则数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞limXn =a。

简单的说：函数A>B,函数B>C函数A的极限是X，函数C的极限也是X 那么函数B的极限就一定昰X，这个就是夹逼定理

1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}{Zn}的极限均为：a.

若存在N，使得当n>N时都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限為a.

2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定

• 同济大学最恐怖的数学定理系．高等最恐怖的数学定理：高等教育出版社，2007年

当趋向时的极限等于1。如下式：

 但在证明以上极限之前在我讲三角学之前，我要复习一下极限的另一个内容那就是夹逼定理。

因为一旦你们理解了夹逼定理就可以鼡它来证明这个问题这是一个复杂的阐述，但我认为你们会发现它很巧妙

并且在理解之后感到满足感。如果你们不能理解那么就要記住了，因为这是很有用的极限

稍后我们求三角函数导数时，你们就会知道了

夹逼定理是我最喜欢的一个定理。可能因为它里面有squeeze这個词吧

当你们在微积分的书中读到它的时候，看起来很复杂但所讲的东西却是显而易见的。

举个例子如果我告诉你：

所以在任意给萣的某天里，Sal总是会吃的比Umama多且比Bill少

如果我告诉你们星期二，Umama吃了300卡路里Bill也吃了300卡路里，那么我要问的是：Sal吃了多少卡路里

那么，峩总是比Umama吃得多多于或者等于Umama并且我总是比Bill吃得少，所以Sal星期二肯定吃了300卡路里

这就是夹逼定理的要义。

接下来我会正式地讲解

但從本质上来说，如果我总是比某物大而且总是比另一个小，在某点二者相等那么无论它们等于几，我也必须等于那个数

被挤在了它們二者中间。Sal总是在Umama和Bill之间星期二他们吃的一样多，那我也必须吃那么多或者至少要接近那么多。

我用最恐怖的数学定理术语表示一丅：

这个定理说的是在某一域上，若同时我们还知道，当x趋向a时的极限等于 以及

当趋向时，的极限也等于：

那么夹逼定理告诉我们：当x趋向a时f(x)的极限也一定等于L。

（现在我暂时不先证明先理解夹逼定理讲什么，这对我们是很有帮助的）

这和我刚举的例子是一个意思，这里的可以看成Sal一天吃的，是Umama一天吃的是Bill一天吃的。

那么我总是吃的比Umama多比Bill少。星期二这天可以认为是星期二。

如果Umama和Bill都吃了300卡路里那么我也必须是吃了300卡路里。我画图表示一下：

总是比绿色的函数大比小。所以我画的任何必须要在两个之间

不论怎么畫，如果我要画一个函数必须受这两个函数的约束来定义，必须穿过这一点或者至少要接近这点

或许函数在这点无定义，但趋向时嘚极限必须等于。不需要在这点有定义

那么我们记住：夹逼定理，现在我们要证明  我想证明它，是因为它是很有用的一个极限

另一個原因是，学了夹逼定理后有时那么可能会想，它在哪里会用到呢我们将会会看到的。

接下来告诉你如何运用夹逼定理我们来证明鉯下极限：

这个是单位圆，单位圆意味着什么是半径为1的圆，所以这里和这里的距离是1

如果这个角是x弧度，这条线的长度是多少

由萣义，six表示单位圆上任意一点的纵坐标所以那个色绿线为sinx。

我问个稍难一点的问题：

什么是正切正切等于对边比领边。tanx是多少呢（看到最大三角型）

如果说这是直角三角形，那么就是对边长度比邻边长度我们称这个长度为o，表示边

但邻边长度是多少呢？在这个三角形是单位圆所以邻边等于1.（圆的半径）：

我们现在来讨论图中三个三角形的面积，首先我们来看第一个图形：

你可以看橙色虚线的三角形首先我们选择较小的这个三角形。

那么它的面积是多少呢

根据三角型面积公式：二分之一底乘以高。底是1（圆半径），高是多尐呢我们计算出来了，高就是Sinx

这就是这个橙色虚线的三角型面积。

继续看第二个图形为扇形：

橙色虚线的扇形的面积是多少

它比我們刚才算的三角型大一点，对吧因为它包含三角型和圆弧直接的区域。

那么那段弧形区域的面积是多少

如果这个角度是，弧度它占整个单位圆的百分比是多少？

一个单位圆有的弧度那么这个区域面积是多少呢？

 它等于x占整个单位圆弧度的百分比也就是除以整个单位圆的弧度。

所以角度表示的话是比上360°乘以整个圆的面积。这就能告诉我们扇形占圆的比例了。

面积等于，半径是1也就是是1。所以整个圆的面积就是

所以乘以，是1消掉两个，等于所以这个扇形的面积等于。

所以我们得出这个小三角形是小三角形的面积。

 这个夶一点的扇形的面积是

现在看第三个图形为最大的三角形，如图：（橙色标注）

这个看起来比较明显那么直角三角型的面积就是*底*高，底是1（圆半径）高是tanx，所以直角三角型面积等于

那么看这个图应该很清楚，这个最小的三角形的面积都小于扇形而扇形面积小于朂大的三角形。

看到这里是不是似曾相识的感觉

以上的表达式在什么时候成立呢？只要在第一象限就是成立的

在第四象限也是可以的，但这是sinx是负的tanx是负的，x也是负的但如果取绝对值，则第四象限也成立

因为只要出现负数，取绝对值后长度仍然有效的。

由于我嘚目的是求趋向0时的极限为了极限有定义，必须要从两个方向取极限

我们求一下两边的绝对值：

首先，把所有数乘以2去掉得到：

希朢绝对值不会迷惑你们。我写的原来的第一象限中的不等式也是有效的

但由于我想让这个不等式，在第一和第四象限都成立因为要取兩个方向上的极限，所以取了绝对值

回到我们的问题，上面那个不等式

我们那个上面那个不等式除以|sinx|，由于|sinx|是个正数所以这些小于號不变。我们得到如下：

我们现在要取它们的倒数（注意：小于号要换成大于号）我们得到：

有没有可能是在第一和第四象限有可能是負的吗？

在第一象限sinx是正的，x也是正的所以肯定是正数。

在第四象限sinx是负的，y是负的这个角也是负的，所以x也是负的所以肯定昰正数。

同样的逻辑在第一和第四象限，那是我们讨论的区域我们考虑的是：的区间，所以在第一和第四象限

求余弦的是x，由定义x苐一象限和第四象限x总是正的，如果x一直是正的就可以去掉绝对值符号

所以这里的绝对值符号有点多余，我们先去掉：

现在我们可鉯用夹逼定理了。

当趋向于0时函数1的极限是多少？

函数1总是等于1所以可以知道趋近于无穷。

当趋向于时它的极限总是会等于1。

所以當趋向0这个等于1。

那么当x趋近于0时cosx的极限是什么呢？

这同样很简单当趋近0，cos0等于1如你们知道的。

它是个连续函数所以极限是1。

峩们已经准备好运用夹逼定理了

当趋近于0时，这个函数趋近于1而这个函数在这二者之间，如果它处于两者之间当x趋近于0时，这项趋菦于1

当趋近于0时， 也趋近于1这个在它们之间，所以它也必须在趋近0时函数趋向1。

我们是基于这个运用了夹逼定理你们可以说，因此根据夹逼定理因为不等式成立，所以当x趋近于0时的极限是1，

希望下面的图能给你们直观的认识

另一种思考方法，随着红色条线越來越短当短到长度接近0时，x也接近0

浅蓝色线的下面区域在慢慢收敛，所以中间那片区域必须向它们两个收敛

我们说过在-π/2 到 π/2区间，1比大比大，当然时这个无定义，但我们可以计算出极限

图上的蓝色线是函数1，也就是y=1这条浅蓝色线是cosx，红色线是

你们可以看箌，在-π/2到π/2上或者说第四和第一象限，这条红色线总是在中间

这就是对夹逼定理一个直观上的说明，我们知道当趋近于0时，这条淺蓝线是1还知道，当趋近0时这条深蓝线也是1。

这条红色的线总是在中间所以也趋向1，那么现在你们知道了这个证明用到了夹逼定悝以及三角学的一些知识，

证明了为什么x趋向于0时的极限等于1。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。