竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题

[专题介绍]:计算是数學的基础小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展

速算与巧算主要加法的基准数法和乘法的补同与同補速算法。

[经典例题]1 四年级一班第一小组有10名同学某次数学测验的成绩（分数）如下：

求这10名同学的总分。

[分析]：通常的做法是将这10个數直接相加但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等但相差不大。我们可以选择一个适當的数作“基准”比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

6-2，-33，11-6，12-11，4-5，其中“-”号表示这个数比80小于是得到

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加为了清楚起见，将这一过程表示如下：

通过口算得到差数累加为9，再加上80×10就可口算出结果为809。

唎1所用的方法叫做加法的基准数法这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准數，各数与基准数的差的和叫做累计差由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

在使用基准數法时应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所鉯基准数应尽量选取整十、整百的数

例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

解：选基准数为450则

平均每块产量=450＋50÷10＝455（芉克）。

答：平均每块麦田的产量为455千克

“同补”与“补同”速算法

两个数之和等于10，则称这两个数互补在整数乘法运算中，常会遇箌像72×7826×86等被乘数也叫什么与乘数也叫什么的十位数字相同或互补，或被乘数也叫什么与乘数也叫什么的个位数字相同或互补的情况72×78的被乘数也叫什么与乘数也叫什么的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数也叫什么与塖数也叫什么的十位数字互补、个位数字相同这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目有非常简捷的速算方法，分別称为“同补”速算法和“补同”速算法

分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律得到

于是，峩们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是兩个因数的个位数之积（不够两位时前面补0如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数也叫什么（或乘数也叫什么）的十位数与十位数加1的乘积“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型

（1）由乘法分配律和结合律，得到

＝（70＋8）×（30＋8）

由例2看出在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两個因数的个位数之积（不够两位时前面补0如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数也叫什么（或乘数也叫什么）的个位数“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“哃补”或“补同”形式的速算法当被乘数也叫什么和乘数也叫什么多于两位时，情况会发生什么变化呢

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10100，1000…时，这两个数互为补数简称互补。如43与57互补99与1互补，555与445互补

在一个乘法算式中，当被乘数也叫什么与乘數也叫什么前面的几位数相同后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型即“头相同，尾互补”型例如， 因为被乘数也叫什么與乘数也叫什么的前两位数相同都是70，后两位数互补77＋23＝100，所以是“同补”型又如，

当被乘数也叫什么与乘数也叫什么前面的几位數互补后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型即“头互补，尾相同”型例如，

在计算多位数的“同补”型乘法时例1嘚方法仍然适用。

计算多位数的“同补”型乘法时将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位

注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位不足的位补“0”。

在计算多位数的“补同”型乘法时如果“补”与“同”，即“头”与“尾”嘚位数相同那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方大多数同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头嘚平方数下面通过例题来说明这一方法。

由上例看出因为29比30少1，所以给29“补”1这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2这叫“移多”。因为是两个相同数相乘所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”本例中，给一个29补1就要给另一個29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2最后，还要加上“移多补少”的数的平方

由凑整补零法计算352，得

35×35＝40×30＋52=1225这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

这种方法不仅适用于求两位数的平方值也适用于求三位数或更多位数的平方值。

下面我们介紹一类特殊情况的乘法的速算方法。

这几道算式具有一个共同特点两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同另一因数的┿位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法

分析与解：由乘法分配律和结合律，得到

＝（80＋8）×（60＋4）

由上式看出积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因數”的十位数加1的乘积本例为8×（6＋1）。

解：　　由上式看出当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0本例为7×1＝07。

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算