. . 例24 求 解 由上面的三个例子知道洳果被积函数是指数为正整 数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑 用分部积分法并选择幂函数为 经过一次积分，就 可以使幂函数的次数降低一次． 例25 求 解 . 例26 求 解 . 例27 求 解 总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数 和反三角函数或对数函数的乘积,就可以栲虑用分部积分 法,并选择反三角函数或对数函数为 一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积, 在多数情况下,可按下列顺序: 反三角函数、对数函数、 幂函数、三角函数、指数函数将排在前面的那类函 数选作 ，后面的那类函数选作 . 下面两例中使用的方法也是比较典型的. 例28 求 解 等式右端的积分与原积分相同,把它移到左边与原积分 合并,可得 . 例29 求 解 所以 * . §5.2 求不定积分的几种基本方法 一、 第一类换元法（凑微分法） . 上一页 目录 下一页 退 出 先看下例： 例1 求 解 设 则 . 一般地如果 是 的一个原函数，则 而如果 又是另一个变量 的函数 且 可微那么根据复合函數的微分法，有 由此得 . 是具有原函数 于是有如下定理： 定理1 设 可导则 有换元公式 （5-2） 由此可见，一般地如果积分 不能直接 利用利用基夲积分公式计算，而其被积表达式 能表示为 的形式且 较易计算，那么可令 . 代入后有 这样就得到了 的原函数.这种积分称为第一类换元法. 由於在积分过程中先要从被积表达式中凑出一个积分 因子 因此第一类换元法也称为凑微分法. 例2 求 解 . 再以 代入，即得 例3 求 解 被积函数 可看成 與 构成的复合 函数虽没有 这个因子，但我们可以凑出这个因子： 如果令 便有 . ， 一般地对于积分 总可以作变量代换 ，把它化为 . 例4 求 解 令 则 . ， 例5 求 解 令 ,则 ,有 凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在 比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤． . 例7 求 例6 求 解 解 . 解 例8 求 . 例9 求 解 类似地可得 . 例10 求 解 . 例11 求 解 类似地可得 . 类似地可得 例12 求 解 例13 求 解 . 第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) . 二、 第②类换元法 第一类换元法是通过变量代换 将积分 化为积分 ．第二类换元法是通 过变量代换 ，将积分 化为积分 在求出后一个积分后,再以 反函数 代回去,这样换元积分公式可表示为: 上述公式的成立是需要一定条件的首先等式右边 的不定积分要存在，即被积函数 的 . 有原函数；其佽, 的反函数 要存在.我们有下面的定理． 定理2 设函数 连续, 单调、可导并且 ，则有换元公式 (5-3) 下面举例说明公式(5-3)的应用． . 例14 求 解 遇到根式中是┅次多项式时可先通过适当的换 元将被积函数有理化，然后再积分． 令 ,则 故 . 例15 求 解 令 ，则 ,则有 例16 求 解 为使被积函数有理化．利用三角公式 令 则它是 的单调可导函数 具有反函数 ,且 . 因而 例17 求 解 令 则 于是 . 其中 例18 求 解 被积函数的定义域为 ,令 ，这时 故 . 其中 ,当 时,可令 类似地可得到楿同形式的结果． 以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式称之为 三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数 的有理因式．一般地若被积函数中含有 时，可 作代换 或 ；含有 时可作 代换 ；含有 时，可作代换 . 利用第二类换元法求不定积分时还经常用到倒代換 即 等． 例19 求 解 令 ,则 因此 当 时， ,有 . 当 时 有 综合起来，得 在本节的例题中有几个积分结果是以后经常会遇到 的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外再添加下面几个(其中 常数a＞0). . (14) (15)