《数值分析（原书第2版）》—— 1.2　不动点迭代
《数值分析（原书第2版）》—— 1.2　不动点迭代
本节书摘来自华章出版社《数值分析（原书第2版）》一 书中的第1章，第1.2节，作者：（美）Timothy Sauer，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
1.2　不动点迭代
使用计算器或者计算机以一个任意初值开始不断计算函数cos.
本节书摘来自华章出版社《数值分析（原书第2版）》一 书中的第1章，第1.2节，作者：（美）Timothy Sauer，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
1.2　不动点迭代
使用计算器或者计算机以一个任意初值开始不断计算函数cos.也就是说，对于一个任意初值应用cos函数，然后对于结果再计算cos，然后得到一个新结果，周而复始.（如果使用计算器，请确认cos函数计算使用的是弧度模式.）持续这个过程直到数字30不再发生改变.结果会收敛到数字0.，至少会收敛到前面的10个小数位.在本节中，我们的目的是解释为什么这样的不动点迭代（FPI）计算的实例会收敛.当我们在解释这些的时候，也会讨论关于算法收敛的主要问题.
1.2.1　函数的不动点
通过余弦函数迭代得到的数字序列看起来会收敛到数字r.后面再使用余弦函数也不会改变这个数字.对于输入，余弦函数的输出等于输入，或者cosr=r.定义1.4　当g（r）=r，实数r是函数g的不动点.数字r=0.是函数g（x）=cosx的近似不动点.函数g(x)=x3具有三个不动点，r=-1，0和1.我们使用例1.2中的二分法求解方程cosx-x=0.从不同的视角来看，不动点方程cosx=x和方程求解是一个相同的问题.当输出和输入相等时，cosx的不动点，同时也是方程cosx-x=0的解.一旦方程写做g（x）=x，从一个初始估计x0开始进行不动点迭代过程，对函数g进行迭代.
　　因此，x1=g（x0）x2=g（x1）x3=g（x2）?依此下去.当进行无穷多步的迭代后序列xi可能收敛，也可能不收敛.但是，如果函数g是一个连续函数并且xi收敛，比如说，收敛到一个数字r，则r就是对应的不动点.实际上，定理0.5意味着g(r)=g(limi→∞xi)=limi→∞g(xi)=limi→∞xi+1=r(1.3)对函数g进行不动点迭代可以非常容易用MATLAB代码实现:
其中初值为0，进行10步不动点迭代.不动点迭代求解了不动点问题g（x）=x，但是我们主要对于求解方程感兴趣.所有的方程f（x）=0都能转换为一个形如g（x）=x的不动点迭代问题吗？答案是肯定的，而且可以不同方式转化.例如，例1.1的求根方程x3+x-1=0(1.4)能够重写为x=1-x3(1.5)我们可以定义g(x)=1-x3.或者，在式（1.4）中，x3可以独立出来得到x=31-x(1.6)其中g(x)=31-x.作为第三种不那么显而易见的方式，我们还可以在等式（1.4）两边同时加上2x3得到3x3+x=1+2x3(3x2+1)x=1+2x3x=1+2x31+3x2(1.7)并定义g(x)=(1+2x3)/(1+3x2).然后，我们来展示前面三种方式得到的函数g（x）对应的不动点迭代.我们要求解的方程是x3+x-1=0.首先，我们考虑形式x=g(x)=1-x3.任意选择的初始点是x0=0.5.应用FPI得到如下结果:
迭代没有收敛，并倾向于在数字0和1之间变化.但是由于g（0）=1以及g（1）=0，0和1都不是对应的不动点.不动点迭代失败了，使用二分法，我们知道如果f是连续的，并且在初始区间上f（a）f（b）&0，我们必然可以看到迭代收敛到方程的根.但对于FPI，并不一定收敛.第二种选择的函数是g(x)=31-x.我们保持相同的初始估计，x0=0.5.
这一次FPI成功收敛到0.6823附近.最后，让我们使用不动点迭代形式x=g(x)=(1+2x3)/(1+3x2).如同前面的一种方式，该迭代也收敛，但是收敛得更显著.
在4次不动点迭代后就可以得到4位正确的数字，并且很快得到更多正确的数字.与前面的尝试相比，这个结果好得令人惊讶.我们的下一个目标是解释造成这种差异的原因.
1.2.2　不动点迭代几何
在前面一节中，我们找出对x3+x-1=0做不动点迭代的三种不同的方式，并得到了不同的结果.为了弄明白为什么FPI方法在一些情况下收敛，而在另外的一些情况下不收敛，看一下不动点迭代对应的几何非常有帮助.图1.3显示了前面讨论的三个不同的函数g（x），以及在每种方式下的前面几步的迭代.对于每个函数g（x）对应的不动点r都相同.在图中不动点表示为y=g（x）和y=x的交点.FPI的每一步都可以用线段描画出来（1）垂直和函数相交，然后（2）水平和对角线y=x相交.图1.3中垂直和水平方向的箭头描述了FPI中前进的方向.垂直箭头从x的值指向函数g，表示xi→g（xi）.水平箭头表示在y轴上得到的结果g（xi），并把它转换为在x轴上相同的值xi+1，并用于下一步中函数g的输入.上面的转换是通过从输出的g（xi）33的高度画水平线与y=x相交得到.不动点迭代的几何图示被称作cobweb图.
在图1.3a中，路径从x0=0.5开始，然后移动到函数，再水平移动得到对角线上的点（0.875，0.875），这对应（x1，x1）.然后，x1被g（x）替换.再垂直移动到函数，这与对于x0的操作方式相同.得到x2≈0.3300，然后水平移动从y值到x值，我们以相同的方式计算x3，x4，….如同我们前面看到的，对应g（x）的FPI的结果并不好——迭代的结果倾向于在0与1之间变化，而其中的哪一个也不是对应的不动点.在图1.3b中进行的不动点迭代看起来更好一些.尽管这里的g（x）和图1.3a中的g（x）相似，但是它们之间有非常明显的差异，在下一节中，我们将对这个差异进行阐述.你可能想知道这个差异究竟是什么.什么使得图1.3b中的不动点迭代的螺线趋近不动点，而在图1.3a中逐渐远离了不动点？图1.3c显示了一个快速收敛的例子.这个例子是否能帮助你的理解？如果你猜测这可能和函数g（x）在不动点附近的斜率有关，那么你猜对了.
1.2.3　不动点迭代的线性收敛
通过观察算法尽可能简单的情况，对FPI的收敛性质进行解释.图1.4显示了如下两个线性函数的不动点迭代g1(x)=-32x+52,g2(x)=-12x+32.在每个例子中，不动点都是x=1，但是g′1(1)=-32&1而g′2(1)=-12&1.从用于描述FPI的垂直和水平箭头，我们发现了差异的原因.由于g1在不动点附近的斜率大于1，用于表示从xn到xn+1的垂直线段随着FPI的进行而上升.结果是迭代过程“螺线状离开”了不动点x=1，即使在初值x0和不动点非常接近的情况下.对于g2，情况正好反了过来:g2的斜率比1小，从xn到xn+1的垂直线段长度不断减小，FPI“螺线状接近”方程的解.因而|g′(r)|造成了收敛和发散之间的差异.
以上是几何观点.从方程本身来看，把函数g1（x）和g2（x）写做x-r项的形式会有所帮助，其中r=1对应不动点:g1(x)=-32(x-1)+1g1(x)-1=-32(x-1)xi+1-1=-32(xi-1)(1.8)
34如果我们把ei=r-xi作为第i步时的误差（指的是第n步时的最优估计到不动点之间的距离），从式（1.8）中可以看到ei+1=3ei/2，意味着每一步误差以近似3/2的速度在增加.这就是发散.对于g2重复前面的代数计算，我们有g2(x)=-12(x-1)+1g2(x)-1=-12(x-1)xi+1-1=-12(xi-1)结果ei+1=ei/2，意味着用到不动点距离度量的误差每一步乘上了1/2.当步数不断增加时，误差变为0.这是一种特定类型的收敛.定义1.5　令ei表示迭代过程中第i步时的误差，如果limi→∞ei+1ei=S&1该方法被称为满足线性收敛，收敛速度为S.g2的不动点迭代线性收敛到了根r=1，收敛速度S=1/2.尽管由于g1和g2都是线性的，所以前面的讨论被简化了，但是相同的推理过程也适用于更加一般的连续可微函数g（x），其中不动点g（r）=r，如下面的定理所示.定理1.6　假设函数g是连续可微函数，g（r）=r，S=g′(r)&1，则不动点迭代对于一个足够接近r的初始估计，以速度S线性收敛到不动点r.证明　令xi表示第i步迭代.根据均值定理，在xi和r之间存在ci,满足xi+1-r=g′(ci)(xi-r)(1.9)其中我们代入了xi+1=g（xi）以及r=g（r）.定义ei=xi-r，式（1.9）可以写为ei+1=g′(ci)ei(1.10)35如果S=g′(r)小于1，则通过替换g′，在r附近有一个小的区间满足g′(x)&(S+1)/2，这个值比S大一点，但仍然比1小.如果xi恰好出现在该区间，则ci也在该区间（值被限制在xi和r之间），因而ei+1≤S+12ei所以，误差以（S+1）/2的速度下降，在后面的各步中也许会比该速度更好.这意味着limi→∞xi=r,利用式（1.10）中的极限得到limi→∞ei+1ei=limi→∞g′(ci)=g′(r)=S根据定理1.6，近似误差之间的关系ei+1≈Sei(1.11)在收敛过程中得到保持，其中S=g′(r).在习题25中可以看到该定理的一个变体.定义1.7　如果迭代方法对于一个足够接近r的初值能收敛到r，该迭代方法被称为局部收敛到r.换句话说，如果存在近邻区间(r-ε,r+ε)，其中ε＞0，使得近邻区间中的所有初始估计都可以收敛到r，则该方法局部收敛到r.定理1.6的结论是当g′(r)&1时不动点迭代局部收敛.定理1.6解释了前面对于f(x)=x3+x-1=0所进行的不动点迭代.我们知道根r≈0.6823.对于g(x)=1-x3，导数g′(x)=-3x2在根r附近，FPI运行误差ei+1≈Sei，其中S=g′(r)=-3(0..3966&1，所以误差会增加，没有收敛.ei+1和ei之间的这种误差关系仅仅在r附近得到保持，意味着不可能收敛到r.对于第二种方法，g(x)=31-x，对应的导数是g′(x)=1/3(1-x)-2/3(-1),S=(1-0./3≈0.716&1.定理1.6所描述的收敛和我们前面进行的计算一致.对于第三种方法，g(x)=(1+2x3)/(1+3x2),g′(x)=6x2(1+3x2)-(1+2x3)6x(1+3x2)2=6x(x3+x-1)(1+3x2)2S=g′(r)=0.这是S所能够达到的最小值，导致如图1.3c所示的极快的收敛.例1.3　解释为什么不动点迭代g（x）=cosx收敛.这是在本章开始就提到会做出的解释.f多次重复进行的余弦计算和FPI g（x）=cosx对应.根据定理1.6，由于g′(r)=-sinr≈-sin0.74≈-0.67的绝对值比1小，对应解r≈0.74会把附近的初始猜测值吸引过来.36例1.4　使用不动点迭代找出方程cosx=sinx的根.把该方程转化为不动点迭代的最简单方法是在方程左右两边同时加x.我们可以把问题重写做x+cosx-sinx=x并定义g(x)=x+cosx-sinx(1.12)对g（x）应用不动点迭代的结果在下表中显示.
在这张表中可以看到很多有趣的现象.首先，迭代看起来会收敛到0.7853982.由于cosπ/4=2/2=sinπ/4,所以方程cosx-sinx=0的真实解是r=π/4≈0.7853982.第4列是“误差列”，它显示第i步时的最优估计xi和实际不动点r之间的差异.这个差异在表的下方变得越来越小，这表明向不动点收敛.注意到误差列里的样式.误差看起来是以常数因子下降，每个误差差不多是上一步误差的1/2.更精确地说，在最后一列显示了连续误差之间的比例.在表中的大部分，连续误差之间的比例ek+1/ek都趋近一个常数0.414.换句话说，我们看到了连续误差的线性收敛关系ei≈0.414ei-1(1.13)这恰恰是我们所期望的.定理1.6意味着S=g′(r)=1-sinr-cosr=1-22-22=1-2≈0.414细心的读者会发现在表的下端这种关系并不成立.我们在计算误差ei时仅仅使用7位有效数字表表示不动点r.因而，相对误差ei的精度在ei接近10-8的时候表现很差，37相对误差ei/ei-1也变得不准确了.如果我们使用更多有效数字表示r，该问题就会消失.例1.5　找出g(x)=2.8x-x2对应的不动点.函数g(x)=2.8x-x2有两个不动点，分别是0和1.8，手工使用g（x）=x就可以通过不动点迭代进行求解，或者在图中找出y=g（x）和y=x的交点.图1.5显示了初值x=0.1的FPI迭代对应的cobweb图.对于这个例子，　图1.5　不动点迭代的cobweb图.例1.5有两个不动点,分别是0和1.8.该图显示了从初始估计0.1开始的迭代.使用FPI仅仅会收敛到1.8x0=0.1000x1=0.2700x2=0.6831x3=1.4461x4=1.9579可以被看做是和对角线的交点.即使初始估计x0=0.1和不动点0很接近，FPI依然会移向不动点x=1.8并在那里收敛.两个不动点之间的差异在于函数g在x=1.8的斜率，g′(1.8)=-0.8，绝对值小于1.另一方面，函数g在x=0的斜率，g′(0)=2.8,绝对值大于1.定理1.6是一个有用的后验，这意味着在FPI后面的计算中，我们知道根的位置并能一步步地计算误差.该定理帮助解释为什么收敛率S如此取值.如果能在计算开始之前就知道这个信息会更加有用.如下个例题所示，在某些情况下我们能做到这一点.例1.6　使用FPI计算2.一个古老的计算平方根的方法可以用FPI进行表达.假设我们想找到2的前10位数位.从初值x0=1开始.这个估计显然太小，因而造成2/1=2过大.事实上，任何一个初始估计038现在重复该过程.尽管3/2十分接近，但对于2，它显得太大了，并且2/（3/2）=4/3过于小.像前面一样，使用平均得到x2=32+432=该数字和2更加接近.再一次，x2和2/x2包含了2.后面的几步得到x3==.通过计算器进行检查，发现该估计和2之间的误差在3×10-6.我们所使用的FPI如下：xi+1=xi+2xi2(1.14)注意到2是对应的不动点.收敛　例1.6中使用的巧妙方法可以收敛到2，仅仅使用3步就可以收敛到小数点后5位.这种简单方法是数学历史中最古老的方法之一.图1.6a楔形石板YBC年发现于巴格达附近，可追溯至公元前1750年.其包含的60为基的面积为2的矩形边长的近似，包括（1）（24）（51）（10）.基为10时，1++21296图1.6　古代对于2的计算.巴比伦人以60为基进行计算,但是有时使用10为基的表示.&表示10,表示1.左上角30表示边的长度.中间是1，24，51和10，表示2的平方根中前5个正确小数点后数位.下面的数字42，25，35表示基为60的302我们并不知道巴比伦人的计算方法，但一些人猜测他们使用了例1.6中的计算，并使用他们常用的60作为基.不管怎样，这种方法出现在公元一世纪亚历山大数学家海伦（Heron）所写的《度量论》（Metrica）的第一卷中，用于计算720.
39在计算完成之前，我们需要决定该方法是否收敛.根据定理1.6，我们需要S&1.对于这个迭代，g(x)=1/2(x+2/x)，g′(x)=1/2(1-2/x2).在不动点处求值得到g′(2)=121-222=0(1.15)所以S=0.我们的结论是FPI会收敛，而且速度很快.习题18则是针对任意一个正整数计算平方根使用该方式是否会收敛的问题.
1.2.4　终止条件
同二分法不同，FPI收敛到事先给定的容差所要求进行的步数预先是不可预测的.没有如同二分法（1.1）所示的误差公式，必须决定何时终止算法，这称为终止条件.对于一组容差TOL，我们可能使用绝对终止条件xi+1-xi0，常常用于0附近的解.此外，好的FPI代码应当在收敛失败的时候，设置最大迭代步数的限制.终止条件的讨论很重要，并将在1.3节中讨论前向和后向误差的时候以更加复杂的形式出现.二分法可以保证线性收敛.不动点迭代仅仅是局部收敛，当不动点迭代收敛时，其线性收敛.两种方法在每一步中仅仅需要进行一次函数求值.二分法在每一步中可以去掉1/2的不确定性，而在FPI中，不确定性每步中会乘上S=g′(r).因而，不动点迭代可能比二分法更快或者更慢，这依赖于S比1/2大还是小.在1.4节中，我们将学习牛顿方法，它是FPI的一种改善方法，其中S被设计为0.1.2节习题1.找出函数g（x）的所有不动点.(a) 3x(b) x2-2x+2(c) x2-4x+22.找出函数g（x）的所有不动点.(a) x+63x-2(b) 8+2x2+x2(c) x53.证明1、2、3是下列函数g（x）的不动点.(a) x3+x-66x-10(b) 6+6x2-x311404.证明-1、0、1是下列函数g（x）的不动点.(a) 4xx2+3(b) x2-5xx2+x-65.对于如下哪个函数g（x），r=3是一个不动点？(a) g(x)=x3(b) g(x)=2x3+1x(c) g(x)=x2-x(d) g(x)=1+2x+16.对于如下哪个函数g（x），r=5是一个不动点？(a) g(x)=5+7xx+7(b) g(x)=103x+x3(c) g(x)=x2-5(d) g(x)=1+4x+17.使用定理1.6确定g（x）的不动点迭代是否局部收敛到给定的不动点r.(a) g(x)=(2x-1)1/3,r=1(b) g(x)=(x3+1)/2,r=1(c) g(x)=sinx+x,r=08.使用定理1.6确定g（x）的不动点迭代是否局部收敛到给定的不动点r.(a) g(x)=(2x-1)/x2,r=1(b) g(x)=cosx+π+1,r=π(c) g(x)=e2x-1,r=09.找出每个不动点，并确定不动点迭代是否局部收敛.(a) g(x)=12x2+12x(b) g(x)=x2-14x+3810.找出每个不动点，并确定不动点迭代是否局部收敛.(a) g(x)=x2-32x+32(b) g(x)=x2+12x-1211.将每个方程用三种方式表达为不动点迭代x=g（x）.(a) x3-x+ex=0(b) 3x-2+9x3=x212.考虑不动点迭代x→g(x)=x2-0.24.（a） 你是否期望不动点迭代能求解出对应根-0.2，并精确到小数点后10位，该方法比二分法更快还是更慢？（b） 找到另外一个不动点.FPI是否会收敛到这个不动点？13.（a） 找到函数g(x)=0.39-x2的所有不动点.（b） 对于哪个不动点，不动点迭代可以局部收敛？（c） FPI收敛到这个不动点比二分法的速度更快还是更慢？14.下面哪个不动点迭代收敛到2？对收敛速度从最快到最慢进行排序.(A) x→12x+1x(B) x→23x+23x(C) x→34x+12x15.下面哪个不动点迭代收敛到5？对收敛速度从最快到最慢进行排序.(A) x→45x+1x(B) x→x2+52x(C)x→x+5x+116.下面哪个不动点迭代收敛到4的立方根？对收敛速度从最快到最慢进行排序.(A) g(x)=2x(B) g(x)=3x4+1x2(C) g(x)=23x+43x217.检查1/2和-1是f(x)=2x2+x-1=0的根.孤立x2项，求解x找到函数g（x）的两个候选.哪一个根可以使用不动点迭代找到？18.证明例1.6的方法可以计算任何正数的平方根.4119.使用例1.6的思想探索立方根的求解.如果x是一个小于A1/3的预测，则A/x2将大于A1/3，所以二者的平均相对于x，是更好的近似.假设基于该事实进行不动点迭代，使用定理1.6确定该方法是否会收敛到A.20.通过平均加权，改进习题19中的立方根求解方法.对于某个固定数021.考虑在g(x)=1-5x+152x2-52x3上应用不动点迭代.（a） 证明1-3/5、1和1+3/5是不动点.（b） 证明三个不动点都不是局部收敛.（编程问题7更深入地探索了这个问题.）22.证明初始估计0、1、2会趋向习题21的不动点.对于接近这些数字的其他初始估计结果怎么样？23.假设g（x）是连续可微函数，函数g（x）的不动点迭代只有三个不动点，r124.假设g是连续可微函数，并且g（x）的不动点迭代只有三个不动点，-3、1和2.假设g′(-3)=2.4，并且FPI从一个足够接近不动点2的地方开始并收敛到2.寻找g′(1).25.证明定理1.6的变体:如果g是连续可微函数，在包含不动点的区间［a，b］上，g′(x)≤B&1，则FPI从区间［a，b］中的任意初始估计收敛到r.26.证明连续可微函数g（x）在闭合区间中满足g′(x)&1，则在这个区间中不可能有两个不动点.27.考虑g(x)=x-x3上的不动点迭代.（a） 证明x=0是唯一不动点.（b） 证明若0x1&x2…&0.（c） 证明当g′(0)=1时，FPI收敛到r=0.（提示:使用每个有界单调函数收敛到一个极限的事实.）28.考虑g(x)=x+x3上的不动点迭代.（a） 证明x=0是唯一不动点.（b） 证明当029.考虑方程x3+x-2=0，其中根r=1.在两边同时加上cx项并除以c得到g（x）.（a） 当c是多少时，FPI可以局部收敛到r=1？（b） 当c是多少时，FPI收敛最快？30.假设对于二阶连续可微函数g（x）使用不动点迭代，对于一个不动点r，有g′(r)=0.证明若FPI收敛到r，则误差遵从limi→∞(ei+1)/e2i=M，其中M=g″(r)/2.31.在方程x2+x=5/16定义不动点迭代，分离x项.找到两个不动点，确定哪一个初始估计通过迭代可以得到不动点.（提示:画出g（x），并画cobweb图.）32.找出所有初始估计对应的集合，使得不动点迭代x→4/9-x2可以42收敛到不动点.33.令g(x)=a+bx+cx2，其中a、b、c是常数.（a） 指定一组常数a、b、c，其中x=0是x=g（x）的不动点并且不动点迭代局部收敛到0.（b） 指定一组常数a、b、c，使得x=0是x=g（x）的不动点，但是不动点迭代没有局部收敛到0.1.2节编程问题1.使用不动点迭代求解下面的方程，精确到小数点后8位.(a) x3=2x+2(b) ex+x=7(c) ex+sinx=42.使用不动点迭代求解下面的方程，精确到小数点后8位.(a) x5+x=1(b) sinx=6x+5(c) lnx+x2=33.计算下面数字的平方根，使用例1.6中的不动点迭代精确到小数点后8位:（a） 3，（b） 5.写出使用的初始估计和所需要的迭代次数.4.计算下列数字的立方根，使用不动点迭代精确到小数点后8位，其中函数g(x)=(2x+A/x2)/3，A是（a） 2，（b） 3，（c） 5.写出使用的初始估计和所需要的迭代次数.5.例1.3表明g（x）=cosx使用FPI可收敛.对于函数g(x)=cos2x是否也成立？找到不动点，精确到小数点后6位，报告FPI所需要的迭代次数.使用定理1.6讨论局部收敛性.6.推导三种不同的g（x），用不动点迭代计算f（x）=0，精确到小数点后6位.对于每个g（x）运行并报告结果，包括是否收敛或者发散.每个方程f（x）=0有三个根.如果需要的话推出更多的g（x），直到利用FPI可以得到所有根.对于每个收敛运算，由误差ei+1/ei确定S的值，并和式（1.11）中使用微积分得到的S比较.(a) f(x)=2x3-6x-1(b) f(x)=ex-2+x3-x(c) f(x)=1+5x-6x3-e2x7.习题21考虑将不动点迭代用于g(x)=1-5x+152x2-52x3=x寻找初始估计，使得FPI能够：（a） 在区间（0，1）中无穷循环；（b）和（a）相同，但是区间为（1，2）；（c） 无穷发散.（a） 和（b） 是混沌动力学的例子.在所有三种情况中，FPI都不能成功运行.
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局部收敛性有如下定理设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).若 f'(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的.若 f'(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的.记 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某个邻域"可由 |g'(x)|
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一种新的加速收敛迭代格式求解非线性方程组
A Novel Approach to Increase the Convergence Order for Solving
Systems of Nonlinear Equations
作&&&&&者：&&&ZHANG Xu, PENG Yu-sheng （ Mathematics and Computation Science of School A ruling Normal Un.iversity, A nqing 246133, China）
作者机构：安徽安庆246133&
基　　金：&&
物：&(Journal of Education Institute of TAIYUAN University)
卷 期：2016年第4期
页&&&&&&码：19-22页
摘&&&&&&要：文章提出了一种非线性方程组求解的新方法，将牛顿方法作为预测，对于任意给定的具有p阶收敛的迭代方法，通过构造带参数的新方法，使其收敛阶至少提高到p＋2阶。最后通过数值实例，表明了文章的迭代方法具有很好的收敛效果。
主 题 词：&&&&
学科分类：0701&
D　O　I：10.14152/j.enki.16.04.007
馆 藏 号：381664&&&281507&&&
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