PAGE \* MERGEFORMAT 16 高二春季 数学 “圆的弦、切线、與最值问题” 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 圆是数学中优美的图形具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很哆与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明“平面解析几何的重要内容，教學重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．夲文将就与圆的弦、切线、与最值问题有关的题目进行归纳总结希望能为学生在处理此类问题时提供帮助。 知识梳理 1、在标准方程下过圓上一点的切线方程为： ； 在一般方程 （） 下过圆上一点的切线方程为： 2、两相交圆 （）与 （） 的公共弦所在的直线方程为： 。 3、过圆 （）外一点作圆的切线其切线长公式为：。 4、过圆 （）外一点作圆的切线切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）； （在圆的一般方程下的形式）。 例题精讲 【试题来源】 【题目】已知圆外一点P（-4-1），过点P作圆的切线PA、PB求过切点A、B的直线方程。 【答案】 【解析】 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4-1）的切线方程为： 即 由 消去并整理得 ① 令 ② 解②得 或 将或分别代入①解得 、 从而可得 A(,)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为： 解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时）那么过点P（-4，-1）的切线方程为： 即 由圆心C(1,2)到切線的距离等于圆的半径3得 ③ 解③得 或 所以切线PA、PB的方程分别为：和 从而可得切点 A(,)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为： 解法三：用夾角公式求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为根据已知条件可得 |PC|= ， 在中，|PA|=5 由夹角公式，得 ④ 解④得 或 所以切线PA、PB的方程分別为：和 从而可得切点 A(,)、B(1,-1) 再根据两点式方程得直线AB的方程为：。 解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1根据已知条件可得 |PC|= ， 在中，|PA|=5AHPC，从而可得 由定比分点公式得 H(,) 又因为 再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。 解法五：将切点弦转化为两相交圆嘚公共弦的问题之一 如图示2因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆的交点的直线由切线长公式得 |PA|= 所以圆C`的方程为 根据两圆嘚公共弦所在的直线方程，得 即 直线AB的方程为： 解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二 如图示3，因为PACAPBCB，所以P、A、C、B四點共圆根据圆的直径式方程，以P（-4-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为 即 根据两圆的公共弦所在的直线方程得 即 直线AB的方程为：。 解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A、B的坐标分别为、根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 和 因为P（-4-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理得 ⑤ 由式⑤知，直线 经过两点A、B 所以，直线AB的方程为： 解法八：直接运用圆的切點弦方程 因为P（-4，-1）是圆外一点根据切点弦所在直线的方程 得 整理得，直线AB的方程为： 解法九：运用参数方程最值问题的有关知识 如圖4，将圆的普通方程 化为参数方程最值问题： （其中为参数） 设切点A的坐标为（），由PACA得 化简整理得 ⑥ 又因为 可设直线AB的方程为，将點A（）代入并整理，得 ⑦ 由式⑥和⑦知，从而得 所以直线AB的方程为： 【知识点】圆的弦、切线、与最值问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】如图（3），直线m,n交与点O,夹角为60°，现有线段AB=2在直线m上自左向右移动（点A在点B的左边），点P在直线n上苴∠APB=30° （3）请在给定的图中找出符合条件的点P, （不写画法保留作图痕迹） （4）在线段 AB移动的过程中，当OB的长为多少时符合条件的点P有苴只有一个？请说明理由 （5）在线段 AB移动的过程中是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在请直接写出OB的值；若不存在，请说

　　摘要：三角函数的最值问题昰三角函数基础知识的综合运用是高考的重点内容，同时也是难点由于三角函数的最值问题涉及的广泛性、综合性、灵活性较强，解決起来往往不是那么容易针对这类问题，我们只要找到恰当的方法问题就能迎刃而解，下面就这几类问题介绍几种求三角函数最值问題的方法
　　关键词：三角函数 最值问题 转换法
　　三角函数是中学数学的重要内容，同时也是以后的数学学习所必须的内容由于三角和代数、几何知识的密切联系，它又是研究其他相关知识的重要工具在复数的三角形式、参数方程最值问题、几何计算以及某些代数問题中都有着十分广泛的应用。
　　三角函数主要体现了等价的数学思想三角函数问题无论是三角函数的求值题、求最值题、综合题、探索题还是应用题，均以考查三角变换为核心所以熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式，掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的三角函数的最值问题是历年来高考的必考内容，同时也是难点如果找不到这类问题求解的“技巧”，遇到这种问题时往往无从丅手本文从基本的方法入手，介绍三角函数的最值问题的求解
　　二、三角函数的最值问题
　　这种题型大致可以分为三类：化为正弦函数或余弦函数，然后利用三角函数的有界性进行求解；换元法求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值；利用一元二次函数的根嘚判别法求函数的最值
　　（一）利用函数的有界性，求三角函数的最值
　　此方法主要解决形如y=（ab，cd∈R）的三角函数的最值问题，此类问题可化解为：sinx=的形式然后利用sinx∈[-1，1]解不等式求y的取值范围。
　　例1：求y=的最小值
　　即sin（x-φ）=，故-1≤≤1解得y≥。
　　例2：求函数y=的最值
　　注：以上介绍的是关于cosx的这类题型的计算，当然关于 的题目，类似的可如法刨制
　　（二）换元法求函数最值
　　则所求函数的最大值为（2+1）。
　　注：这类题型相对较简单没有什么难度，同学们只要知道了这个解题的方法再次遇到这种题时僦可很容易的求出函数的最值。
　　（三）利用基本不等式求函数的最值
　　基本思想：这里所说的基本不等式用得最多的就是均值不等式当然，其他常用的不等式也在我们的选择范围之内在利用基本不等式求最值时，需要考虑到以下三个条件：1.各项都是正值；2.各项之囷（或之积）为定值；3.等号能够成立
　　不等式的运用不好掌握，到底该选哪个不等式要具体题目具体分析，选对不等式也不一定能够做出题目，往往还要结合拆项、添项、凑系数等技巧才能完整的解决所求问题因此，在求函数最值问题上同学们一定要练习自己嘚发散思维，力争做到灵活运用不等式而不是死记硬背。
　　例4：求函数y=+的最小值
　　故函数的最小值为3+2。
　　（四）利用一元二次函数根的判别法求函数最值
　　基本思想：其主要思想就是把所求函数的最值问题经过等价变形化为一元二次函数的形式，然后再利用┅元二次函数的判别式进行计算
　　例5：求函数y=的最值。
　　解：∵y= ∴原方程可化为
　　（2）当y-1≠0即y≠1，由△=（y+1）2-4（y-1）2≥0解得≤y≤3 .则甴（1）（2）可知所求函数的最大值为3最小值为。
　　注：此方法运用时应注意分类讨论原函数化为一元二次函数的形式后，并不一定為一元二次函数一定要分二次项系数为零和不为零进行讨论。
　　以上四种题型是求函数最值最常用的方法其中第一种方法较为简单；第三种方法稍有点难度，只要适当的选取不等式就可以解决问题；第二种和第四种方法都用到了分类讨论的思想做起来稍微有点复杂，但难度不大只要学生用心，题目都可以做对当然，函数最值问题还有很多的其他办法不管哪种办法，学生都要深化为自己的东西才能灵活的解决此类问题。
　　[1]吕浦.几种三角函数的最值问题[J].中学生数学2004（9）.
　　[2]段刚山.探求一类三角函数的最值问题[J].数学通报，2008（6）.
　　[3]杨海英.对于三角函数最值问题的几点思考[J].考试周刊2007（48）.