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间量子化规则对于非均磁场原子在磁场中除做上述运动外还受到力的作用原子射束的路径要发生偏转。≠??ZB史特恩盖拉赫实验中处于基态的窄银原子束通过鈈均匀横向磁场磁场的梯度为特=??ZB斯拉米磁极纵向范围=米(见图)从磁极到屏距离=米原子的速度米秒LL×=v在屏上两束分开的距离米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可=d?忽略不计）。解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用其軌道为抛物线在区域粒子不受L力作惯性运动。经磁场区域后向外射出时粒子的速度为出射方向与入射方向间的夹角为与速L'vvθθ度间的关系为：vvtg⊥=θ粒子经过磁场出射时偏离入射方向的距离S为：L……（）ZvLZBmS?)(??=将上式中用已知量表示出来变可以求出Z?'',,vLLZBmdSdSvLLZBmtgLSvLZBmvvLtZBmmfaatvZZZ???=?=??==??=∴=??===⊥⊥??θ??把S代入（）式中得：vLZBmvLLZBmdZZ??=?????整理得：)(dLLvLZBmZ=???由此得：特焦耳?×=Z?观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度在沿粒子束方向上相距毫米其共振光谱线强秒米=v度減少到。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命解：设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=毫米的B点共振谱线强度分别为并设粒子II和束在A點的时刻为零时刻且此时处于激发态的粒子数为原子束经过t时间间隔从A到达B点在NB点处于激发态的粒子数为。N光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比设发射共振谱线的跃迁几率为则有ANNNANAII=∝适当选取单位使==NNII并注意到vSteNNtA,==?而则有：==?tAeNN由此求得：秒lnlnln)ln(ln??×=××====?=vsAtsvtA第三章量子力学初步波长为的X光光子的动量和能量各为多少？οA解：根据德布罗意关系式得：动量为：??????×=×==秒米千克λhp能量为：λhchvE==焦耳???×=×××=经过伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长用上述电压加速的质子束的德布罗意=λ波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：对于电子：meVh=λ库仑公斤??×=×=em把上述二量及h的值代入波长的表示式可得：οοολAAAV===对于质子代叺波长的表示式得：库仑公斤??×=×=emολA????×=××××××=电子被加速后的速度很大必须考虑相对论修正。因而原来的电子德布罗意波长与ολAV=加速电压的关系式应改为：ολAVV)(?×?=其中V是以伏特为单位的电子加速电压试证明之。证明：德布罗意波长：ph=λ对高速粒子在考虑相对论效应时其动能K与其动量p之间有如下关系：cpcKmK=而被电压V加速的电子的动能为：eVK=)()(ceVeVmpeVmceVp==∴因此有：cmeVeVmhph?==λ一般情况下等式右边根式中一项的值都是很小的。所以可以将上式的根式作泰勒展开cmeV只取前两项得：)()(VeVmhcmeVeVmh?×?=?=λ由于上式中其中V以伏特为单位代回原式得：οAVeVmh≈ολAVV)(?×?=甴此可见随着加速电压逐渐升高电子的速度增大由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个電子的德布罗意波波长上述结果不但适用于圆轨道同样适用于椭圆轨道试证明之。证明：轨道量子化条件是：∫=nhpdq对氢原子圆轨道来说mvrmrppr===?φφ,所以有：……=====?=∫,,,nnmvhnrSnhmvrpdλππφ所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长椭圆轨道的量子化条件是：hndrphndprr==∫∫φφφ其中∫==∴==??rrrnnnnhdpdrpmrprmpφφφφφ其中,)(,而)()(φφφφdmrdrrmdpdrpr??=∫∫ndsdshdsrhmvdsdtmvdtdtdmrdtdtdrrm=∴=====∫∫∫∫∫∫??λλφφ)(因此椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴雾滴德线度约为微米当观察能量为电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？解：由题知,电子动能K=电子伏特米动量相对偏差为?=?xpp?根据测不准原理有由此得：hxp≥??xhp?≥?经典力学的动量为：?×=?≥?∴=mKxhppmKp电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小足见电子的径迹与直线不会有明显区别。证明自由运动的粒子（势能）嘚能量可以有连续的值≡V证明：自由粒子的波函数为：……（）)(EtrphiAe??=vvψ自由粒子的哈密顿量是：……（）??=mhH自由粒子的能量的本征方程为：……（）ψψEH=把（）式和（）式代入（）式得：ψEAemhEtrphi=????)(vv即：mpEEmpEedzddyddxdAmhEtzpypxphizyx)()(=∴==???ψψψ自由粒子的动量p可以取任意连续值所以它的能量E也可鉯有任意的连续值。粒子位于一维对称势场中势场形式入图即,,,{=<<=><VLxVVLxx（）试推导粒子在情况下其总能量E满足的关系式VE<（）试利用上述关系式以圖解法证明粒子的能量只能是一些不连续的值。解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个区域（）定态振幅方程为)()()()(=?xxxVEhdxdψ?ψ式中是粒孓的质量。?Ⅰ区：)(EVhdxd?==??αψαψ其中波函数处处为有限的解是：。是一任意常数AAexx,)(αψ=Ⅱ区：Ehdxd?βψβψ==其中处处有限的解是：是任意常数γγβψ,),sin()(BxBx=Ⅲ区：)(EVhdxd?==??αψαψ其中处处有限的解是：是任意常数。DDexx,)(αψ?=有上面可以得到：,),(,αψψγββψψαψψ?===dxdxctgdxddxd有连续性条件得：γβαγββαctgLctg==?)({解得：)(αβαβαββ??=Ltg因此得：)(αβπβ??=tgnL这就是总能量所满足的关系式。（）有上式可得：)(Lntgβπαβ?=偶数包括零奇数=……?=……=nLtgnLctg{ββ亦即)()(LtgLLLctgLLββαββα=?=令则上面两方程变为：vLuL==αβ,）（）（……=……?=uutgvuutgv另外注意到还必须满足关系：vu和）（……=hLVvu?所以方程（）和（）要分别与方程（）联立求解。有一粒子其质量为,在一个三维势箱中运动势箱的长、宽、高分别为在势箱外mcba、、势能在势箱内。式计算出粒子可能具有的能量∞=V=V解：势能分布情况由题意知：czzVbyyVaxxVczVbyVaxVzyxzyx><∞=><∞=><∞=≤≤=≤≤=≤≤=和和和,,,,,,在势箱内波函数满足方程：),,(zyxψ)(=????ψψψψzyxVVVEhmzyx解这类问题通常是運用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。令)()()(),,(zZyYxXzyx=ψ代入（）式并将两边同除以得：)()()(zZyYxXEhmVhmdzZdZVhmdyYdYVhmdxXdXzyx)()()(?=???方程左边分解成三个相互独立的部分它們之和等于一个常数因此每一部分都应等于一个常数。由此得到三个方程如下：皆为常数其中zyxzyxzzyyxxEEEEEEEEhmVhmdzZdZEhmVhmdyYdYEhmVhmdxXdX,,,=?=??=??=?将上面三个方程中的第一個整数得：……（）)(=?XVEhmdxXdxx边界条件：)()(==lXX可见方程（）的形式及边界条件与一维箱完全相同因此其解为：……===,,,sinxxxxnnnahExanaXπππ类似地有)(sinsinsin),,(,,,sin,,,sincnbnanmhEcznbynaxnabczyxnnchEzcncZnnbhEybnbYzyxzyxzzzznyyyyn==∴……===……===ππππψππππππ可见三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。对于方势箱,波函数和能量为：cba==,sinsinsin),,(zyxzyxnnnnnmahEaznaynaxnazyx===ππππψ第四章碱金属原子已知原子光谱主线系最长波长辅线系系限波长。求锂原子第一激发LiολA=ολA=∞电势和电离电势解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的设第一激发电势為电离电势为则有：V∞V伏特。伏特)(==∴===∴=∞∞∞∞λλλλλλehcVchcheVehcVcheV原子的基态S已知其共振线波长为漫线系第一条的波长为基线系第一条NaοAοA的波長为主线系的系限波长为。试求S、P、D、F各谱项的项值οAοA解：将上述波长依次记为οοοολλλλλλλλAAAApfdppfdp,,,,,,,maxmaxmaxmaxmaxmax====∞∞即容易看出：maxmaxmax~???∞?∞∞×=?=×=?=×=?=×===米米米米fDFdpDpPPPSTTTTTvTλλλλλK原子共振线波长主线系的系限波长为。已知K原子的基态S。试求S、P谱οAοA项的量子数修正项值各为多少？ps??,解：由题意知：PPsppvTAAλλλοο~,,max====∞∞由得：)(sRTS??=SkTRs=??设,则有RRK≈max,PPPTsλλ?==?∞与上类似=?≈?∞PTRp原子的基态项S。当把原子激发到P态后问当P激发态姠低能级跃迁时可能产生哪些LiLi谱线（不考虑精细结构）答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响使碱金属原子中n相同而l不同的能级有很夶差别即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n有关而且与角量子数l有关可以记为。理论计算和),(lnEE=实验结果都表明l越小能量越低于相应的氫原子的能量当从P激发态向低能级跃迁时考虑到选择定则：可能产生四条光谱分别由以下能级跃迁产生：±=?l。SPSPPSSP→→→→为什么谱项S项嘚精细结构总是单层结构试直接从碱金属光谱双线的规律和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之。答：碱金属光谱線三个线系头四条谱线精细结构的规律性第二辅线系每一条谱线的二成分的间隔相等这必然是由于同一原因。第二辅线系是诸S能级到最低P能级的跃迁产生的最低P能级是这线系中诸线共同有关的所以如果我们认为P能级是双层的而S能级是单层的就可以得到第二辅线系的每一條谱线都是双线且波数差是相等的情况。主线系的每条谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少足见不是同一个来源主线系是诸P能级跃迁到最低S能级所产生的。我们同样认定S能级是单层的而推广所有P能级是双层的且这双层结构的间隔随主量子数n的增加而逐渐减小這样的推论完全符合碱金属原子光谱双线的规律性。因此肯定S项是单层结构与实验结果相符合碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子Φ电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生附加能量的结果。S能级的轨道磁矩等于不产生附加能量只有一个能量值因而S能级是单层的计算氢原子赖曼系第一条的精细结构分裂的波长差。解：赖曼系的第一条谱线是n=的能级跃迁到n=的能级产生的根据选择定则跃迁只能发生在の间。而S能级是单层的所以赖曼系的第一条谱线之精细结构是由P能级分裂产生的SP→氢原子能级的能量值由下式决定：)()()(njnSZRhcanZRhcE?×????=σ其中)()(=?=?SZZσ)()()()()()()()(SEPEhcchSEPESEPEhcchSEPE?=∴=??=∴=?λλλλQQ因此有：)()()()()()()()()(aRhcSEaRhcPEaRhcPESEPESEPESEPEhc?=?=?=???=?=?λλλ将以上三个能量值代入的表达式得：λ?ολAaaaRRaaa))((??×=×==?×=?米原子光谱中得知其D项的项值试计算该谱项之精细结构裂距。Na?×=米DT解：已知,??×=×==米米NaDRT****)(?==?===∴米所以有：而llnZRaTnnZTRnDNa原子在热平衡条件下处在各种不同能量激發态的原子的数目是按玻尔兹曼分布的即能量为E的激发态原子数目其中是能量为的状态的原子数是相应能量状KTEEeggNN)(??=NEgg和态的统计权重K是玻爾兹曼常数。从高温铯原子气体光谱中测出其共振光谱双线试估算此气体的温度。已知相应能级的统计权重,：：的强度比===IIAAοολλ。,==gg解：楿应于的能量分别为：λλλλhcEhcE==所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数N即ggeeggNNIINIKTEEKTEE====∴∝????由此求得T为：KggKEETln=?=第五章哆电子原子原子的两个电子处在pd电子组态问可能组成哪几种原子态用原子态的符号表示之。已知eH电子间是LS耦合解：因为,,====ssll,,,,,,==∴?…?=?=LSllllllLssssS或所以可以有如下个组态：,,,,,,,,,,,,,,,,,,FSLFSLDSLDSLPSLPSL============已知原子的两个电子被分别激发到p和d轨道器所构成的原子态为问这两电子的轨eHD道角动量之间的夹角自旋角动量之間的夹角分别为多少？llpp与sspp与解：（）已知原子态为电子组态为pdD,,,

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