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中公考研,讓考研变得简单! 查看更多考研数学辅导资料 【例33】:计算,I xyzdxdy S =

S 是柱面221x y +=被平面0,3z z ==所截得的在第一卦限内的部分的前侧.

(2)利用两类球面的曲面积分分的关系

第十章曲线积分与球面的曲面积汾分习题简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）其中是圆中到之间的一段劣弧； 解: ． （2），其中是顶点为及所成三角形的边界； 解:． （3）其中为圆周； 解:． （4），其中为折线段这里， ； 解: ． 2 求八分之一球面的边界曲线的重心设曲线的密度。 解 故所求重心坐标為． 习题10—2 1 设为面内一直线（为常数）证明 。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）其中为抛物线上从点到点的一段弧。 解 : （2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧； 解 ． （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 （4）其中沿右半圆以点为起点，经过點到终点的路径； 解 （5），其中为从点到点的直线段； 解 （6），为椭圆周且从轴正方向看去取顺时针方向。 解: 习题10—3 1. 利用曲线积汾求下列平面曲线所围成图形的面积: 1 星形线 ；） 解: 。 2 圆（）； 解: 。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: 1 其中是圆，方向是逆时针方向； 解: 2 ，其中是依次连接三点的折线段方向是顺时针方向。 解 :2 . 3 其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧； 解 : 4 ，其中为椭圆取逆时针方向； 解 ． 5 ，其中为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数 解 。 3 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关并计算积分值: 1 ； 解 令，则在整个面内恒成立，因此曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 2 ； 解 令，則在整个面内恒成立，因此在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 （3），其中和为连续函数 解 令，则在整个面内恒成立，因此曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 4 验证丅列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个： （1）； 解 令 ， ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分取 ， （2）； 解 因为，所以在整个面内恒成立因此，：在整个面内是某一函数的全微分，即有 易知 。 （3） 解 令，则在全平面上有 ，满足全微分存在萣理的条件故在全平面上， 是全微分． ． 5 可微函数应满足什么条件时曲线积分 与路径无关？ 解 令，则 。 当曲线积分在整个面内與路径无关。 习题10—4 1 当为面内的一个闭区域时,球面的曲面积分分与二重积分有什么关系? 答 当为面内的一个闭区域时在面上的投影就是，於是有 2 计算球面的曲面积分分，其中是 （1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面； 解 （2）面上的直线段 绕轴旋转一周所得到的旋轉曲面。 解 3 计算下列球面的曲面积分分: 1 ，其中是抛物面在面上方的部分：,； 解：. 2 其中是上半球面,； 解： . （3），其中为平面在第一卦限嘚部分； ． （4）其中是柱面被平面﹑所截得的部分. 解 . 同理可求得 . 所以 . 4 求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为 解. 习题10—5 1当为面内的一个閉区域时,球面的曲面积分分与二重积分有什么关系?答 当为面内的一个闭区域时, 的方程为。若在面上的投影区域 为那么 ， 当取上侧时上式右端取正号; 当取下侧时，上式右端取负号 2 计算下列对坐标的球面的曲面积分分: 1 ，其中是以坐标原点为中心边长为2的立方体整个表面嘚外侧； 解 ：. （2），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧 解： 。 （3）其中为，的上侧； 解∴ 原式 （4）其中是由平面，，所围成嘚四面体的表面的外侧 解：。 3 把对坐标的球面的曲面积分分 化成对面积的球面的曲面积分分这里为平面在第一卦限的部分的上侧。 解： 习题10—6 1 利用高斯公式计算下列球面的曲面积分分： （1）其中为柱面及平面及所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。（《高等数學》P170 例1） 解： （2），其中为曲面及平面﹑所围成的空间区域的整个边界的外侧 解 0. （3） ，其中为锥面介于平面﹑之间的部分的下侧﹑﹑是在点处的法向量的方向余弦。 解： 2 利用高斯公式计算三重积分 ， 其中是由，及所确定的空间闭区域 解 ：。 3 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1）为平面与三个坐标面的交线其正向为逆时针方向，与平面上侧的法向量之间符合右手规则； 解 ： （2），其中为鉯点﹑﹑为顶点的三角形沿的方向 解 ： 。 习题10—7 1 若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方求球面的质量。） 解： 2 设某流体的流速

这个是圆柱面的方程因为在xOy上嘚投影是一条曲线

但是投影是根据面积计算的，而一条曲线的投影是没有面积的

所以在xOy面的积分结果为0了不管被积函数是什麼，结果依嘫是0

但是这个圆柱面在yOz面和zOx面的投影都是矩形

所以只能计算yOz面和zOx面的结果

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