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如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．（1）如图1，求证：AF平分∠EFD；（2）如图2，若∠C=90°，求证：EF=BE+DF；（3）在（2）的条件下，若AB=3BE，AE=2，求AF的长．
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（1）证明：过点A作AG⊥BC于G，过A作AH⊥EF于H，过A作AM⊥CD于M，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，又∵AG⊥BC，AM⊥CD，∴AG=AM，∵∠AEB=∠AEF，∴AE平分∠BEF，又∵AG⊥BC，AH⊥EF，∴AG=AH，∴AH=AM，∴AF平分∠EFD；（2）∵四边形ABCD是菱形，又∵∠C=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥CD，过A作AH⊥EF于H，∴∠AHE=∠AHF=90°，∴AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AB=AH，∵AE=AE，在Rt△ABE与Rt△AHE中，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）∴BE=HE，同理Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），∴DF=HF，∵EF=EH+FH，∴EF=BE+DF；（3）设BE=a，则AB=3a，在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，∴2+(3a)2=(210)2，∴a=2，∴AB=3a=6，由（2）知四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，∴CE=BC-BE=4，设DF=m，则CF=CD-DF=6-m，由（2）知EF=BE+DF，∴EF=2+m，在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，∴42+（6-m）2=（2+m）2，∴m=3，在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，∴2+62=35．
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如图在菱形ABCD中,E是BC上一点,F是CD上一点,连接AE.AF.EF.且角AEB=角AEF.(1)求证:AF平分角EFD
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＞＞＞如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F..
如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是&&&&&&．
题型：填空题难度：中档来源：不详
&试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴ABoAE=ADoAF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=2，∴EF=AE=2，如图，过A作AM⊥EF，∴AM=AEosin60°=3，∴△AEF的面积是：EFoAM=×2×3=3．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F..”主要考查你对&&平行四边形的性质，平行四边形的判定，矩形，矩形的性质，矩形的判定，菱形，菱形的性质，菱形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平行四边形的性质平行四边形的判定矩形，矩形的性质，矩形的判定菱形，菱形的性质，菱形的判定
平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。①平行四边形属于平面图形。②平行四边形属于四边形。③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。④平行四边形属于中心对称图形。平行四边形的性质：主要性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积：S=底×高。矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。 黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。菱形的定义:在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质:①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形的四条边都相等；④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。菱形的判定:在同一平面内，（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。
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如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是 ___ ．
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∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AEosin60°=3，∴△AEF的面积是：EFoAM=×2×3=3．故答案为：3．
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首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
本题考点：
菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
考点点评：
此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
扫描下载二维码如图，平行四边形ABCD中，AE垂直BC，AF垂直CD，垂足分别为E、F，联结EF、AC 1.求证:三角形AEF~三角形ABC_百度知道
如图，平行四边形ABCD中，AE垂直BC，AF垂直CD，垂足分别为E、F，联结EF、AC 1.求证:三角形AEF~三角形ABC
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证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEB=∠AFD=90º∵ABCD是平行四边形∴∠B=∠D，【AD=BC留后面用】∴⊿ABE∽⊿ADF∴AB:AD =AE:AF ∵AD =BC ∴AB :BC=AE:AF∵∠EAF =180º-∠ECF【∵AECF另两个角都是90º】 ∠B=180º-∠BCD【∵AB//CD】∴∠EAF=∠B【加上AB :BC=AE:AF】∴⊿AEF∽⊿BAC【并不是ABC】
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20分太少了……
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擅长：暂未定制
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