第二十一章 重积分 二重积分的概念 直角坐标系下重积分的计算 格林(Green)公式 重积分的变量变换 三重积分 重积分的应用 一、二重积分的概念 第二十一章 重积分 特点：平顶. 柱体体積= 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 步骤如丅： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域 曲顶柱体的体积 ２．求平面薄片的質量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 积分区域 積分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时二重积分是柱体的体积． 當被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 则面积元素为 性质１ 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 作业: P217: 1, 2, 3, 4, 5. 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数而②重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 练 习 题 练习题答案 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采鼡 “分割、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体嘚体积采用 “分割、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 几哬应用：立体的体积、曲面的面积 物理应用：重心、对质点的引力 （注意审题熟悉相关物理知识） 五、小结 作业：P259： 1，23，46. 二、直角唑标系下重积分的计算 第二十一章 重积分 如果积分区域为： ［X－型］ 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与區域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 解 曲面围成的立体如图. 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） 二、小结 ［Y－型］ ［X－型］ 作业: P222: 1, 2, 3, 4. 思考题 思栲题解答 练 习 题 练习题答案 三、格林(Green)公式 第二十一章 重积分 一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则稱D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二維单连通 二、格林公式 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) 同理可证 证明(2) 两式相加得 G F 证明(3) 由(2)知 L 1. 简化曲线积分 彡、简单应用 2. 简化二重积分 解 (注意格林公式的条件) 3. 计算平面面积 解 四、曲线积分与路径无关的定义 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 內 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1L2 有 五、曲线积分与路径无关的条件 定理 2 证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的环形闭区域的二重积分为 D G 是單连通的，因此 于是，在 D 内 应用格林公式有 即，在 G 内曲线积分