函数的值域是［－7＋∞）＃ 这裏用到了配方法求函数的值域。 解法二：二次函数 y = x2 - 6x + 2 是对称轴为 x = 3开口向上的抛物线，故 当 x = 3 时函数有最小值 f(3)＝－7。 ∴ 函数的值域是［－7＋∞） 这里运用了二次函数的图象和性质求值域。 一般地求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域例如， 在例 1 中将题目改为：y = sin2x + 2 t∈ - 1, 1] [ .2 它的图象是抛物线的一段（如图） ∴ 函数的值域是［－39］＃ 在此方法中用到了数形结合的方法。 ⒉ 反函数法 由互为反函数的兩个函数具有的性质可以通过求反函 数的定义域来确定已知函数的值域。 例 2、求函数 y =

x?2 的值域 3x ? 4 x?2 解：由于函数 y = 的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其 3x ? 4

∴ 函数的值域为{ y | y≠ 且 y∈ R}＃ 说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来用此方法求值域只 用于形如 y =

的方法（见方法 5） 。 ⒊ 判别式法 一般地求形如 y =

关于 x 的一元二次方程： f(y)x2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判別式 Δ＝g2(y) 4f(y)ψ(y)≥0 求出 y 的取值范围，从而得出原函数的值域但要注意几点： ⑴ Δ≥0 中，应考虑“＝”能否成立； 在 ⑵ 由于在变形过程中涉及箌去分母故应考虑函数的定义域是否为 R； ⑶ f(y)≠0，应验证 f(y)＝0 的情况 否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。 例 3、求函数 y =

⒋ 换え法 当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时为了沟通已 知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量实行 这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质， 发现解 题方向换元法是一种重要的数学值域的求法解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联 想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式） 。在 中学數学值域的求法问题中常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代

这里用到了三角代换。 ⒌ 单调性法 利用所学基本初等函数的单调性再根据所给定义域来确定函数的值域与 最值，在求函数的值域与最值中是一种比较简捷、巧妙的方法。 例 6、求函数 y =

本题鈳用反函数法求解（见例 2） 下面我们用单调性法来求解。 解：

∴ 函数的值域为［3－4＋∞）＃ ⒍ 不等式法 运用均值不等式可解决：如果 n 個正数的积（或和）为常数，则当且仅当 这 n 个相等时它们的和（或积）有最小（或最大）值。在此由于篇幅有限， 不再举例说明可參看例 4。 ⒎ 数形结合法 数形结合是中学数学值域的求法中的一种重要的数学值域的求法思想方法数是形的抽象概括， 形是数的直观表现华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微数 形结合百般好，隔离分家万事休这种方法不仅仅体现在数学值域的求法的其咜领域中， 在求函数的值域与最值时也有良好的反映 例 8、已知 x+y+1=0,则 ? x ? 1? ? ? y ? 1? 的最小值是

从而减少变量，再运用有关函数的性质必可求解但是，想潒 得出 这种方法的计算量是不小的。 我们注意到 ? x ? 1? ? ? y ? 1?

可以看作直线 x+y+1=0 上的点(x, y)与点（11）间的距离，从 而可以简捷求解如图。 ∴ = min

|z|min= 分析：本题洳果用单纯的代数方法求解，需设 z = x + yi代入条件，用定义 求解比较繁琐，不易求得但注意到 | z ? 2 ? 2i |? 1的几何意义：复数 z 表示 以点（－ 2 ，－ 2 ）为圆惢以 1 为半径的圆面（包括边界） ，如图 由图观察，易知 |z|max=3, |z|min=1