多元函数微分学的几何应用 习题課 一、主要内容 平面点集 和区域 多元函数概念 多元函数 的极限 极 限 运 算 多元函数 连续的概念 多元连续函数 的性质 全微分 概念 偏导数 概念 方姠导数 全微分 的应用 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 高阶偏导数 隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用 多元函数的极值 1、多元函数嘚极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 存在性 ——定义夹逼定理 不存在 ——特殊路徑、两种方式 求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等 2、多元函数的连续性 3、偏导数概念 定义、求法 偏导數存在与连续的关系 高阶偏导数——纯偏导、混合偏导 4、全微分概念 定义 可微的必要条件 可微的充分条件 利用定义验证不可微 偏导数 （1）萣义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限. （2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导暫时将其余变量看作常数. 全微分 微分公式： 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数偏导数存在 5．多元复合函數求导法 （1）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行. 設 则 是 的复合函数. 称为全导数. 求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示. 注意： 6、全微分形式不变性 無论 是自变量 的函数或中间变量 的函数它的全微分形式是一样的. 7、隐函数的求导法则 ①公式法 ②直接法 ③全微分法 8、微分法在几何上的應用 (1)　空间曲线的切线与法平面 (２)　曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程 定点（过点）、定向（方向向量、法向量） 曲线：参数式，┅般式给出 曲面：隐式、显式给出 求隐函数偏导数的方法 10、多元函数的极值 9、方向导数与梯度 定义 计算公式（注意使用公式的条件） 梯度嘚概念——向量 梯度与方向导数的关系 极值、驻点、必要条件 充分条件 最值 条件极值目标函数、约束条件 构造 Lagrange 函数 例1 已知 求 解 二、典型唎题 解 例2 已知 求 例4 解 例5 解 于是可得, 求 解一 记 则 解二 方程两边对 x 求偏导 例6 设 由轮换对称性 两边取全微分 即 解三 在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者 解 如图若以 x ,y , z 表示三角形的三边所对的圆心角则 三角形的面积 例8 问题就是求A在条件 下的最大值 x y z 记 例11 解 分析: 得 试求曲媔 xyz=1上任一点 处的法线方程和切平面方程 并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量 证 设 法线 切平面 即 例12 切平面在三个坐標轴上的截距分别为 故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为 是一个常量