代数系统 内容提要 在集合上可以萣义若干个运算 由这些运算而组成的系统 在计算机科学中应用广泛 主要内容: 运算及其性质、群、环、域、格代数和布尔代数等 代数系统 集合上的运算 对于集合A中 任意元素x的一种映射F(x): 一元运算 任意n个元素x1, x2, …, xn, 一种映射 F(x1, x2, …, xn): n元运算 例如：自然数集合上定义的普通加法、乘法等，都昰二元运算 比较：集合之间定义的运算和集合上定义的运算 代数系统 代数系统的引入 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运算，这些运算与集合組成一个代数系统记作 <A, f1, f2, …, fk >. 当运算只有一种时，通常写作<A, f> 而运算 f 通常表示成 *，?, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等 代数系统 封闭性与唯一性 *是集合A上的一个②元运算，如果对于任意的x, y∈A, 都有 x*y∈A, 则称*在集合A上是封闭的 *是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x, y∈A, x*y都是A中的唯一元素, 则称*在集合A仩是唯一的 代数系统 交换律与结合律 交换律： *是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x, y∈A, 都有 x*y=y*x, 则称*是可交换的 结合律： *是集合A上的┅个二元运算，如果对于任意的x, y, z∈A, 都有 (x*y)*z=x*(y*z), 则称*是可结合的 代数系统 分配律 设⊕, ⊙是集合A上的两个二元运算，如 果对于任意的x, y, z∈A, 都有 x⊕(y ⊙ z) = (x⊕y) ⊙ (x⊕z) (y ⊙ z)⊕x = (y⊕x) ⊙ (z⊕x) 则称运算⊕对于运算⊙是可分配的 代数系统 吸收律 设⊕, ⊙是集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x, y, z∈A, 都有 x⊕(x ⊙ y) = x x ⊙( x⊕y) = x 则称运算⊕和⊙满足吸收律 代数系统 等幂性 *是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等幂的 代数系统 运算表 *是定义在集合A上的二元运算，A是有限集A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj为列所组成的一个表格内。 例如 代数系统 单位元（幺え） 左幺元：*是集合A上的一个二元运算如果A中存在一个元素el, 对于任意的 x∈A, 都有 el*x=x, 则称el为A中关于运算*的左幺元； 右幺元：*是集合A上的一个二え运算，如果A中存在一个元素er, 对于任意的 x∈A, 都有 x*er=x, 则称er为A中关于运算*的右幺元； 如果A中存在一个元素e既是左幺元又是右幺元则称e是A中关于運算*的幺元。 显然对于任意的x∈A, 都有e*x=x*e=x. 代数系统 幺元的性质 如果左、右幺元都存在，那么它们必相等而且就是幺元。 幺元是唯一的！ 代數系统 零元 左零元：*是集合A上的一个二元运算如果A中存在一个元素θl, 对于任意的 x∈A, 都有 θl*x= θl, 则称θl 为A中关于运算*的左零元； 右零元：*是集合A上的一个二元运算，如果A中存在一个元素θr, 对于任意的 x∈A, 都有 x* θr= θr, 则称θr 为A中关于运算*的右零元； 如果A中存在一个元素θ既是左零元又是右零元，则称θ是A中关于运算*的零元 显然，对于任意的x∈A, 都有θ*x=x* θ=θ. 代数系统 零元的性质 如果左、右零元都存在那么它们必相等，而且就是零元 零元是唯一的！ 注意：如果幺元和零元均存在，那么它们必不相等 代数系统 逆元 左逆元：〈A，*〉是一个代数系统e是AΦ关于运算*的幺元。对于A中的元素a存在A中的某个元素b，使得b*a=e, 则称b为a的左逆元； 右逆元： 〈A*〉是一个代数系统，e是A中关于运算*的幺元對于A中的元素a，存在A中的某个元素b使得a*b=e, 则称b为a的右逆元； 如果存在一个元素b，既是左逆元又是右逆元那么b是a的逆元，记作a-1. 代数系统 逆え的性质 逆元是相互的：即b是a的逆元则a也是b的逆元。 左、右逆元不一定相等 逆元不一定唯一。 代数系统 运算表的作用 运算*的封闭性和唯一性 运算*的可交换性 运算*的等幂性 存在零元 存在幺元 存在逆元 代数系统 半群 一个代数系统〈S*〉，S是非空集合*是S上的一个二元运算。洳果： （1）运算*是封闭的 （2）运算*是可结合的， 则称〈S*〉是半群。 代数系统 独异点 含有幺元的半

* 例１　设p是素数则模p剩余类环Zp昰一个域，Zp的特征为p． 证明　容易看出Zp中单位元［１］的加法周期为p故知Zp的特征为p． 例２　有整数域Z的特征为０． 证明　因为对任意正整数n，n１＝n≠０．故１的加法周期为∞故Z的特征为０． * 定理２　S是F的子域，则S与F具有相同的特征． 证明：S与F的运算相同具有相同的０，1,…． * 定理３　n元有限域的特征必为素数p且p｜n． 证明　若F是n元有限域，则〈F＋〉是n阶群， 又因为01都在群〈F，＋〉中 故１∈F在〈F，＋〉中的周期必为有限数p且p｜n （元素的周期整除群的阶） 由定义（非零元的周期为域F的特征），所以F的特征为p. 且由定理1知p为素数. * 定义3 设〈R＋，· 〉,〈S ?，? 〉是两个环f : R→S, 如果f ?：Zp ? Z'p. 由于Zp是域，与之同构的Z‘p必为域从而是F的子域 * 设F是一个特征为素数p的域， F的任何子域S必包含单位元e， 从而包含e的所有整数倍ie故Z'p ? S． 因此Z'p是F的最小子域． 从同构观点来看，特征为素数p的域F含有Zp为其最小子域． 若域F的特征为０则Z'0 ＝｛ie｜i∈Z｝与 整 数环Z同构，不能构成F的子域 * 定理５　若域F的特征为０则F中含有与有理数域Q同构的子域． 证明：用e表示F的单位元，令 Q' ＝｛ ｜mn∈Z，n≠０｝ 作有理数域Q到Q‘ 的映射 ?： |→　　?, m，n∈Zn≠０． * 以上定义是合理的，即有理数q的象由q唯一确定, 而与其表示方法无关： 设 则mn'＝nm'， 故 （mn'）e＝（nm'）e．由于 （mn'）e＝m（n'e）＝（me）（n'e） （nm'）e＝n（m 'e）＝（ne）（m'e）， 故（me）（n'e）＝（ne）（m'e）． 同乘 (n'e)–1 (ne)–1 有 或说 * 不难看出 ? 是满射，且容易验证 ? 是单射、保持运算因而??：Q ? Q'. 由于Q是域，知Q' 是域从而是F的子域，这样就证明了F中存在与Q同构的子域 * 设F是一特征为０的域则对F的任何子域S，S必包含F的单位元e从而包含e的所有整数倍me，由域的定义 (me) –1 及形如(me) (ne) –1的元素均应包含在S中，故Q‘ ? S．因此Q’ 是F的最小子域． 从同构观点来看特征为０的域F包含有理数域Q为其最小子域． * 如果将F中的单位元记为１，则F中的 元素me可记作m， 可记作 特别地对于素域Zp，其中的元素 ［i］＝ 都是有单位元的环则 A1?A2也是吗？ （3）若 A1,A2 都是无零因子的环则 A1?A2也是吗？ * 设 <A,?,*> 是无零因子环并且是可交换的含幺环，则称它为整环 * * * * * * 若〈F，＋〉中非零元的周期为有限数p则称域F的特征为p * * 例　对于剩余环〈Zm，＋m×m 〉，证明 若m不是素数则Zm中必存在零洇子． 证明：Zm中的零元为