第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分嘚换元法和分部积分法理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法 §1.定积汾的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数y?f(x)∈C[a, b], 且y?f(x)>0. 由曲线y?f(x),x?a,x?b,y?0围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底?高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积?底?高. (3)

§2. 微积分基本公式 一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略） 二、积分上限的函數及其导数 设f(x)在[a, b]上连续, 则?x?[a, b], 有f(x)在[a, x]上连续. 从而在这里, 积分上限x与被积变量x的性质是不同的. 关. ?xaf(x)dx存在. ?baf(x)dx与a、b、f 有关，与x无?xaf(x)dx??f(t)dt与a、x、f 有关.

0與不定积分换元法相比较, 有两点不同: (1) 积分变量由x变为t时, 积分的上下限也要随之改变; (2) 求出关于t的原函数后无须回代成x的函数. 例2. ??21?2xx2dx?1 ??21?2xx2?1dxx?3?3? ?sect?4sect12?4secttantdt??2?(?1)dt???cost?x3312注：换元积分公式满足?(t)所要求的条件很重要，如： WYL高等数学 第五章定积分 9

2??4二、定积分的分部積分法 ?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??vu?dx WYL高等数学 第五章定积分 10

§4. 反常积分（广义积分） 定义定积分?baf(x)dx需满足如下条件: (1) f(x)有界 (2) f(x)只有有限个间断点 (3) a, b为确萣的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分. 一、无穷限的反常积分 定义 设f(x)?C[a,??), 取t>a, 若极限 tlimt????af(x)dx 存在,

定積分小结 一、基本概念 1．定积分 ?2．变上限积分函数 baf(x)dx?lim?f(?i)?xi ??0i?1nx?(x)??af(t)dt 3．广义积分 （1）无穷积分限 （2）无穷间断点 二、定积分的性质 1．定积分与被积分字母无关 ?bbbbaf(x)dx??af(t)dt??af(u)du??af(??)d??2．积分限的分割

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