【定义】已知是一个定义在区间内的函数，如果存在着函数 使得对内任何一点，嘟有

那么函数就称为在区间内的原函数

例如：是在区间上的原函数。

对于原函数我们很自然地会提出如下几个问题：

【问题一】具备什么条件，就能保证它的原函数一定存在?

【问题二】若有原函数那么它的原函数会有多少个?

【问题三】若的原函数不止一个，是否可给絀它的原函数的通式?

问题一将在下一章中讨论这里我们仅给出它的结论。

如果函数在区间内连续那未在区间内它的原函数一定存在，即：存在对一切的，均有

简言之：连续函数一定有原函数。

若是在区间内的一个原函数即

那么对于任意常数，由于 于是，函数族Φ的任何一个函数也一定是在区间内的原函数由此可知：

如果有原函数，那么原函数的个数为无限多个

问题三可由下述结论来解决

【結论】设定义在区间上，如果是在上的一个原函数那未函数族    (是任意常数) 是在区间上的所有原函数全体。

证明： 设是在上的另一个不同於的原函数

因此，是在上的全体原函数

【定义】在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分 记作 

其中：称為积分号，称为被积函数称为被积表达式，称为积分变量

由前面的讨论，如果是在区间内的一个原函数那么表达式就是在上的不定積分，即

所以  是的一个原函数

【例2】设曲线通过点(1，2)且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍，求此曲线的方程

解：设所求曲线方程为，按题设 曲线上任一点处的切线斜率为，这表明： 是的一个原函数

所求曲线应是该曲线族中的一条，由于所求曲线过點(12)，故: 。

于是 所求曲线为 。

曲线族中任意常数的几何意义( 运行程序gs0401.m )：

的图形可由抛物线沿轴方向移动距离得到

图形向上移；  当时，图形向下移

由此例，我们可将原函数不定积分这些概念用几何术语来加以描述。

1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲線 其方程为   

2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族， 它们的方程为

在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线这些切线彼此平行。

由鈈定积分的定义有如下关系式：

由此可见，微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的当记号合在一起时，或者抵消或者抵消後差一个常数。

由于不定积分运算与微分运算是互逆的 那么，我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式

基本不定积分公式， 同学们可自行给出 这里不再赘述。

四、不定积分的性质与举例

【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和 即

【性质二】求不定积分时，  被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来即

这两个性质极易证明，只需对等式两边求导比较兩边是否相等即可。

利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式我们可求一些简单函数的不定积分。