首先这问题的结论显然是错误的

右→左：如果右边的存在，x能以任意的方式趋近于x0那么当然对于ξ的序列，ξ的序列的极限也是x0，根据海涅定理二者相等（导数极限定理）

左→右：如果左边的存在，左边只是一种特殊的情况只是保证了拉格朗日对应的ξ可以趋近于x0，不能保证其他邻域点也能成立

所以，综上所述导数存在不能蕴含导数连续。

那么问题来了，什么条件可以蕴含导数连续呢

1. 形式: ζ-δ语言, ζ-N语言来描述
1. 收敛數列的唯一性, 收敛数列的有界性, 收敛数列的保号性.

• 函数的定义, 自变量, 因变量, 定义域, 值域, 对应法则(f).
• 基本初等函数和初等函数概念和性质.
1. 有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性.
• 函数极限的定义和性质:
  1. 函数极限的唯一性, 函数极限的有界性, 函数极限的局部保号性.
1. 两个无穷小的和是无穷小.
• 有界函數与无穷小的乘积是无穷小.
1. 复合函数的极限运算法则.
• 极限存在准则, 两个重要极限:
  1. 夹逼准则, 单调有界数列必定有极限.
1. 无穷小比较的种类: 高阶無穷小, 低阶无穷小, 同阶无穷小, k阶无穷小, 等价无穷小.
2. 常见的等价无穷小的例子. sinx~x….
3. 等价无穷小求极限的使用条件限制: 必须为乘除, 加减不能用.
• 函數的连续性和间断点, 左连续, 有连续,
• 间断点的类型, 第一类(2种), 第二类(多种).常见的间断点.
• 初等函数的连续性, 函数的和差积商的连续性, 复合函数和反函数的连续性.
1. 最值定理. 有界定理, 介值定理和零点定理.