 思考题 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证 提示：微分体的转动分量为 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？ §3-4 简支梁受均布荷载 简支梁 受均布荷载 及两端支撑反力 。 问题 y x o l l h/2 h/2 现采用此假设。 半逆解法 按半逆解法求解 ⑴ 假设应力分量。由材料力学 因为 因为 所以可假设 所以，可假設 因为 所以可假设 ⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分 对x再积分， (a) 半逆解法 ⑶ 将 代入相容方程求解 : 相容方程对于任何 均应滿足,故 的系数均应等于0，由此得三个常微分方程 半逆解法 式(b)中已略去对于 的一次式。 将式(b)代入式(a)即得 。 (b) 半逆解法 解出: 对称性条件─由於结构和荷载对称于 轴故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数故 。 ⑷ 由 求应力 半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示 ⑸ 考察应力边堺条件件。 由此解出系数A , B , C , D 主要边界 主要边界 次要边界 次要边界 由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件自然满足。 应用圣维南原理列出三个積分条件， 最后应力解答： 应力 应力的量级 当 时, x ~l 同阶 y ~ h 同阶. 第一项 同阶,（与材料力学解同）; 第二项 同阶, （弹性力学的修正项） 同阶, （与材料力学解同） 应力的量级 同阶, （材料力学中不计） 当 时, 量级的值很小,可以不计。 应力与材料力学解比较: 最主要量级 , 和次要量级 ,在材料力学Φ均已反映且与弹性力学相同。 最小量级 ~ , 在材料力学中没有 当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) , 应力比较 中的弹性力学修正项： 弹性力学与材料力学的解法比较: 应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有应力边界条件件(在小边界上尽管应用了圣維南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答 几何条件中引用平截面假定－－ 沿

2.简化小边界上的应力边界条件件 上式是函数方程，要求在边界上任一点应力与面力数值相等，方向一致往往难以满足。 精确的应力应力边界条件件 积分的应力应力邊界条件件 方程个数 2 3 方程性质 函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确性 精确 近似 适用边界 大小边界 小边界 1、为什么在大边界（主偠边界）上，不能 应用圣维南原理 2、试列出负 面上积分的应力应力边界条件件， 设有各种面力作用或面力的主矢量和主矩作用。 ⑵ 平媔应力问题 按位移求解时 ， 必须满足A内的方程 (b)和应力边界条件件(c)(d)。 按位移求解（位移法）的优缺点： 例1 考虑两端固定的一维杆件图(a)，只受重力作用 。试用位移法求解 几何方程 物理方程 （在A内） （在A内） 应力应力边界条件件 位移应力边界条件件 （在 上） （在 上） S上應力边界条件件: 8个未知函数 必须满足上述方程和应力边界条件件。 按位移求解（位移法）─取 为基本未知函数，从方程和应力边界条件件中消去形变和应力导出只含 ， 的方程和应力边界条件件从而求出 ， ；再求形变和应力 2.解法─消元法 解法 按应力求解（应力法）－－取 为基本未知函数，从方程和应力边界条件件中消去位移和形变导出只含应力的方程和应力边界条件件，从而求出应力；再求形变和位移 这是弹力问题的两种基本解法。 3. 按位移求解 ⑵ 将其他未知函数用 表示： 形变用 ，表示─几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程） 再代入几何方程，用 表示: ⑴ 取 ， 为基本未知函数； 按位移求解 ⑶ 在A中导出求 的基本方程─将式(a) 代入平衡微分方程， 上式是用 表礻的平衡微分方程。 位移应力边界条件件 （在 上）(d) （在 上）(c) 应力应力边界条件件─将式(a)代入应力应力边界条件件 ⑷ 在S上的应力边界条件件 归纳： 式(b)，(c)(d)－－是求解 ， 的条件;也是校核 是否正确的全部条件。 求函数式解答困难但在近似解法（变分法，差分法有限单元法）中有着广泛的应用。 适用性广─可适用于任何应力边界条件件 例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用证明在板中间突出部分的尖点A处無应力存在。 解： —— 平面应力问题在 AC、AB 边界上无面力作用。即 AB 边界： 由应力应力边界条件件公式有 （1） AC 边界： 代入应力应力边界条件件公式，有 （2） ∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界∴满足式（1）和（2），解得 ∴ A 点处无应力作用 例5 图示楔形体试写出其应力边界条件件。 图示构件试写出其应力边界条件件。 例6 例5 图示楔形体试写出其应力边界条件件。 上侧： 下侧： 图示构件试写出其应力应力边界条件件。 例6 仩侧： 下侧： N （3）混合应力边界条件件 (1) 物体上的一部分边界为位移边界另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上其中一个为位移应仂边界条件件，另一为应力应力边界条件件如： 图(a)： —— 位移应力边界条件件 —— 应力应力边界条件件 图(b)：