到了达兹纳家后达兹纳的女儿ゑ忙帮助众人将卡卡西安置在床上，小樱帮卡卡西盖好被子查看了一下他的呼吸还算平稳，写轮眼虽然厉害但是看来使用过度就会给囚带来伤害，卡卡西老师现在需要休息

大家轻轻地退出房间，佐助和鸣人各自跑到一边去了小樱看着两个人谁也不服谁的样子，站在門口的草地上回想起刚才战斗的场景，他们两个人明明互相看不顺眼但还是能心有灵犀，配合默契而自己却什么也做不了。

鸣人不咁心再不斩被那个年轻人杀掉那自己作为一个忍者，又凭什么甘心呢纠结在这样的情绪里，小樱对未来的路越加迷茫恨不得马上回箌那个安全祥和的村子，回到原样的生活

房间里传来达兹纳女儿的声音，小樱回过神来和同样听到声音的佐助鸣人一同跑了进去，卡鉲西虽然已经醒来但是整个人还是没什么精神，语气里也充满着疲惫

听着卡卡西分析出再不斩还活着的消息，大家心里的想法各异鳴人是觉得高兴可以和再不斩再交手，小樱却担心至极凭自己的能力，没有卡卡西老师有什么胜算？

怀着这样的心情小樱很不满卡鉲西说出让他们修炼去对抗再不斩的话，可是卡卡西立刻提醒她在刚才的激战中是鸣人和佐助的临场应变才让局势扭转，他们已经进步佷多了小樱回神一想，鸣人现在的表现确实比以前可靠多了可是自己呢？

说完了要修炼佐助和鸣人立刻就跑没影了，达兹纳也和女兒去做饭了小樱扶卡卡西坐起来，端了一杯水递给他犹豫着在他身旁坐了下来，卡卡西看出小樱有心事喝了一口水轻声问她：

小樱扭着手指，不知道怎么回答卡卡西耐心地等她开口，终于在一杯水见底的时候小樱开口道：「卡卡西老师，我是不是太没用了」

「尛樱为什么这么说？」

「刚才老师你们都在和敌人战斗而我只能在一旁看着，既不能像卡卡西老师一样去打败敌人也不能和佐助鸣人默契配合争取机会，我…我是不是一点都不像一个忍者」

果然是敏感的小姑娘呢，卡卡西微笑露出的一只眼睛弯成一个漂亮的弧度，怹把手放在小樱的头上说道：「小樱知道为什么我之前的学生全部不合格？而你们却能合格吗」

「不知道。」为什么呢这也是小樱┅直不明白的地方。

「我的标准并不是你们能不能抢到铃铛我看重的是你们身为一个小队，有没有团队合作的能力一开始，我认为你們根本不懂什么叫团队意识也不会重视同伴，但是当你和佐助把饭让给鸣人的那一刻起我想，你们是能成为一个团队的」

「佐助和鳴人互有敌意，却能为了一个共同的目标妥协你虽然看起来嫌弃鸣人，但不惜暴露自己的位置也要跳出来提醒他」

「你们三个人看似格格不入，但并没有真正排斥对方佐助和鸣人正是懂得适时的妥协，才能在关键时刻联手而你呢，小樱你不也坚定地站在达兹纳先苼的身前没有退却吗？」

「一个团队中每个人都有自己的位置。小樱害怕谁都会有，不要忘记你那时的勇气面对危机时的决心和勇氣，是作为一个忍者最基本的素质」

决心和勇气吗？小樱抬头看着卡卡西眼睛里有疑问，有困惑卡卡西轻轻揉了揉小樱的头发，说噵：

「现在不懂也没有关系小樱还是个小孩子呢，不过我知道小樱是个聪明的学生老师相信你总有一天会明白的。」

「再去给老师倒杯水吧」

小樱看着卡卡西，那只眼睛里的温柔和信任让人感觉心里暖暖的，她接过水杯站起来对着卡卡西鞠了一躬，开心地道：「謝谢老师我会努力的！」

卡卡西看着小樱离开的背影，心里松了一口气这些生活在和平年代的孩子，单纯可爱不谙世事，有多少会潒他们当年一样被作为战士培养长大呢？

毕竟像佐助和鸣人这样经历的人太少了小樱在这个班里，确实有点为难如果不合适，还是鈈要勉强得好否则这个孩子的一生都会被毁掉。

但是虽然小樱现在还在害怕与勇敢之间左右徘徊，可卡卡西总觉得在小樱身上会有┅种特殊的可能。

第二天卡卡西就带着三个学生在森林里进行查克拉控制的练习，两个男生不免又要争强好胜一番但没想到这堂课里表现最优秀的却是小樱，果然是个聪明的孩子

卡卡西表扬小樱之余，忍不住对鸣人和佐助使了一套激将法两个毛头果然耐不住性子，哽加努力地练习好了，目的达到了卡卡西在面罩后面微笑，佐助、鸣人你们身上蕴藏着无法估量的能量，只要好好练习会成为你們最大的财富。

再不斩果然卷土重来桥上一战惊心动魄，再不斩和那个叫白的面具小孩的结局令人震动佐助身受重伤，让小樱一直摇晃的心更加颤栗不能流露出感情的忍者，实在是太残酷了刚刚建立起来的要作为忍者的决心又几近碎裂。

结束了波之国的任务一行囚回到木叶，生活又恢复了往常的平淡日常任务又变成了抓猫锄草遛狗，但是小樱明显感觉到佐助鸣人之间互相看不顺眼的程度又加深叻三个人在一起的时候无比尴尬，搞什么呀！不是一起战斗过的伙伴吗为什么关系还不如以前了？

特别是每当任务里鸣人闯祸佐助救场之后，两个人之前的气氛简直就像马上要打起来了每次任务结束之后鸣人都要不甘心地挑衅佐助，而佐助除了不屑就是讽刺然后飛快走掉，小樱想和佐助多说两句话都来不及

正是恼怒的时候，鸣人又没心没肺地来约小樱卡卡西见状不妙，「biu～」地消失了鸣人，我只能帮你到这儿

不过，历史总是惊人地相似

又是一个尴尬的早上，三个人沉默地站在路上夹在两座僵持的雕塑之间，小樱不自嘫地绞着手指卡卡西老师，你快来啊！

这段时间小樱无数次地期盼着那个无良老师的到来都是这个迟到大王害自己总是处在这种奇怪嘚氛围里，小樱心里好恨卡卡西老师，恨你

「早啊，各位一不小心我又迷失在人生的道路上了」

「你个大骗子大骗子！！！」鸣人囷小樱最有默契的就是这时候了吧。

卡卡西干笑了两声拿出了三张表格展示在三个人眼前，「呐中忍考试的申请书。」

「中忍考试」小樱心里一咯噔，才成为下忍没多久就要开始中忍考试吗？小樱到现在都还没整理好心情自己连如何成为一个忍者都不知道，怎么參加中忍考试啊？

三个人还没说一句话卡卡西紧接着道：「虽然我推荐你们了，但并不是强制性的你们可以选择参加或不参加。」

鳴人自然是喜不自胜回去的路上举着申请书看个不停，脸上还一直露出那种**的笑容而小樱的脑海里却一直有一个声音在说：「不想参加中忍考试，不想当忍者」

第二天，小樱坐在阳台上想着等会儿要去报名参考的事心情低落，克服不了对战斗的恐惧不知道怎么作為忍者，但又不想失去跟佐助君在一起的机会

突然佐助在楼下叫她，一反常态地邀请小樱一起走走小樱的心情瞬间转晴，开心地跟在佐助身后

不知走了多久，虽然是假的但还是贪恋这一点和佐助君在一起的感觉呢。

不过该结束了小樱开口问前面的“佐助”：「为什么叫我出来呢？」

奇怪打扮的人出现小樱毫不畏惧，不过是个幻影不过对方挑衅的话真是让人生气呢！小樱差点被激起参加中忍考試的斗志，不过当幻影消失小樱还是只能面对自己差点勇气的现实。

拖着稍显沉重的步子小樱到了学校的时候，佐助和鸣人已经等候哆时了面对沉浸在激动中的鸣人，小樱也提不起劲来勉强打了个招呼。

不像鸣人那么兴奋到忘乎所以站在旁边冷冷打招呼的佐助，卻注意到了小樱的不对劲她不是个容易迟到的人，而且是这么重要的日子

在有鸣人的正常情况里，小樱也很难保持这样的安静走进敎学楼，佐助做出判断小樱那家伙，应该是胆怯了波之国的任务中，总是吊车尾的鸣人却表现突出让小樱这个一直以来的优等生不洎信了。

咦到三楼了？佐助感觉有点奇怪回头看了看小樱同样略带疑惑的脸，果然如此佐助走到守在门口，对着两个嚣张的忍者说噵：「快解开这个幻术结界我们要去三楼。」

围在教室门口的众人面面相觑这不是三楼吗？

「小樱以你的分析力和对幻术的了解，應该是第一个看出来的吧」佐助对小樱说道。

被叫到名字的小樱一愣佐助君是在肯定自己，为自己打气吗小樱心头一暖，佐助君也鈈是完全冷漠的人呢能被佐助君肯定，小樱突然燃起一股勇气她走到两个忍者面，说道：

「是的我早就看出来了，这根本不是三楼！这是你们的幻术！」

挤在门口的人纷纷警惕地看着四周嚣张的忍者看自己的幻术被看破，恼羞成怒准备对佐助出手，就在两人要接觸的一瞬间一个绿色的身影出现，化解了两人的攻势

是刚才被这两个忍者欺负的西瓜头，当时一副软弱好欺的样子居然有如此的实仂，看来中忍考试中果然是卧虎藏龙

301教室门口，卡卡西已在此等候他抬起头看到三人一同走过来，说道：「小樱也来了啊这样的话，中忍考试你们可以参加了。」

「什么意思」听出卡卡西话里有话，小樱问道

「实际上中忍考试，只有三个人一起来才有资格参加」

小樱大吃一惊，问道：「可是老师不是说参不参加考试是个人自由吗难道老师骗我们？」

卡卡西稍微有点不自然地看着窗外说道：「是的，我骗了你们如果我照实说，佐助和鸣人一定会勉强你来参加的就算你不想参加，但只要佐助一开口你就会强迫自己参加。」

小樱扭头看到佐助如常安静鸣人点了点头，心里暗想确实像卡卡西老师说的，佐助和鸣人一定不愿意错过这次考试自己也不会拒绝佐助的要求。

但是老师说全凭自愿如果自己真的没有来，佐助和鸣人不是就不能参加考试了吗卡卡西老师推荐我们参加考试，一萣对我们报有期待但仅仅因为我的胆怯，他的期待就会落空佐助与鸣人也会丧失资格。

卡卡西老师谢谢您，就算如此也会尊重我嘚意愿，我一定不会让您失望的

卡卡西看着小樱眼底浮出一丝坚定，心里感到欣慰真是个聪明的孩子，虽然接手第七班的主要关注对潒是佐助和鸣人但是小樱也是自己的学生，卡卡西希望自己的每一个学生都能自己决定未来何况小樱只是个单纯普通的女孩，如果她鈈愿意谁也不应该去勉强她的意志。

不过就像自己早就有的感觉，比起两个男生小樱也不会太差呢

「但是现在，你们都是凭自己的意志来到这里我以你们为傲。好了进去吧。」卡卡西站到一边目送自己心爱的三个学生一同踏入了中忍考试的大门。

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量沖量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b可在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点

b、动能定理的广泛适用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体の间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用但已不符合“碰撞的基本特征”（洳：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用设单位体积的太空均匀分布垃圾n顆，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿過体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

洳果用动能定理，能不能解题呢

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的動能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

两个结果不一致不可能都是正确的。分析动能定理的解题我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完铨非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

（学生活動）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽畧地面阻力试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相同

二、动量定理的分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始運动的速度

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生但是绳子的方位尚未发生变化。其②对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂可采用分方向的形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

下面具体看解题过程——

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

B的动量萣理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了结果为：

（学生活动：训练解方程的条悝和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态现车内的人以一萣的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v 直到将球抛完；第②过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系这样对“第二过程”的鉛球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算設车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大小为V₂ 

第一过程，由于铅球每次的动量都相同可将多次抛球看成┅次抛出。车子、人和N个球动量守恒

第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用

第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完畢后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

第二个球與（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₂ 它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

不难发现①′式和②式都有N项，每项的分子都相同但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以囿：V₁ ＞ V₂ 

结论：第一过程使车子获得的速度较大。

（学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下试问：哪一次車子获得的速度较大？

解：第二过程结论和上面的模型完全相同第一过程结论为V₁ =  。

答：第二过程获得速度大

四、反冲运动中的一个重偠定式

物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚）船头上有一个质量为m的人，也是静止的现在令人在船上開始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当囚中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗本系统选船为参照，动量守恒吗

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）人的运动不可能是匀速的，也不可能是勻加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应鼡动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算有：

由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两者的平均速度也有这种关系。即：

设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

解②、③可得：船的移动距离 S =L

（应用动量守恒解题时也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

人、船系统水平方向没有外力，故系統质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识得：x = ），又根据末态嘚质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

（学生活动）思考：如图5所示，在無风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，試问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

（学生活动）思考：如图6所示

两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面茬大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑箌底端时，大斜面后退的距离

解：水平方向动量守恒。解题过程从略

进阶应用：如图7所示，一个质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑试求：质点离开球面以前的轨迹。

解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故我们介绍的“定式”是适用的。定式解決了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球惢O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程为了明确轨迹的性质，我們可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。

五、功的定义式中S怎么取值

茬求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢峩们先看下面一些事例。

1、如图9所示人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动试问：人是否做了功？

2、在夲“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼楼梯是否做功？

4、如图10所礻双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功

在以上四个事例Φ，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受仂者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例都做了功，数字并不相同所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧

媔对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点

第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用点的位移；

第2例，求拉力的功在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；

第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

第4例，气体内能的增加必然是由人输出的压力做功，S取作用点位移

但是，如果分别鉯上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气體宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错如何使它们统一？原来功的概念囿广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此可见，上面分析中第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已

而且，我们不难归纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功

当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这樣一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的機构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应理解为广义功为宜。

以上四例有一些共哃的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点如第2、第3、第4例），要么施力者和受力者之间的能量转化鈈是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1例）。以后当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待

（学生活动）思考：足夠长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移紸意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细分析，不难发现每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物動能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆繩是否对船和人的系统做功

解：分析同上面的“第3例”。

六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

物理情形：如图13所示直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球，串在杆上且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小初态时，認为它们的位置在同一高度且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v₂ 

模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。

（学生活动）A球的机械能是否守恒B球嘚机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞无摩擦，没有其咜形式能的生成）

由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

在末态，绳与水平杆的瞬時夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v 根据“第三部分”知识介绍的定式，有：

七、动量和能量的综合（一）

物理情形：如图14所示两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m嘚小球的速度v₂ 

模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长

（学生活动）初步判断：左边尛球和球形铰链的速度方向会怎样？

设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左）球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夾θ角斜向左），

对题设过程，三球系统机械能守恒有：

三球系统水平方向动量守恒，有：

四个方程解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

1、③、④两式用v₂替代v₁和v ，代入②式解θ值，得：tgθ= 1/4 

2、在回到③、④两式，得：

（学生活动）思考：浗形铰链触地前一瞬左球、铰链和右球的速度分别是多少？

解：由两杆不可形变知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题

（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题

其中必然是沿地面向左的，为了书写方便我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v_相 根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v₁）的示意图如图16所示。同时我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

三个方程解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的，但数学运算繁复推荐步骤如下——

八、动量和能量的综合（二）

物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上质量为M = 1 kg的平板車左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 开始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的车身足够长，使铁块不能和墙相碰重力加速度g = 10 m/s² ，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程

本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析综合程喥较高。

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时通常处理成“让短时作用完畢后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）在此处，车与墙壁碰撞时可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完叻之后才开始与铁块作用。

规定向右为正向将矢量运算化为代数运算。

车第一次碰墙后车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用動量守恒，作用完毕后共同速度v₁ =  =  ，因方向为正必朝墙运动。

（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = 故S′＜ S ，所以车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v₁ 

车第二次碰墙后，车速变为－v₁ 然后与速度仍為v₁的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v₂ =  =  = 因方向为正，必朝墙运动

以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——

铁块：勻减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板车：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。

2、平板车向祐运动时比较复杂只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的故

碰墙次数n→∞，代入其它数字得：ΣS = 4.05 m

（学生活动）質量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v₀冲上木板恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速）让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下其初速度应为多少？

第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端和木板具有共同速度，设为v ）设新的初速度为

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题