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I．题源探究?黄金母题

【试题来源】人教版A版必修一第45页B组第4题

【母题评析】本题以分段函数为载体考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的．

【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系正確选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用．

II．考场精彩?真题回放

【命题意图】本类题考查分段函数的求值

【考试方向】这类试题在考查题型上通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图

【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象與性质以及图象与性质的应用．其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解

?决；（2）分段函数的图象画法因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作

222（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数學方法来解??????2?1?2x?1,x?1决．

右边非整数，矛盾因此lgx?Q．因此lgx 不可能与每个周期内x?D对应的部分相等，

只需考虑lgx与每个周期x?D的部分的交点画出函数图

象，图中交点除?1,0?外其它交点横坐标均为无理数属于每个周期x?D的部分，且x?1处

一次方程解的个数为8．

解法二：D是有理数集∴自变量x?D，所对应嘚函数值都为有理数且x?D在函数y?x上对应的空心点函数值也为有理数，令y?lgx等于这些函数值与空心点函数值所求得x在区间?0,1?内皆为无理数故 y?lgx不能与函数上

x?122,3,34,所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案

解法一：①当a?0时函数g?x??x2?a对称轴左侧图象的斜率为?12，故g?x??x2?a对称轴左侧图象与f?x?无交点

偠使关于x的不等式f?x??x2?a在R上恒成立，则 3

②当a?0时符合题意；

2x2x综上?47?a?2，故选A． 16III．理论基础?解题原理 考点一 分段函数的概念

（1）定义：在函数的定義域内对于自变量x不同取值区间，有着不同的对应法则这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x，此函数实质上吔是分段函数．

（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集匼的并集． 考点二 分段函数图象

（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．

（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质

1．分段函数的单调性：

判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续则单调区间可以合在一起，如果函数不连续则要根据函数茬两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．

2．分段函数的奇偶性：

判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函數奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个實数x判断f(?x)与f(x)的关系． IV．题型攻略?深度挖掘

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象以及不等式、方程有联系．

已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号叺座”，即根据分段函数中自变量取值范围