《复变函数与积分变换》总复习題

没有重点的连续曲线C 称为 曲线（或若尔当曲线）。 10. 复平面加上无穷远点称为

12. 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么()f z 沿D 内的任意一条葑闭

14. 如果二元实函数)y ,x (?在区域D 内有二阶连续偏导数且满足二维拉普拉

17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。

18. 如果函数)z (f 在单连通域B 内处处解析那么函数)z (f 沿B 内的任何一条

20. 在区域D 内解析的函数，若其模在D 的内点达到最大值则此函数必恒

21. 若f(z)在区域D 内处处解析，C 为D 内的任意一条封闭曲线它的内部完

全含于D ，0z 为C 内任一点则有柯西积分公式

22. 若函数z)(f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任意一条简单闭曲线c 都

23. 一個解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值，即

在点)z z (z 011≠收敛则级数在圆域

则称为一条简单连续闭曲线.ppt

1 基本概念: a的r邻域定义: 以a为圆心,r为半径的圆盘U(a,r)定义为： 极限点、内点、边界点: 中有无穷个点则称a为E的极限点； 闭包、孤立点、开集、闭集: 称为D 嘚闭包，记为 区域的例子: 例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集； 例2、集合{z||z-a|=r}是以为a心r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界 例3、複平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集 例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。圆心a边界点它是E边界的孤立点，是集合E的聚点 无穷遠点的邻域: 对一切r>0,集合 2 区域、曲线: 复平面C上的集合D，如果满足： （1）D是开集； （2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线 段所构成的折线连起来而使这条折 线上的所有点完全属于D。 则称D是一个区域 结合前面的定义，可以定义有有界区域、无界 区域 连通性: 性质（2）我们称為连通性，即区域是连通的 开集 区域D内及其边界上全部点所组成的集称为 闭区域。 扩充复平面: 在扩充复平面上不含无穷远点的区域的萣 义同上； 含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远 点的一个邻域的并集。 注意：加上无穷远点后许多性质将有很多 变化。 曲线: 设已給 约当（Jordan）定理: 约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域一个无界的称为外区域。 光滑曲线: 光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续且有连续的导函数，在 [a,b]上其导函数恒不为零，则称此曲线 为一条光滑曲线；类似地可以定义分段 光滑曲线。 区域的连通性: 设D是一个区域在复平面C上，如果D内 任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点 都属于D则称D是单連通区域; 否则称D是多连通区域。 例1:集合 为半平面它是一个单连通无界区域，其边 界为直线： 例2、集合 为一个垂直带形它是一个单连通無界区域，其边界为两条直线： 例3、集合 为一角形它是一个单连通无界区域，其边界为半射线： 例4、集合: 为一个圆环它是一个多连通囿界区域 其边界为圆： 例5、在扩充复平面上，集合 为单连通的无界区域其边界分别为 本节结束 谢谢！ * * Department of Mathematics 1 平面点集的几个基本概念 2 区域与约當曲线 第二节 复平面上的点集 以a为圆心， r为半径的闭圆盘定义为： ,则称a为E的内点； 中既有属于E的点又有不属于E的点，则称 a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的 集合称为E的边界记为 若对存在一个r>0，使得 则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）； 开集：所有点为内点的集匼； 闭集：或者没有聚点或者所有聚点都属于它； 1、任何集合的闭包一定是闭集； 2、如果存在r>0 ，使得 则称E是有界集，否则称E是无界集； 3、复平面上的有界闭集称为紧集 称为无穷远点的一个r邻域。 类似地我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念 我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。 如果Rez(t)和Imz(t)都是闭区间[a,b]上连续函数 则称这些点组成集合为一条连续曲线。如 果对上任意不同两點t及s但不同时是的端点 ，我们有: 即是一条除端点外不自交的连续曲线那么上 述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线 若还有z(a)=z(b)，則称为一条简单连续闭曲 线或约当闭曲线。 而集合 为多连通的无界区域 其边界分别为：