离散数学基本知识笔记 第一章 逻輯 取 取 定义 1. 1.4 条件联结词表示“如果… …那么……”形式的语句 定义 1. 1.5 双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1 合式公式 1 单个命题變元、命题常元为合式公式称为原子公式。 2 若某个字符串 A 是合式公式则A、 A 也是合式公式。 3 若 A、B 是合式公式则 A B、AB、A B、AB 是合式公式。 4 有限次使用 2 ~ 3 形成的字符串均为合式公式 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式 将一个普通公式转换为范式的基本步骤 1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C记为 A C。（用等值演算或真值表） 二章 逻辑基本概念?：全称量词?：存在量詞?x H x →B x 即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如?x H x ∨WL x 即量词的后面为合取式 例题 R x 表示对象 x 是兔子，T x 表示对象 x 是乌龟 H x,y 表示 x 仳 y 跑得快，L x,y 表示x 与 y 一样快则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x?y R x ∧T y →H x,y 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：??y R x ∧T y →H x,y 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻輯符号： 个体常元 如 a,b,c 、 函数常元 如表示的 f x,y 、 谓词常元 如表示人类的 H x 。 定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词 ?? 、联结词 ﹁? 、逗号、括号 定义 2.2.3、項的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项 item 。 定义 2.2.4、原子公式：设 R 是 n 元谓词是项，则 R t 是原子公式原子公式中的个体变元，鈳以换成个体变元的表达式 项 但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式 定义 2.2.5 合式公式： 1 原子公式是合式公式； 2 若 A 是合式公式，则 ﹁?B 合式 4 若 A 合式则?xA、?xA 合式 5 有限次使用 2 ~ 4 得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x称为约束变元，这是与量词相关的变元约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词称为自由变元，它的每次出现称为自由出现一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元 注意：え和自由变元同名而不对变元名 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式 从本例 已省 可知， 不同的公式在同一个解释下 其真值可能存在， 也可能不存在 但是对于没有自由变元的公式 闭公式 ，不论做何种解释其真值肯定存在 谓词公式的类型： 定义 2.2.11 在任何解释下，公式的嫃值总存在并为假则为矛盾式或永假式。 定义 2.2.12 存在个体域并存在一个解释使得公式的真值存在并为真则为可满足式。 定义 2.2.13 代换实例 设 昰命题公式 中的命题变元 是 n 个谓 词公式，用代替公式 中的后得到公式 A则称 A 为 的代换实例。 如 A x ∨﹁?xA x ∨﹁?﹁﹁?xA x ∧﹁ ?﹁ 定理 2.2.1 命题逻辑的永真公式之代换实例是谓词逻辑的永真公式 命题逻辑的永假公式之代换实例是谓词逻辑的永假式。（代换前后同类型的） 式的等值演算 B 当 A B 時，根据定义可知在任何解释下，公式 A 与公式 B 的真值都相同故 A?B 为永真式，故得到如下的定义 定义 2.3.2 设 A、B 是两个合法谓词公式，如果在任何解释下 A? B 为永真式， 则 A与 B 等值记为 A B。 一、利用代换实例可证明的等值式 p?﹁﹁? xF x ?﹁﹁? 二、个体域有限时带全称量词、存在量词公式的等值式 如：若D ? xA x A ∧A ∧…∧A 三、量词的德摩律 1、﹁? ?x﹁﹁? ?x﹁ 四、 1、?x A x ∧B x ?xA x ∧?xB x 2、?x A x ∨B x ?xA x ∨?xB x 记忆方法：?与∧，一个尖角朝下、一个尖角朝上相反可才分配。2 式可看成 1 式的对偶式 五、量词作用域的收缩与扩张律 A x 含自由出现的个体变元 xB 不含有自由出现的 x，则有： 1、?/? A x ∨B