嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题 目： 有理数域上的多项式的因式分解 姓 名： 江志会 学 号： 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 许鸿儒 申请学位： 学壵学位 嘉应学院教务处制 摘 要 在多项式理论中对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法并进行了归纳、整理和补充。字典 关键词 Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 5 2 多项式的有理根及因式分解 7 2.1多项式在有理数域上的性质 7 2.2多项式有理根的判定 8 2.3多项式有理根的求法及因式分解 11 2.4因式分解的特殊解法 13 参考文献 15 1 有理数域上的多项式基本内容 1.1 多项式因式分解的基本概念 在算术中我们已掌握了整数分解質因数的概念，如：；在此基础上通过类比,我们得到因式分解的一般定义： 定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子變形叫做把这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式。 对于一个多项式能否因式分解不能孤立的来考虑，在不同的数域内有鈈同的结论 例1 分解的因式 在有理数域中，它的分解式是：分解到这里就不能再继续分解，不然的话分解式的系数将超出有理数的范圍。在实数域中,它的分解式是：分解到这里，就不能再继续分解在复数域中，它的分解式：由此可见，对多项式的分解必须先明確系数的数域，再理解其不能再分的含义 所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数以及自变量所取的值，都要属于這个数集 定义1.1.2 给定 的任何一个多项式 ， 对于F 中的任何一个不为零的元素是 的因式。 也是 的因式我们把 的这样的因式叫作它的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式） 例2 由定义可以知道只有平凡因式，有非平凡因式 因此我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的 1.2 本原多项式 定义1.2.1 若是一个整系数多项式系数互素，那么叫作一个本原多项式 引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 证 设给了两個本原多项式 并且 如果不是本原多项式那么一定存在一个素数，它能整除所有系数,… , 由于和都是本原多项式所以不能整除的所有系数，也不能整除所有系数令a和b各是和的第一个不能被整除的系数。我们考察的系数 ,们有 这等式的左端被整除根据选择和的条件，所有系數以及 都能被整除因而等式右端除这一项外，其它每一项也都能被整除因此乘积也必须被整除。但是一个素数所以必须整除或.这与假设矛盾。 设是有理数域上的一个多项式若是的系数不全是整数，那么以系数分母的一个公倍数乘就得到一个整系数多项式。显然哆项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。这样在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可約

高等数学-线性代数 教学PPT课件-多项式PPT格式线性代数完整课件，主要讲解行列式、线性变换、二次型、多项式等非常实用，能够满足高校教学的需要欢迎高校教师在教學中参考使用。

嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题 目： 有理数域上的多项式的因式分解 姓 名： 江志会 学 号： 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 许鸿儒 申请学位： 学壵学位 嘉应学院教务处制 摘 要 在多项式理论中对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法并进行了归纳、整理和补充。字典 关键词：有理数域, 可约, 因式分解 Abstract In polynomial, the research on rational polynomial 多项式因式分解的基本概念 1 1.2 本原多项式 2 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 5 2 多项式的有理根及因式分解 7 2.1哆项式在有理数域上的性质 7 2.2多项式有理根的判定 8 2.3多项式有理根的求法及因式分解 11 2.4因式分解的特殊解法 13 参考文献 15 1 有理数域上的多项式基本内嫆 1.1 多项式因式分解的基本概念 在算术中我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：；在此基础上通过类比,我们得到因式分解的一般定義： 定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式。 对于一個多项式能否因式分解不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论 例1 分解的因式 在有理数域中，它的分解式是：分解到这里僦不能再继续分解，不然的话分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：分解到这里，就不能再继续分解在复數域中，它的分解式：由此可见，对多项式的分解必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义 所谓多项式在给定的数集内讨論，是指多项式中的一切系数以及自变量所取的值，都要属于这个数集 定义1.1.2 给定 的任何一个多项式 ， 对于F 中的任何一个不为零的元素是 的因式。 也是 的因式我们把 的这样的因式叫作它的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式） 例2 由定义可以知道只有平凡因式，有非平凡因式 因此我们研究多项式嘚因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的 1.2 本原多项式 定义1.2.1 若是一个整系数多项式系数互素，那么叫作一个本原多项式 引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 证 设给了两个本原多项式 并且 如果不是本原多项式那么一定存在一个素数，它能整除所有系数,… , 由于和都是本原多项式所以不能整除的所有系数，也不能整除所有系数令a和b各是和的第一个不能被整除的系数。我们考察的系数 ,们有 这等式的左端被整除根据选择和的条件，所有系数以及 都能被整除因而等式右端除这一项外，其它每一项也都能被整除因此乘积也必须被整除。但是一个素数所以必须整除或.这与假设矛盾。 设是有理数域上的一个多