2019考研高数必掌握的题型解法：不定积分_考研数学高数资讯-新东方在线移动版
2019考研高数必掌握的题型解法：不定积分
　　数学复习要提升解题计算能力，对于重点题型的把握要熟练。新东方在线整理了一些重点题型，希望19考生复习时要重点研究，下面是不定积分考察解题方法：2019考研高数必掌握的题型解法：不定积分
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2018考研高数之不定积分的计算
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　　数学是考研各科中难度较大的一科，2018考研高数之不定积分的计算，一起来看下!　　
　　不定积分的计算是整个积分中的基础，定积分的计算就以不定积分为基础的，二重积分是化成两次累次积分去计算，而对于数一考生还要计算三重积分，曲线积分，曲面积分同样也是以不定积分为基础的，通过分析可以看出不定积分在整个积分计算中的地位，不仅如此，对于数三，数一的考生而言，概率论与数理统计中，给出概率密度函数求分布函数也需要用积分，所以考生要想在积分这部分取得高分就要在不定积分的计算打好基础。
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高等数学单元测试题1――5章+25题的不定积分典型例题补充
1高等数学测试题（一）极限、连续部分一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 当 x ? ?0 时， （ ）无穷小量。 A． x sin1 x1B． e xC． ln xD．1 sin x xx ?1 ?3 x ? 1 ? x ?1 2、点 x ? 1 是函数 f ( x) ? ? 1 的（ ?3? x x ?1 ?A．连续点 B．第一类非可去间断点） 。C．可去间断点D．第二类间断点 ） 。3、函数 f ( x ) 在点 x0 处有定义是其在 x0 处极限存在的（ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 4、已知极限 lim(x ??C．充要条件 D．无关条件 ） 。 D．2x2 ? 2 ? ax) ? 0 ，则常数 a 等于（ xB．0 C．1 ） 。 C．0A． ? 12ex ?1 5、极限 lim 等于（ x ? 0 cos x ? 1B．2 A． ? 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 lim(1 ? ) =x ??D． ? 21 x2x． ．2、 当 x ? ?0 时， 无穷小 ? ? ln(1 ? Ax ) 与无穷小 ? ? sin 3 x 等价， 则常数 A= 3、 已知函数 f ( x ) 在点 x ? 0 处连续，且当 x ? 0 时，函数 f ( x ) ? 2 4、 lim[n ???1 x2，则函数值 f (0) =1 1 1 ? ??? ]= 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)．5、 若 lim f ( x ) 存在，且 f ( x ) ?x ??sin x ? 2 lim f ( x ) ，则 lim f ( x ) = x ?? x ?? x ??．三、解答题 1、 （7 分）计算极限 lim(1 ?n ??1 1 1 )(1 ? 2 )? (1 ? 2 ) ． 2 2 3 n2、 （7 分）计算极限 limtan x ? sin x ． x?0 x323、 （7 分）计算极限 lim(x ??2 x ? 3 x ?1 ) ． 2x ?14、 （7 分）计算极限 limx?01 ? x sin x ? 1 ex ?12．5、 （7 分）设 limx 3 ? ax 2 ? x ? 4 具有极限 l ，求 a, l 的值． x ??1 x ?16、 （8 分）设 ? ( x) ? x3 ? 3x ? 2, ? ( x) ? c( x ? 1) n ，试确定常数 c, n ，使得 ? ( x ) ? ? ( x) ．1 ? ? x sin 7、 （7 分）试确定常数 a ，使得函数 f ( x ) ? ? x 2 ? ?a? xx?0 x?0在 (??, ??) 内连续．8、 （10 分）设函数 f ( x ) 在开区间 (a, b) 内连续， a ? x1 ? x2 ? b ，试证：在开区间 (a, b) 内 至少存在一点 c ，使得 t1 f ( x1 ) ? t2 f ( x2 ) ? (t1 ? t2 ) f (c)(t1 ? 0, t2 ? 0)高等数学测试题（二）导数、微分部分一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）? 1? x ?1 ? x 1、 设函数 f ( x) ? ? ? ?1 ? ?2A．不连续x?0在 x ? 0 处（ ） ．x?0C．二阶可导 ） ． D ． 2e D．仅一阶可导B．连续但不可导2、若抛物线 y ? ax 2 与曲线 y ? ln x 相切，则 a 等于（ A．1 B．1 2C．1 2e33、设函数 f ( x ) ? x ln 2 x 在 x0 处可导，且 f ?( x0 ) ? 2 ，则 f ( x0 ) 等于（ A． 1 B．） ．e 2C．2 eD． e4、设函数 f ( x ) 在点 x ? a 处可导，则 limx?0f ( a ? x) ? f ( a ? x) 等于（ xC． 2 f ?(a ) ） ．） ． D． f ?(2a )A ．0B． f ?(a)5、设函数 f ( x ) 可微，则当 ?x ? 0 时， ?y ? dy 与 ?x 相比是（ A．等价无穷小 B．同阶非等价无穷小 C．低阶无穷小D．高阶无穷小二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、设函数 f ( x ) ? x x ，则 f ?(0) = 2、 设函数 f ( x) ? xe x ，则 f ??(0) = ． ．3、 设函数 f ( x ) 在 x0 处可导， 且 f ( x0 ) =0， f ?( x0 ) =1， 则 lim nf ( x0 ? ) =n ??1 n．4、 曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 8 上点 交角为 5、 d 三、解答题处的切线平行于 x 轴，点处的切线与 x 轴正向的?4。 =e ? x dx1、 （7 分）设函数 f ( x) ? ( x ? a )? ( x), ? ( x) 在 x ? a 处连续，求 f ?(a) ．2、 （7 分）设函数 f ( x ) ? xaa? a x ? a a ，求 f ?( x ) ．ax3、 （8 分）求曲线 ?? x ? sin t ? 在 t? 处的切线方程和法线方程． 6 ? y ? cos 2td2y 1 4、 （7 分）求由方程 x ? y ? sin y ? 0 所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ． dx 245、 （7 分）设函数 y ? ( x ? a1 ) 1 ( x ? a2 ) 2 ? ( x ? an ) n ，求 y ? ．a a a? 2 ?x 6、 （10 分） 设函数 f ( x ) ? ? ? ?ax ? b ? ?x?1 1 2 ， 适当选择 a, b 的值， 使得 f ( x ) 在 x ? 处可导． 2 1 x? 27、 （7 分）若 y 2 f ( x) ? xf ( y ) ? x 2 ，其中 f ( x ) 为可微函数，求 dy ．8、 （7 分）设函数 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，且满足 f ( a) ? f (b) ? 0, f ??( a ) ? f ??(b) ? 0 ， 证明： f ( x ) 在 (a, b) 内至少存在一点 c ，使得 f (c) ? 0 ．高等数学测试题（三）中值定理、导数应用部分一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 下列函数在 [?1,1] 上满足罗尔定理条件的是（ A． y ? e x B． y ? ln x ） ． C． (0, ?1) D． (2,1) ）实根． D．四个 C． y ? 1 ? x 2 ） ． D． y ?1 1 ? x22、曲线 y ? ( x ? 1)3 的拐点是（ A． (?1,8) B． (1, 0)3、已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ，则 f ?( x ) ? 0 有（ A．一个 B．两个 C．三个4、设函数 f ( x ) 在 (a, b) 内可导，则在 (a, b) 内 f ?( x ) ? 0 是函数 f ( x ) 在 (a, b) 内单调增的 A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．无关条件55、如果 f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ，则（ A． f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的极大值 C． f ( x0 ) 不是函数 f ( x ) 的极值 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）） B． f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的极小值 D．不能判定 f ( x0 ) 是否为函数 f ( x ) 的极值1、 函数 y ? ln( x ? 1) 在 [0,1] 上满足拉格朗日定理的 ? =． ．1 3 x ? 3 x 2 ? 9 x 在闭区间 [0, 4] 上的最大值点为 x = 3 4 ． 3、 函数 y ? x ? 的单调减少区间是 x f ( a ? h) ? f ( a ) ? f ?(a ) h 4、若函数 f ( x ) 在 x ? a 二阶可导，则 lim = h ?0 h2、 函数 f ( x) ? 5、曲线 y ? 三、解答题 1、 （7 分）计算 lim( ?x?0．x3 的铅直渐近线为 x?21 x 1 )． e ?1x．2、 （7 分）计算 lim ?x ?0x ln x ．sin x 1 )x ． 3、 （7 分）计算 lim( x ?0 x4、 （7 分）计算 lim(x?0a x ? bx ? cx 1 )x ． 35、 （10 分）设函数 f ( x ), g ( x ) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (a) ? f (b) ? 0 ， 证明：存在 ? ? (a, b) ，使得 f ?(? ) ? f (? ) g ?(? ) ? 0 ．66、 （10 分）证明：当 x ? 0 时， x ?x2 ? ln(1 ? x ) ? x ． 2f ( x) 1 ) x ? e3 ． 7、 （12 分）设函数 f ( x ) 在 x ? 0 的邻域内具有三阶导数，且 lim(1 ? x ? x?0 x（1）求 f (0), f ?(0), f ??(0) ；（2）求 lim(1 ?x?0f ( x) 1 )x ． x高等数学测试题（四）不定积分部分一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 已知函数 ( x ? 1)2 为 f ( x ) 的一个原函数，则下列函数中（ A． x 2 ? 1 2、已知 B． x 2 ? 1 C． x 2 ? 2 x ） ． D． cos x ? sin x ? C ） ． D． ）是 f ( x ) 的原函数。 D． x 2 ? 2 x?exf ( x)dx ? e x sin x ? C ，则 ? f ( x)dx =（B． cos x ? CA． sin x ? C 3、若函数C． ? cos x ? sin x ? Cln x 为 f ( x ) 的一个原函数，则不定积分 ? xf ?( x )dx =（ x 1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? 2 ln x ?C ?C ?C A． B． C． x x x1 ? 2 ln x ?C x4、已知函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内可导，且恒有 f ?( x ) =0，又有 f (?1) ? 1 ，则函数 f ( x ) = A．1 B． ? 1 C．0 ） ． D． x ln x D． x5、若函数 f ( x ) 的一个原函数为 ln x ，则一阶导数 f ?( x ) =（ A．1 xxB． ?1 x2C． ln x二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 函数 2 为 的一个原函数。72、 已知一阶导数 ( f ( x ) dx)? ? 1 ? x?2，则 f ?(1) =．3、 若 xf ( x )dx ? arctan x ? C ，则?? f ( x) dx = ?1．4、 已知 f ( x ) 二阶导数 f ??( x ) 连续，则不定积分 xf ??( x)dx = 5、 不定积分 cos xd (e．?cos x)=．三、解答题 1、 （7 分）计算?x2dx ． (1 ? x 2 )2、 （7 分）计算? 1? edxx．3、 （7 分）计算x3 ? x 2 ? 1dx ．dx ． ? 5x ? 44、 （7 分）计算?x25、 （8 分）计算?dx6．x ? x256、 （7 分）计算3 x ? x e dx ．7、 （8 分）已知 f ?(sin 2 x) ? cos2 x ? tan 2 x0 ? x ? 1 ，求 f ( x ) ．8、 （9 分）计算 I ? e cos bxdx ．?ax8高等数学测试题（五）定积分部分一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） （1）设函数 f ( x ) 在 (0,?? ) 内连续，且 I ?1 st x f (t ? )dx ( s ? 0, t ? 0) ，则 I 的值 ? s 0 sA. 依赖于 s , t , x C. 依赖于 t ，不依赖于 sB. 依赖于 s , t D. 依赖于 s ，不依赖于 t（2）设在 [a, b] 上 f ( x ) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0, 令b 1 s1 ? ? f ( x)dx, s 2 ? f (b)(b ? a), s 3 ? [ f (a ) ? f (b)](b ? a) ，则（ a 2） ．A. s1 ? s 2 ? s 3（3） F ( x ) ?B. s 2 ? s1 ? s3C. s 3 ? s1 ? s 2） ．D. s 2 ? s 3 ? s1?x ? 2? xe sin t sin tdt ，则 F ( x) 为（B. 负常数 C. 恒为零） ．?? ??A. 正常数D. 不为常数（4）下列反常积分发散的是（A.二、计算题?1 ?11 1? x2dxB. ?xe ? x dx2C. ??? 21 dx x ln 2 xD. ?1 ?11 dx sin x（1）求 limn ??1 1 2 n ( ? ??? )． 2 2 2 n n ?1 n ? n2 n ?4（2）设函数 f ( x ) 可导，且 f (0) ? 0 ， F ( x ) ??x 0t n ?1 f ( x n ? t n )dt ，求 limx?0F ( x) ． x 2n（3）计算?1 1 2arcsin x x(1 ? x )dx ．?（4）计算?4 0x tan x sec 2 xdx ．（5）已知 lim (x ??a x?a x ) ? ? te 2t dt ，求 a 的值． ?? x?a9?（6）设连续非负函数满足 f ( x ) f (? x) ? 1 (?? ? x ? ??) ，求 I ???2 ? 2cos x dx ． 1 ? f ( x)三、当 x ? 0, t ? 0 时 f ( x ) 满足方程?xt1f (u )du ? t ? f (u )du ? ? xf (u )du1 1xt且 f ( x ) 在 [0,??) 有连续一阶导数,又 f (1) ? 3 ，求 f ( x ) ．四、设 f ( x ) ， g ( x) 在区间 [? a, a ] (a ? 0) 上连续， g ( x) 为偶函数，且 f ( x ) 满足条件：f ( x ) ? f ( ? x) ? A（1）证明：（ A 为常数） ．a 0?a ?af ( x ) g ( x )dx ? A??g ( x )dx ；sin x arctan e x dx ．（2）利用（1）结论计算定积分??? 22五、设 f ( x ) 在 ?0,1? 上连续且单调递减，又设 f ( x ) ? 0 ，证明：对于任意满足 0 ? ? ?? ? 1的? 和 ? ，恒有 ? ? f ( x )dx ? ? ? f ( x)dx ．0 0??10补充例 1、设函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上连续，且 ? f ( x )dx ? 0 ， ? f ( x)cos xdx ? 0 ．0 0??试证在 (0, ? ) 内至少存在两个不同的点 ?1 , ? 2 使得 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0 ． 分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数 F ( x) ? ? f (t )dt ，找出 F ( x)0 x的三个零点，由已知条件易知 F (0) ? F (? ) ? 0 ， x ? 0 ， x ? ? 为 F ( x) 的两个零点，第三个 零点的存在性是本题的难点． 另一种方法是利用函数的单调性， 用反证法证明 f ( x) 在 (0, ? ) 之间存在两个零点． 证法 1 令 F ( x ) ? ? f (t )dt , 0 ? x ? ? ，则有 F (0) ? 0, F (? ) ? 0 ．又0 x??0f ( x) cos xdx ? ? cos xdF ( x) ? [cos xF ( x)]? 0 ? ? F ( x )sin xdx0 0??? ? F ( x)sin xdx ? 0 ，0?由积分中值定理知，必有 ? ? (0, ? ) ，使得??0F ( x)sin xdx = F (? )sin ? ? (? ? 0) ．故 F (? )sin ? ? 0 ．又当 ? ? (0, ? ), sin ? ? 0 ，故必有 F (? ) ? 0 ．? 2 ? (? , ? ) ， 于是在区间 [0, ? ],[? , ? ] 上对 F ( x) 分别应用罗尔定理， 知至少存在 ?1 ? (0, ? ) ，使得 F ?(?1 ) ? F ?(? 2 ) ? 0 ，即 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0 ． 证法 2 由已知条件 ? f ( x )dx ? 0 及积分中值定理知必有0???0f ( x)dx ? f (?1 )(? ? 0) ? 0 ， ?1 ? (0, ? ) ，则有 f (?1 ) ? 0 ． 若在 (0, ? ) 内， f ( x) ? 0 仅有一个根 x ? ?1 ，由 ? f ( x )dx ? 0 知 f ( x) 在 (0, ?1 ) 与 (?1 , ? ) 内0?异号，不妨设在 (0, ?1 ) 内 f ( x) ? 0 ，在 (?1 , ? ) 内 f ( x ) ? 0 ，由???0f ( x)cos xdx ? 0 ， ? f ( x)dx ? 0 ，0?以及 cos x 在 [0, ? ] 内单调减，可知：0 ? ? f ( x )(cos x ? cos ?1 )dx = ? f ( x)(cos x ? cos ?1 ) dx ? ? f ( x )(cos x ? cos ?1 ) dx ? 0 ． 00?1??1由此得出矛盾．故 f ( x) ? 0 至少还有另一个实根 ? 2 ， ?1 ? ? 2 且 ? 2 ? (0, ? ) 使得f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0.11例 2、设函数 f ( x) 连续，? ( x) ? ? f ( xt )dt ，且 lim0x ?01f ( x) ? A（ A 为常数） ，求 ? ?( x ) 并讨论 ? ?( x ) 在 xx ? 0 处的连续性．分析求 ? ?( x ) 不能直接求，因为 ? f ( xt )dt 中含有 ? ( x) 的自变量 x ，需要通过换元将 x01从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出 ? ?( x ) ，最后用函数连续 的定义来判定 ? ?( x ) 在 x ? 0 处的连续性． 解 由 limx ?0f ( x) ? A 知 lim f ( x ) ? 0 ，而 f ( x) 连续，所以 f (0) ? 0 ， ? (0) ? 0 ． x ?0 x 1 du ， x当 x ? 0 时，令 u ? xt ， t ? 0 ， u ? 0 ； t ? 1 ， u ? x ． dt ?? 则 ? ( x) ?又因为 limx ?0x0f (u )du x，从而 ? ?( x ) ?xxf ( x) ? ? f (u ) du0xx2( x ? 0)? ( x) ? ? (0)x?0? ? limx ?00f (u ) du x2? limx ?0f ( x) A A ? ，即 ? ?(0) ? ． 2x 2 2所以? xf ( x ) ? x f (u )du ?0 ? , x?0 ? x2 ? ?( x) = ? ． ?A x?0 ? , ?2xf ( x) ? ? f (u )du x0 2 x由于 lim ? ?( x ) ? limx ?0 x ?0f ( x) ? f (u )du = A ? ? ?(0) ． ? lim ? lim 0 2 x ?0 x ?0 x x 2x从而知 ? ?( x ) 在 x ? 0 处连续． 注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：xf ( x) ? ? f (u )du x0 2 x（1）直接求出 ? ?( x) ?，而没有利用定义去求 ? ?(0) ，就得到结论 ? ?(0) 不存在或 ? ?(0) 无定义，从而得出 ? ?( x ) 在 x ? 0 处不连续的结论． （2）在求 lim ? ?( x ) 时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致x?0lim ? ?( x ) ?x ?0xf ?( x) ? f ( x ) ? f ( x ) 1 ? lim f ?( x). 2x 2 x ?0f ( x) ? A 用洛必达法则得到 lim f ?( x ) = A ，出现该错误的原因是由于使用洛必 x?0 x 达法则需要有条件： f ( x) 在 x ? 0 的邻域内可导．但题设中仅有 f ( x) 连续的条件，因此又由 limx ?0上面出现的 lim f ?( x ) 是否存在是不能确定的．x?012例 3、证明：若函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续且单调增加，则有 证法 1 令 F ( x) = ? tf (t ) dt ?a x?baxf ( x)dx ?a?b b f ( x) dx ． 2 ?aa? x x f (t ) dt ，当 t ? [a, x] 时， f (t ) ? f ( x) ， 2 ?a则 F ?( x ) = xf ( x) ?1 x a? x x?a 1 x f (t ) dt ? f ( x) = f ( x) ? ? f (t ) dt ? a 2 2 2 2 a?=x?a 1 x f ( x ) ? ? f ( x) dt 2 2 a x?a x?a f ( x) ? f ( x) 2 2?0．故 F ( x) 单调增加．即 F ( x ) ? F (a) ，又 F (a) ? 0 ，所以 F ( x) ? 0 ，其中 x ? [a, b] ． 从而 F (b) = ? xf ( x) dx ?a ba?b b f ( x )dx ? 0 ．证毕． 2 ?a a?b a?b )[ f ( x ) ? f ( )] ? 0 ，从而 2 2证法 2由于 f ( x) 单调增加，有 ( x ??即 ? (x ?a bba(x ?a?b a?b )[ f ( x ) ? f ( )]dx ? 0 ． 2 2b a?b a?b a?b a?b b a?b ) f ( x) dx ? ? ( x ? )f( ) dx = f ( ) (x ? ) dx = 0 ． a 2 2 2 2 ?a 2故 ? xf ( x)dx ?aba?b b f ( x) dx ． 2 ?a例 4、? (1 ? cos x) sin x dx .1 ? sin x 1 1 ? ? (1 ? cos x ) sin x (1 ? cos x) sin x 1 ? cos x 1 ? sin x 1 1 dx ? ? dx ? ? dx (1 ? cos x) sin x (1 ? cos x ) sin x 1 ? cos x1 ? sin x思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换 t ? cos x 和万能代换！ 解：???对积分? (1 ? cos x) sin x dx ，令 t ? cos x, x ? (0, ? ) ，则 dx ? ?? dt1dt 1? t2,sin x ? 1 ? t 2 ;??1 dt dt 1? t2 ? dx ? ? ?? ? 2 (1 ? cos x) sin x (1 ? t )(t ? 1) (1 ? t ) 2 (t ? 1) (1 ? t ) 1 ? t 2，等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的系数得：令1 A B C ? ? ? 2 (1 ? t ) (t ? 1) t ? 1 1 ? t (1 ? t ) 2131 ? ? A? 4 ? A? B ? 0 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 解之得： ? ? ? ? ? ? ? 2A? C ? 0 ?B ? ? ? 2 4 (1 ? t ) (t ? 1) 4 t ? 1 4 1 ? t 2 (1 ? t ) 2 ?A ? B ? C ?1 ? ? 1 ? ?C ? ? 2 ??? 1 1 1 1 1 1 1 dt ? ? dt ? ? dt ? ? dt 2 4 t ?1 4 1? t 2 (1 ? t )2 (1 ? t ) (t ? 1) 1 1 1 1 ? ln t ? 1 ? ln t ? 1 ? ? ? C1 4 4 2 1? t??1 1 1 1 1 dx ? ln 1 ? cos x ? ln 1 ? cos x ? ? ? C1 ; (1 ? cos x) sin x 4 4 2 1 ? cos x x 1? t2 2dt 1 dx ? ? t tan , c os x , dx ? ，令 2 ? 1 ? cos x 2 1? t 1? t2对积分2dt 2dt 2 2 x 1 dx ? ? 1 ? t 2 ? ? 1 ? t 2 ? ? dt ? t ? C2 ? tan ? C2 ; ?? 1? t 1? t 1 ? cos x 2 1? 1? 2 2 1? t 1? t x 1 ? sin x 1 1 1 1 ?? dx ? ln 1 ? cos x ? ln 1 ? cos x ? ? ? tan ? C3 (1 ? cos x) sin x 4 4 2 1 ? cos x 2 1 x 1 x x ? ln tan ? tan 2 ? tan ? C. 2 2 4 2 2例 5、求曲线 y ? ln x 在区间 (2, 6) 内的一条切线，使得该切线与直线 x ? 2 ， x ? 6 和曲线 y ? ln x 所围成平面图形的面积最小（如图所示）． 分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．yy ? ln x3解 设所求切线与曲线 y ? ln x 相切于点 (c,ln c) ，则切线方程1 为 y ? ln c ? ( x ? c ) ．又切线与直线 x ? 2 ， x ? 6 和曲线 c y ? ln x 所围成的平面图形的面积为(c,ln c)21o ?112 3x?245 67x ?6x6 1 4 A = ? [ ( x ? c ) ? ln c ? ln x ]dx = 4( ? 1) ? 4ln c ? 4 ? 6ln 6 ? 2ln 2 ． 2 c c由于 令dA 16 4 4 = ? 2 ? = ? 2 (4 ? c) ， dc c c cdA dA dA ? 0 ，解得驻点 c ? 4 ．当 c ? 4 时 ? 0 ，而当 c ? 4 时 ?0． dc dc dc 1 x ? 1 ? ln 4 ． 4故当 c ? 4 时， A 取得极小值．由于驻点唯一． 故当 c ? 4 时， A 取得最小值．此时切线方程为： y ?14例 6、过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线，该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D ． （1）求 D 的面积 A ； （2）求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A ，旋转y 11 y? x ey ? ln xo123y ? ln xx体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行计算，如图所示． 解（1）设切点横坐标为 x0 ，则曲线 y ? ln x 在点 ( x0 ,ln x0 ) 处的切线方程是y ? ln x0 ? 1 ( x ? x0 ) ． x01 由该切线过原点知 ln x0 ? 1 ? 0 ，从而 x0 ? e ，所以该切线的方程是 y ? x ． e从而 D 的面积 A ? ? (e y ? ey )dy ?01e ?1 ． 21 （2）切线 y ? x 与 x 轴及直线 x ? e 围成的三角形绕直线 x ? e 旋转所得的旋转体积为 e 1 V1 ? ? e 2 ， 3 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x ? e 围成的图形绕直线 x ? e 旋转所得的旋转体积为1 1 1 V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy ? ? ( ? e 2 ? 2e ? ) ． 0 2 2因此，所求体积为V ? V1 ? V2 ??6(5e 2 ? 12e ? 3) ．例 7、某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层 对桩的阻力而作功， 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 （比例系数为 k ， ，汽锤第一次击打进地下 a （ m ） ，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功 k ? 0） 与前一次击打时所作的功之比为常数 r （ 0 ? r ? 1 ） ．问： （1）汽锤打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ （2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注： m 表示长度单位米） 分析 解 本题属于变力作功问题，可用定积分来求． （1）设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 Wn （ n ? 1 ， ．由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ， 2 ，? ） 所以 W1 ? ? kxdx ?0 x1 x2 k 2 k 2 k k x1 ? a ， W2 ? ? kxdx ? ( x2 2 ? x12 ) ? ( x12 ? a 2 ) ． x1 2 2 2 2由 W2 ? rW1 得 x22 ? x12 ? ra 2 ，即 x22 ? (1 ? r )a 2 ，W3 ? ? kxdx ?x2 x3k 2 k ( x3 ? x2 2 ) ? [ x3 2 ? (1 ? r )a 2 ] ． 2 215由 W3 ? rW2 ? r 2W1 得 x32 ? (1 ? r )a 2 ? r 2 a 2 ，即 x32 ? (1 ? r ? r 2 )a 2 ． 从而汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 x3 ? a 1 ? r ? r 2 （ m ） ． （2）问题是要求 lim xn ，为此先用归纳法证明： xn ?1 ? a 1 ? r ? ? ? r n ．n ??假设 xn ? 1 ? r ? ? ? r n ?1 a ，则Wn ?1 ? ?xn ?1 xnkxdx ?k k ( xn ?12 ? xn 2 ) ? [ xn ?12 ? (1 ? r ? ... ? r n ?1 ) a 2 ] ． 2 2由 Wn ?1 ? rWn ? r 2Wn?1 ? ... ? r nW1 ，得 xn ?12 ? (1 ? r ? ... ? r n ?1 )a 2 ? r n a 2 ．1 ? r n ?1 a ． a? 1? r 1? r从而 xn ?1 ? 1 ? r ? ? ? r n a .于是 lim xn?1 ? limn ?? n ??若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下a ( m) ． 1? r例 8 、 求曲线 y ?x ?0 ? x ? 4? 上的一条切线，使此切线与直线 x ? 0 ， x ? 4 以及曲线y ? x 所围成的平面图形的面积最小.解 ：设 ? x0 , y0 ? 为曲线 y ?x ?0 ? x ? 4? 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：y ? y0 ?1 ? x ? x0 ? 即 y ? y0 ? x . 2 2 x0 2 x0得其与 x ? 0 ， x ? 4 的交点分别为 ? 0,? ?y 0 ? ? y0 2 ? ? ， ? 4, ? ? ?. 2? ? ? 2 y0 ?x 所围的平面图形面积为：于是由此切线与直线 x ? 0 ， x ? 4 以及曲线 y ?? 4? y 4 16 x 4 16 ? S?? ? 0 ? ? x ?dx ? 2 y0 ? ? 2 x0 ? ? . ? 0 ? 2 2 x0 x0 3 x0 3 ? ?问题即求 S ? 2 x ?1 2 3 24 16 ? ?0 ? x ? 4? 的最小值. x 3且为唯一极小值.令S ? x?? 2x?? 0 得唯一驻点 x ? 2所以 当 x ? 2 时，S 最小. 即所求切线即为： y ?x 2 2?2 . 216不定积分补充( 1)? sin x cos x .思路:凑微分。 方法一：倍角公式 sin 2 x ? 2sin x cos x 。dx? sin x cos x ? ? sin 2 x ? ? csc 2 xd 2 x ? ln | csc 2 x ? cot 2 x | ?C方法二：将被积函数凑出 tan x 的函数和 tan x 的导数。dx2dx? sin x cos x ? ? sin x cosdxcos x2xdx ? ?1 1 sec 2 xdx ? ? d tan x ? ln | tan x | ? C tan x tan x方法三： 三角公式 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ，然后凑微分。dx sin 2 x ? cos 2 x sin x cos x d cos x d sin x ? ? sin x cos x ? sin x cos x dx ? ? cos x dx ? ? sin x dx ? ? ? cos x ? ? sin x? ? ln | cos x | ? ln | sin x | ?C ? ln | tan x | ?C( 2)? 2xdx . 2 ?1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：? 2x? ?dx dx 1 1 1 ?? ? ?( ? )dx 2 ?1 ( 2 x ? 1)( 2 x ? 1) 2 2x ?1 2x ?112 1 2?( 2 ? 21 2 x ?1?1 2x ?1)d 2 x1 1 d ( 2 x ? 1) ? 2x ?1 2 2?1 1 d ( 2 x ? 1) ? ln 2x ? 1 2 22x ?1 ? C. 2x ?1( 3)?1? edxx.解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 e x ，则凑微分易得。dx e? x 1 1 ?x ?x ?x ? ? 1 ? e x ? e? x ? 1dx ? ?? e? x ? 1d (e ) ? ? ? e? x ? 1d (e ? 1) ? ? ln | e ? 1| ?C方法二：思路:分项后凑微分dx 1 ? ex ? ex ex 1 x ? dx ? 1 dx ? ? 1 ? ex ? 1 ? ex ? ? 1 ? e x dx ? x ? ? 1 ? e x d (1 ? e )17? x ? ln |1 ? e x | ?C ? x ? ln(e x | e ? x ? 1|) ? C ? x ? (ln e x ? ln | e ? x ? 1|) ? C ? ? ln | e ? x ? 1| ?C方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 e x ，裂项后凑微分。dx e x dx de x 1 ? x 1 ?1 ? de ? ln e x ? ? d (1 ? e x ) x x ? x ? 1 ? e x ? ? e x (1 ? e x ) ? ? e x (1 ? e x ) ? ? ? 1? e ? e 1? e ?? x ? ln |1 ? e x | ?C ? ? ln | e ? x ? 1| ?C( 4)? x( xdx . 6 ? 4)解：方法一: 思路：分项后凑积分。dx 1 4dx 1 x 6 ? 4 ? x 6 dx 1 ? 1 x5 ? ? ? ? ? ?dx 6 ? x( x6 ? 4) 4 ? x( x6 ? 4) 4 ? x( x6 ? 4) 4 ? ? ? x x ?4?1 1 d ( x 6 ? 4) 1 1 ? ln | x | ? ? 6 ? ln | x | ? ln | x 6 ? 4 | ?C 4 24 x ?4 4 24方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令 x ? ，则 dx ? ?1 t1 dt 。 t2??dx t 1 1 d (4t 6 ) 1 d (4t 6 ? 1) ? ? ( ? ) dt ? ? ? ? x( x 6 ? 4) ? 1 t2 24 ? 1 ? 4t 6 24 ? 1 ? 4t 6 ? 4 t6 1 1 4 ? ? ln(1 ? 4t 6 ) ? C ? ? ln(1 ? 6 ) ? C . 24 24 x(5)设 I n ? tan xdx, ，求证： I n ??n1 tan n ?1 x ? I n -2 ，并求 ? tan 5 xdx 。 n ?1思路:由目标式子可以看出应将被积函数 tan n x 分开成 tan n ? 2 x tan 2 x ，进而写成：tan n ? 2 x (sec2 x ? 1) ? tan n ?2 x sec 2 x ? tan n ?2 x ，分项积分即可。证明： I n ? tan xdx ? (tan?n?n? 2x sec 2 x ? tan n?2 x )dx ? ? tan n?2 x sec 2 xdx ? ? tan n? 2 xdx18? ? tan n ? 2 xd tan x ?I n ? 2 ?1 tan n ?1 x ? I n ? 2 . n ?1 1 1 1 n ? 5时，I 5 ? ? tan 5 xdx ? tan 4 x ? I3 ? tan 4 x ? tan 2 x ? I1 4 4 2 1 1 1 1 ? tan 4 x ? tan 2 x ? ? tan xdx ? tan 4 x ? tan 2 x ? ln cos x ? C. 4 2 4 2(5) ( x ? 1) sin 2 xdx .?2思路：分项后对第一个积分分部积分。 解： ( x ? 1) sin 2 xdx ??2?x21 1 sin 2 xdx ? ? sin 2 xdx ? ? x 2 d (? cos 2 x) ? cos 2 x 2 21 1 1 1 1 ? ? x 2 cos 2 x ? ? 2 x cos 2 xdx ? cos 2 x ? ? x 2 cos 2 x ? ? xd sin 2 x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? cos 2 x ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? ? sin 2 xdx ? cos 2 x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? C 2 2 4 2 1 1 3 1 3 x ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C ? ? ( x sin 2 x ? ) cos 2 x ? sin 2 x ? C . 2 2 4 2 2 2(6) e dx .?3x思路：首先换元，后分部积分。 解：令 t ?33x ，则 x ? t 3 , dx ? 3t 2 dt ,? ? e x dx ? ? et 3t 2 dt ? 3? et t 2 dt ? 3? t 2 det ? 3t 2 et ? 3? 2tet dt ? 3t 2 et ? 3? 2tdet ? 3t 2 et ? 6et t ? 6 ? et dt ? 3t 2 et ? 6et t ? 6et ? C ? 3 3 x2 e(7) x ln3 3 3 3x? 6ex 3x ? 6ex? C ? 3e x ( 3 x 2 ? 2 3 x ? 2) ? C .?1? x dx 1? x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解： x ln?1? x 1? x 1 2 1 2 1? x 1 2 1? x 1? x ?1? x dx ? ? ln d ( x ) ? x ln ? x ? dx 1? x 1? x 2 2 1 ? x 2 ? 1 ? x (1 ? x )21 2 1? x x2 1 1? x 1 x ln ?? dx ? x 2 ln ? ? dx ? ? dx 2 2 1? x 1? x 2 1? x 1 ? x2 1 1? x 1 1 1 1 1? x 1 ? x 2 ln ? x? ?( ? )dx ? x 2 ln ? x ? ? ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x )? 2 1? x 2 1? x 1? x 2 1? x 2 ?191 2 1? x 1 1? x 1 1? x x ln ? x ? ln ? C ? ( x 2 ? 1) ln ? x?C 2 1? x 2 1? x 2 1? x 1? x dx ? ? x[ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)]dx 再利用分部积分法计算。 注： 该题也可以化为 ? x ln 1? x ?? x ln?1? x x2 dx ? ? x[ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x)]dx ? ? [ln(1 ? x) ? ln(1 ? x )]d 1? x 2 x2 1 ? x x2 1 1 x2 1 ? x x2 ln ? ? ?[ ? ]dx ? ln ?? dx 2 1? x 2 1? x 1? x 2 1? x 1 ? x2 x2 1 ? x 1 ? x2 ?1 x2 1 ? x 1 1 1 ln ?? dx ? ln ? ? dx ? ? [ ? ]dx 2 2 1? x 1? x 2 1? x 2 1? x 1? x x2 1 ? x 1 1? x ln ? x ? ln ?C 2 1? x 2 1? x??练一练：设 I n ?? sindxnx， (n ? 2) ；证明： I n ? ?1 cos x n ? 2 ? n ?1 ? I n? 2 。 n ? 1 sin x n ? 1知识点：仍然是分部积分法的练习。 思路分析：要证明的目标表达式中出现了 I n ，cos x 和 I n? 2 sin n ?1 x提示我们如何在被积函数的表达式1 cos x 中变出 n sin x sin n ?1 x的介绍，这里1 可变为 sin和21 sin n ? 2 x呢？这里涉及到三角函数中1 的变形应用，初等数学中有过专门x ? cos2 x 。(8)设 f (x )为单调连续函数， f -1(x)为其反函数，且? f ( x)dx ? F ( x) ? C，求：?f?1(x)dx 。知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白 x ? f ( f ?1 ( x)) 这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。 解：??f-1(x )dx=x f -1(x )- ? xd(f -1(x ))又? x? f ( f ?1 ( x ))? ? f ?1 ( x)dx ? f ?1 ( x) ? ? xd ( f ?1 ( x)) ? f ?1 ( x) ? ? f ( f ?1 ( x)) d ( f ?1 ( x ))又?? f ( x)dx ? F ( x) ? C? ? f ?1 ( x)dx ? f ?1 ( x) ? ? f ( f ?1 ( x ))d ( f ?1 ( x)) ? f ?1 ( x) ? F ( f ?1 ( x )) ? C.(9)?x4dx . ?1思路：将被积函数裂项后分项积分。20解：? x 4 ? 1 ? ( x 2 ? 1 ? 2 x )( x 2 ? 1 ? 2 x )令1 Ax ? B Cx ? D ，等式右边通分后比较两边分子 x 的同次项的系数得： ? 2 ? 2 x ? 1 x ? 1 ? 2x x ? 1 ? 2x4? 2 ?A ? ? A?C ? 0 ? 4 ? ? 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 0 A B C D ? B? 解之得： ? ? ? 2 ? ? A ? 2B ? C ? 2D ? 0 ?C? 2 ? B ? D ?1 ? ? 4 ? ? D?1 ? 2 ?1 1 2x ? 2 1 2x ? 2 2 (2 x ? 2) ? 2 2 (2 x ? 2) ? 2 ?? ? ?? ? x4 ? 1 4 x2 ? 1 ? 2 x 4 x2 ? 1 ? 2 x 8 8 2 2 1 2 2 1 (x ? ) ? (x ? ) ? 2 2 2 2 2 (2 x ? 2) (2 x ? 2) 1 1 1 ? [ ? ]? [ ? ] 8 2 2 1 2 2 1 4 2 2 1 2 2 1 (x ? ) ? (x ? ) ? (x ? ) ? (x ? ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dx 2 (2 x ? 2) (2 x ? 2) 1 1 ? ]dx ?? 4 ? [ ? ]dx ? ? [ ? x ?1 8 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ? (x ? ) ? (x ? ) ? (x ? ) ? (x ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ??2 (2 x ? 2) (2 x ? 2) 1 [? 2 dx ? ? 2 dx] ? [? 8 4 x ? 1 ? 2x x ? 1 ? 2x1 2 2 1 (x ? ) ? 2 2dx ? ?1 2 2 1 (x ? ) ? 2 2dx]?2 1 1 d ( x 2 ? 1 ? 2 x) ? ? 2 d ( x 2 ? 1 ? 2 x)] [? 2 8 x ? 1 ? 2x x ? 1 ? 2x?2 1 1 [? d ( 2 x ? 1) ? ? d ( 2 x ? 1)] 2 4 ( 2 x ? 1) ? 1 ( 2 x ? 1)2 ? 1?2 x2 ? 2x ? 1 2 ln 2 ? [arctan( 2 x ? 1) ? arctan( 2 x ? 1)] ? C 8 4 x ? 2x ?12 x2 ? 2x ?1 2 2x ln 2 ? (arctan ) ? C. 8 1 ? x2 x ? 2x ? 1 4??注：由导数的性质可证 arctan( 2 x ? 1) ? arctan( 2 x ? 1) ? arctan本题的另一种解法：2x 1 ? x221?1 1 x 2 ? 1 x2 ? 1 ? [ 4 ? ] x ? 1 2 x ? 1 x4 ? 14dx x2 ? 1 1 x2 ? 1 1 ?? 4 ? [? 4 dx ? ? 4 dx] ? [ ? x ?1 2 x ?1 x ?1 2 1 ? [? 2 11 1 1? 2 x 2 dx ? x dx] ? 2 1 1 x2 ? 2 x ? 2 x x 1?1 1 1 d(x ? ) ? ? d ( x ? )] 1 1 x x x2 ? 2 x2 ? 2 x x 1 1 1 1 1 ? [? d (x ? ) ? ? d ( x ? )] 1 2 1 2 x x 2 (x ? ) ? 2 (x ? ) ? 2 x x 1 x? 2 1 1 1 1 x)? 2[ ( ? d ( ? )d ( x ? )] 1 1 1 4 ? 8 ? x 2 x? ( x ? ) ? 2 (x ? ) ? 2 2 x x x ( ) ?1 2?2 4?x2 ? 1 1 2 1 1 d( d ( x ? ? 2) )? [? 2 1 x 8 x ?1 2 2x x? ? 2 1? ( ) x 2x21 ? 2 x ?1 1 1 2 2 x arctan ln ?? d ( x ? ? 2)] ? ? ?C 1 1 4 8 x 2 x x? ? 2 x? ? 2 x x x?? 2 2 x2 ? 2x ? 1 x2 ? 1 ? ?C arctan ln 2 4 8 x ? 2x ?1 2x?2 x2 ? 2x ? 1 2 2x ln 2 ? (arctan ) ? C. 8 1 ? x2 x ? 2x ? 1 4注：由导数的性质可证 arctanx2 ? 1 2x??2? arctan2x 1 ? x2。(10)? 3 ? cos x .思路：万能代换！dx解：令 t ? tan1? t2 2dt x , dx ? ; ，则 cos x ? 2 2 1? t 1? t22dt 2 dx dt t 1 ?? ? ? 1? t 2 ? ? ? arctan ?C 2 1? t 3 ? cos x 2?t 2 2 3? 1? t2 1 1 dx x arctan( tan ) ? C. ?? ? 3 ? cos x 2 2 222注：另一种解法是：x sec2 dx dx 1 dx 1 2 dx ? ? ? ? ? 3 ? cos x ? ? 2 2 2 x 2 x 2 x 3 ? 2 cos ? 1 1 ? cos sec ? 1 2 2 2?(11)x x x 1 1 1 1 d tan ? ? d tan ? arctan( tan ) ? C . x x 2 2 2 2 2 tan 2 ? 2 (tan ) 2 ? ( 2)2 2 2? (5 ? 4sin x) cos x思路一：万能代换！ 解：令 t ? tandxx 2t 1? t2 2dt ，则 sin x ? , cos x , dx ? ; ? 2 2 2 1? t 1? t 1? t2dx ? ? (5 ? 4sin x) cos x2dt 2(1 ? t 2 ) dt 1? t2 ? 2 2 2t 1 ? t (5t ? 8t ? 5)(1 ? t 2 ) (5 ? 4 ) 1 ? t 2 1 ? t2 2 4 )dt ? ?( 2 ? 2 5t ? 8t ? 5 (5t ? 8t ? 5)(t 2 ? 1)4 4 ， ? 2 2 (5t ? 8t ? 5)(t ? 1) (5t ? 8t ? 5)(t ? 1)(t ? 1)2而 令4 At ? B C D ，等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的 ? 2 ? ? (5t ? 8t ? 5)(t ? 1)(t ? 1) 5t ? 8t ? 5 t ? 1 t ? 12系数得：? 5 ? A ? 5C ? 5 D ? 0 ? B ? 13C ? 3D ? 0 ? A= 解之得： ? 2 , ? ? ? ?B= 7 ?? A ? 13C ? 3D ? 0 ? 8 ? ? ? B ? 5C ? 5D ? 41 ? C? ? ? 16 ; ? ?D ? ? 9 ? 16 ??4 1 20t ? 7 1 1 9 1 ? ? 2 ? ? ? ? (5t ? 8t ? 5)(t ? 1)(t ? 1) 8 5t ? 8t ? 5 16 t ? 1 16 t ? 121 1 9 1 1 10t ? 8 9 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 16 t ? 1 16 t ? 1 4 5t ? 8t ? 5 8 5t ? 8t ? 5 dx 1 1 9 1 1 10t ? 8 7 1 ? ? (? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ) dt (5 ? 4sin x) cos x 16 t ? 1 16 t ? 1 4 5t ? 8t ? 5 8 5t ? 8t ? 5 dx 1 1 9 1 1 10t ? 8 7 1 dt ? ? dt ? ? 2 dt ? ? 2 dt ?? ?? ? (5 ? 4sin x ) cos x 16 t ? 1 16 t ? 1 4 5t ? 8t ? 5 8 5t ? 8t ? 5 1 9 1 7 5t ? 4 ? ? ln t ? 1 ? ln t ? 1 ? ln(5t 2 ? 8t ? 5) ? arctan( )?C 16 16 4 24 3 x 5 tan ? 4 1 9 1 7 x x x 2 x 2 ? ? ln tan ? 1 ? ln tan ? 1 ? ln(5 tan ? 8 tan ? 5) ? arctan( )?C 16 2 16 2 4 2 2 24 3 ?23思路二：利用代换 t ? sin x ！? 解：令 t ? sin x， x & ，则 dx ?2dt 1? tdt2, cos x ? 1 ? t 2dx dt dt 1? t2 ?? ?? ? ?? 2 2 t t t (5 ? 4sin x ) cos x (5 ? 4 )(1 ? ) (5 ? 4 )(t 2 ? 1) (5 ? 4t ) 1 ? t 1 1 ? ? (5 ? 4t )(t 2 ? 1) (5 ? 4t )(t ? 1)(t ? 1) ??令1 A B C ，等式右边通分后比较两边分子 t 的同次项的系数得： ? ? ? 2 (5 ? 4t )(t ? 1) 5 ? 4t t ? 1 t ? 116 ? ? A? 9 ? A ? 4 B ? 4C ? 0 ? 解之得: ? 1 1 16 1 1 1 1 1 ? ? 9B ? C ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?B? 2 ?? A ? 5 B ? 5C ? 1 18 (5 ? 4t )(t ? 1) 9 5 ? 4t 18 t ? 1 2 t ? 1 ? ? 1 ? ?C ? ? 2 ???dt 16 1 1 1 1 1 ? ? dt ? ? dt ? ? dt 2 (5 ? 4t )(t ? 1) 9 5 ? 4t 18 t ? 1 2 t ?1 4 1 1 ? ln 5 ? 4t ? ln 1 ? t ? ln 1 ? t ? C 9 18 2??4 1 1 dx ? ? ln 5 ? 4sin x ? ln 1 ? sin x ? ln 1 ? sin x ? C. (5 ? 4sin x) cos x 9 18 2注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！ (12)设 F( x ) 为 f ( x ) 的原函数，当 x &0 时 f ( x)F( x) ? sin 2 2x ，且 F (0) ? 1 ， F ( x) ? 0 试求 f ( x ) 。 知识点：原函数的定义性质考察。 思路分析：注意到 dF ( x) ? f ( x )dx ，先求出 F ( x) ，再求 f ( x ) 即可。? f ( x) F ( x)dx ? sin 2xdx 解：? f ( x) F ( x) ? sin 2 x；2??21 2 xdx, ? ( F ( x)) 2 ? ? sin 2 2 xdx, 2 1 ? ( F ( x )) 2 ? 2? sin 2 2 xdx ? ? (1 ? cos 4 x)dx ? x ? sin 4 x ? C ; 4 1 2 又 F (0) ? 1,? C ? 1;? ( F ( x)) ? x ? sin 4 x ? 1;(x ? 0.) 4即? F ( x)dF ( x) ? ? sin2又 F ( x)1 ? 0,? F ( x) ? x ? sin 4 x ? 1, 4又f ( x) F ( x ) ? sin 2 2 x,? f ( x ) ?sin 2 2 x 。 1 x ? sin 4 x ? 1 424(13)? 5 cos x ? 2sin x dx .思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。7 cos x ? 3sin x解：? 7 cos x ? 3sin x ? 5 cos x ? 2 sin x ? (5cos x ? 2 sin x ) ??? 7 cos x ? 3sin x 5cos x ? 2sin x ? (5cos x ? 2sin x) ? dx ? ? dx 5cos x ? 2sin x 5cos x ? 2sin x (5cos x ? 2sin x) ? d (5cos x ? 2sin x) ]dx ? ? dx ? ? ? ? [1 ? 5cos x ? 2sin x 5cos x ? 2sin x d (5cos x ? 2sin x ) ? ? dx ? ? ? x ? ln 5cos x ? 2sin x ? C. 5cos x ? 2sin x(14)求不定积分： [?f ( x) f 2 ( x ) f ??( x) ? ]dx . f ?( x) f ?3 ( x)知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。 思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。解： [?f ( x) f 2 ( x ) f ??( x ) f ( x) f 2 ( x) f ??( x ) ] dx dx ? ? ? ? f ?( x) ? f ?3 ( x) dx f ?( x) f ?3 ( x)而?f 2 ( x ) f ??( x) f 2 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) ? ? ? ? ? ? dx df ( x ) f ( x ) f ( x ) d ( ) ? f ?3 ( x) ? f ?3 ( x ) f ?3 ( x ) f ?3 ( x )? f 2 ( x) 2 f ( x) f ?4 ( x ) ? 3 f ?5 ( x) f ??( x ) f 2 ( x) ? ? f ( x ) dx f ?2 ( x ) ? f ?6 ( x) f 2 ( x) f ( x) f 2 ( x) f ??( x ) ? 2 dx ? 3 ? f ?( x) ? f ?3 ( x) dx f ?2 ( x )?? ?[ ? ?[(15)f ( x) f 2 ( x) f ??( x ) f 2 ( x) f ( x ) f 2 ( x) f ??( x) ] dx 3 [ ? ? ? ? ? f ?( x) ? f ?3 ( x) ]dx f ?( x ) f ?3 ( x) f ?2 ( x ) f ( x) f 2 ( x) f ??( x ) 1 f 2 ( x) ? ] dx ? ? C. f ?( x ) f ?3 ( x) 2 f ?2 ( x )x3 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 2)100 dx .思路：将被积函数分项后分部积分。 解：? x 3 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 2)3 ? 6( x ? 2)2 ? 10( x ? 2) ? 5;25??x3 ? 2 x ? 1 ( x ? 2)3 ? 6( x ? 2) 2 ? 10( x ? 2) ? 5 dx ? dx ? ( x ? 2)100 ( x ? 2)100 dx dx dx dx ?? ? 6? ? 10 ? ? 5? 97 98 99 ( x ? 2) ( x ? 2) ( x ? 2) ( x ? 2)100 1 6 5 5 ?? ? ? ? ? C. 96 97 98 96( x ? 2) 97( x ? 2) 49( x ? 2) 99( x ? 2)99(16) sin x sin 2 x sin 3 xdx .?思路:将被积函数积化和差。1 解：? sin x sin 3 x ? ? (cos 4 x ? cos 2 x) 2 1 ? ? sin x sin 2 x sin 3xdx ? ? ? (cos 4 x ? cos 2 x ) sin 2 xdx 2 1 1 ? ? ? cos 4 x sin 2 xdx ? ? cos 2 x sin 2 xdx 2 2 1 1 ? ? ? (2 cos 2 2 x ? 1) sin 2 xdx ? ? sin 4 xdx 2 4 1 1 ? ? ? cos 2 2 x sin 2 xdx ? ? sin 2 xdx ? ? sin 4 xdx 2 4 1 1 1 ? ? cos 2 2 xd cos 2x ? ? sin 2 xd 2 x ? ? sin 4 xd 4 x 2 4 16 1 1 1 ? cos3 2 x ? cos 2 x ? cos 4 x ? C. 6 4 16注：另一种解法是：? sin x sin 2 x sin 3xdx ? ? 2 ? (cos 4 x ? cos 2 x) sin 2 xdx?? 1 1 cos 4 x sin 2 xdx ? ? cos 2 x sin 2 xdx ? 2 21??1 1 1 1 1 1 (sin 6 x ? sin 2 x )dx ? ? sin 4 xdx ? cos 6 x ? cos 2 x ? cos 4 x ? C . ? 2 2 4 24 8 16(17)求 max 1, x dx .?? ?知识点：被积函数表现为一个分段函数，则不定积分也表现为一个分段函数。 思路分析：基本思路――讨论。 解：? 当 x ? 1 时， max 1, x ? 1 ；而当 x ? ?1 时， max 1, x ? ? x ；当x? ???? 1 时， max ?1, x ? ? x ； ? ?1 时， ? max ?1, x ?dx ? ? ? xdx ? ??当xx2 ? C1 ; 226当x ? 1 时， ? max ?1, x ?dx ? ? dx ? x ? C2 ;2 ? 1 时， ? max ?1, x ?dx ? ? xdx ? x ? C3 .当x 由2? max ?1, x ?dx 的连续性可知： C21 1 ? C1 ? , C3 ? C2 ? ? C1 ? 1, 设 C1 ? C , 2 2? x2 ? ? 2 ? C , x ? ?1; ? 1 ? ? ? max ?1, x ?dx ? ? x ? ? C , x ? 1; 2 ? ? x2 ? ? 1 ? C , x ? 1. ?2(18)设 y ( x ? y ) 2 ? x, 求? x ? 3y .dx思路: 变量替换。解：令 t ? x ? y ，则 y ? x ? t , x ?t3 t 3 ? 3t t 4 ? 3t 2 ? ? ? ; x 3 t2 ?1 t2 ?1 (t 2 ? 1)2??1 d (t 2 ? 1) 1 1 dx t ? ? 2 dt ? ? 2 ? ln t 2 ? 1 ? C ? ln ( x ? y )2 ? 1 ? C 。 x ? 3y t ?1 2 t ?1 2 2(19) 设 f ( x ) 定义在 (a, b) 上， c ? (a, b) , 又 f ( x ) 在 (a, b) \ {c} 连续， c 为 f ( x ) 的第一类间断点，问f ( x ) 在 (a, b) 内是否存在原函数？为什么？知识点：考察对原函数定义的理解。 思路分析：反证法。 解证：假设 F ( x) 为 f ( x ) 的一个原函数，考察 F ( x) 在点 c 的导数，? lim ?F ( x ) ? F (c ) F ( x ) ? F (c ) ? f (c ? 0), lim ? f (c ? 0); ? x?c x ?c x?c x?c F ( x ) ? F (c ) ? F ?(c ) ? f (c),? f (c ? 0) ? f (c ? 0) ? f (c ) 而 lim x ?c x?c? f ( x ) 在点 c 连续，这与 c 为 f ( x ) 的第一类间断点矛盾！(20)?x6dx . (1 ? x 2 )思路分析：此题属于有理函数的积分，且分母的次数大于分子的次数，可使用倒代换。下面的解答采用27 另一种方法，仔细体会，你会收获不小！解： ?dx (1 ? x 2 ) ? x 2 dx dx dx (1 ? x 2 ) ? x 2 dx ? ? ? ? ? ? x6 ? x4 (1 ? x2 ) ? x6 ? x 4 (1 ? x 2 ) dx x 6 (1 ? x 2 ) ? x 6 (1 ? x 2 )??dx dx dx dx dx dx dx ?? 4 ?? 2 ? ? 6 ?? 4 ?? 2 ?? 6 2 x x x (1 ? x ) x x x 1 ? x2 1 1 1 ? ? 5 ? 3 ? ? arctan x ? C. x 5x 3xx5 dx . (21) ? 1? x思路分析：此题属于有理函数的积分，且分子的次数大于分母的次数。经典的解法----将被积函数写成一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：?x5 x4 (1 ? x) ? x 4 x4 x3 (1 ? x) ? x3 x3 ? ? x4 ? ? x4 ? ? x4 ? x3 ? 1? x 1? x 1? x 1? x 1? xx 2 (1 ? x) ? x 2 x2 x(1 ? x) ? x ? x 4 ? x3 ? x 2 ? ? x 4 ? x3 ? x2 ? 1? x 1? x 1? x x x ? ? 1 1 1 ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? ? x 4 ? x3 ? x2 ? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? x 1 1 x5 )dx ? ? ( x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1) dx ? ? ?? dx ? ? ( x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 ? dx 1? x 1? x 1? x 1 1 1 1 ? x5 ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? ln 1 ? x ? C. 5 4 3 2 ? x 4 ? x3 ?(22) sin xdx .?4思路分析：经典思路----若被积函数为弦函数的偶数次幂，则将被积函数降幂，然后分项积分即可。 解：? sin 4 x ? (1 ? cos 2 x 2 1 1 1 1 ) ? (1 ? 2 cos 2 x ? cos 2 2 x) ? ? cos 2 x ? cos 2 2 x 2 4 4 2 41 1 1 1 ? cos 4 x 3 1 1 ? cos 2 x ? ? ? ? cos 2 x ? cos 4 4 2 4 2 8 2 8 3 1 1 3 1 1 4 ? ? sin xdx ? ? ( ? cos 2 x ? cos 4 x)dx ? x ? sin 2 x ? sin 4 x ? C. 8 2 8 8 4 32 ?(23) e sin 2 xdx .?x思路分析：经典思路----大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五大类基本初等函数中的某两类的乘积的形式，则使用分部积分法求解！且按照“反、对、幂、三、指”的 顺序，顺序排后者优先纳入到微分号下凑微分。其中“反、对、幂、三、指”依次代表“反三角函数、对 数函数、幂函数、三角函数、指数函数”五类函数。解：? e sin 2 xdx ? sin 2 xde ? e sin 2 x ? 2 e cos 2 xdx ? e sin 2 x ? 2 cos 2 xde?x?xx?xx?x28? e x sin 2 x ? 2e x cos 2 x ? 4 ? e x sin 2 xdx 1 ? ? e x sin 2 xdx ? e x (sin 2 x ? 2 cos 2 x) ? C. 5(24)?ln( x ? 1 ? x 2 ) 1 ? x2dx .思路分析： 凑微分。d (ln( x ? 1 ? x 2 ) ?d ( x ? 1 ? x2 ) x ? 1? x2?1 x ? 1? x2(1 ?x 1? x2)dx ?dx 1 ? x2解： ?ln( x ? 1 ? x 2 ) 1 ? x21 dx ? ? ln( x ? 1 ? x2 ) d ln( x ? 1 ? x2 ) ? ln 2 ( x ? 1 ? x 2 ) ? C 2注：第一类换元法? f (? ( x))? ?( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? F (? ( x)) ? C ，(24)小题均为中间变量较复杂的情形，这需要大家对第 3 章求导数过程比较熟悉，请大家好好体会！(25)? ( x ? ln x)1 ? ln x2dx .ln x 1 ? ln x ? dx ，这同样需要大家对经 x x2解： 方法一：凑微分。注意到被积函数中有1 ? ln x ，而 d常出现的求导过程比较熟悉。? ( x ? ln x)??1 ? ln x2dx ? ?1 ? ln x 1 ln x 1 ? ln x ? dx ? ? d ?? d ?1 ? ? ln x 2 ln x 2 x ln x 2 ? x ? ) (1 ? ) (1 ? ) x 2 (1 ? x x x1 x ?C ? ? ? C. ln x ? x ln x 1? x1 x方法二：分部积分法。先分项，再用分部积分法，注意到 d ( x ? ln x) ? (1 ? ) dx 。? ( x ? ln x)1 ? ln x2dx ? ?? x ? ln x ? x ? 1 1 x ?1 dx ? ? ? dx ? ? dx 2 ( x ? ln x) x ? ln x ( x ? ln x) 21 1? 1 1 1 x dx ? ? ? ?? dx ? ? x dx ? ? x d ( x ? ln x) 2 ? x ? ln x ( x ? ln x ) x ? ln x ( x ? ln x) 2? ?? 1 1 1 x 1 x dx ? ? xd ? ?? dx ? ?? dx ? ? ?C x ? ln x x ? ln x x ? ln x x ? ln x x ? ln x x ? ln x
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