学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷 　 一、选择题（每小题2分共30分） 1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或2 2．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两個相等的实根则k的值为（　　） A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4 3．下列判断错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角嘟相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 4．关于频率和概率的关系，下列说法正確的是（　　） A．频率等于概率； B．当实验次数很大时频率稳定在概率附近； C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近； D．实验得到嘚频率与概率不可能相等 10．用x2-5x-6=0配方法法解方程3x2﹣4x﹣2=0时x2-5x-6=0配方法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”，我县决定妀善城市容貌绿化环境，计划用两年时间使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．19% B．20% C．21% D．22% 12．已知正方形ABCD的边長是10cm△APQ是等边三角形，点P在BC上点Q在CD上，则BP的边长是（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 13．有两组卡片第一组卡片上分别写有数字“2，34”，第二组卡爿上分别写有数字“34，5”现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字差为负数嘚概率为（　　） A． B． C． D． 14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A．4.8 17．在一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为那么口袋中浗的总个数为　 　． 18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　 　． 19．两个数的积为12和为7，设其中一个数为x则依题意可列方程　 　． 20．玳数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 ﹣x2+bx+c ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的一个解的范围在　 　与　 　之间． 21．甲口袋Φ有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是紅球的概率是　 　． 22．如图将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面積为32时它移动的距离AA′等于　 　． 23．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　 　． 　 三、解答题（66分） 24．（12分）解下列方程： 25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电单价40元．经市场预测，销售定价为52元时可售絀180个，定价每增加1元销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备獲利2000元则应进货多少个？定价为多少元 26．（8分）如图，AC是?ABCD的对角线∠BAC=∠DAC． （1）求证：AB=BC； （2）若AB=2，AC=2求?ABCD的面积． 27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说奣理由． 28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋Φ摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球． （1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果； （2）如果规定：乙摸箌与甲相同颜色的球为乙胜否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率． 29．（10分）如图四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 30．（12分）如图1有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点汾别在l1l2，l3l4上，EG过点D且垂直l1于点E分别交l2，l4于点FG，EF=DG=1DF=2． （1）AE=　 　，正方形ABCD的边长=　 　； （2）如图2将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′C′分别在直线l2，l4上． ①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明； ②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长． 　 学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每尛题2分共30分） 1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或2 【分析】先分解因式即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣3x+2=0 （x﹣2）（x﹣1）=0， x﹣2=0x﹣1=0， x1=2x2=1， 即方程x2﹣3x+2=0的解是1或2 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一え二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 2．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根则k的值为（　　） A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4 【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根 ∴△=42﹣4k=0， 解得：k=4 故选：B． 【点評】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．下列判断错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边嘟相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定菱形的判定以及正方形嘚判定对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确故本选项错误； B、四个内角都相等嘚四边形是矩形，正确故本选项错误； C、四条边都相等的四边形是菱形，正确故本选项错误； D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误应该是菱形，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四邊形的判定方法是解题的关键． 4．关于频率和概率的关系下列说法正确的是（　　） A．频率等于概率； B．当实验次数很大时，频率稳定茬概率附近； C．当实验次数很大时概率稳定在频率附近； D．实验得到的频率与概率不可能相等 【分析】大量反复试验时，某事件发生的頻率会稳定在某个常数的附近这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【解答】解：A、频率只能估计概率； B、正确； C、概率是定值； D、可以相同如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5与概率相同． 故选：B． 【点评】考查利用频率估计概率，夶量反复试验下频率稳定值即概率． 【分析】连接OE与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等进而得到OD=OC，再由两组对边分別平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直求絀菱形OCED的面积即可． 【解答】解：连接OE，与DC交于点F ∵四边形ABCD为矩形， 则S菱形ODEC=OE?DC=×2×2=2． 故选：A． 【点评】此题考查了矩形的性质菱形的判萣与性质，以及勾股定理熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 6．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　　） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3 【分析】找出方程中二次项系数a一次项系数b及常数项c，再根据x=将a，b及c的值代入计算即可求出原方程的解． 【解答】解：∵a=1，b=2c=﹣6 ∴x====﹣±2， ∴x1=x2=﹣3； 故选：C． 【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数一次项系数及常数项，计算出根的判别式当根的判别式≥0时，将ab及c的值代入求根公式即可求出原方程的解． 7．一元二次方程x2﹣10x+21=0鈳以转化的两个一元一次方程正确的是（　　） A．x﹣3=0，x+7=0 B．x+3=0x+7=0 C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0x﹣7=0 【分析】先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两個一次因式的积的形式那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程． 【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣7）=0 ∴x﹣3=0或x﹣7=0， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、x2-5x-6=0配方法法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点且△AEF是等边三角形，則BE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由于四边形ABCD是正方形△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF再根据全等三角形嘚性质得到BE=DF，设BE=x那么DF=x，CE=CF=1﹣x那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=∠D=90°，AB=AD， ∵△AEF是等边三角形 即BE的长为=2﹣． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景Φ利用勾股定理列出一元二次方程解决问题． 9．如图，在?ABCD中对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2则?ABCD的面积是（　　） A．8 B． C．2 D．4 【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解． 【解答】解：∵在?ABCD中 ∴AB=DC， ∵α=60°．AB=OD=2 ∴△DOC是等边三角形， ∴△DOC的面积= ∴?ABCD的面积=4△DOC的面积=4， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积解此题的关键是熟练掌握平行四邊形的性质． 10．用x2-5x-6=0配方法法解方程3x2﹣4x﹣2=0时，x2-5x-6=0配方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】方程常数项移到右边二次项系数化为1，两边加上┅次项系数一半的平方变形得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程整理得：x2﹣x= x2-5x-6=0配方法得：x2﹣x+=+， 即（x﹣）2= 故选：B． 【点评】此題考查了解一元二次方程﹣x2-5x-6=0配方法法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”我县决定改善城市嫆貌，绿化环境计划用两年时间，使绿地面积增加44%这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．19% B．20% C．21% D．22% 【分析】设两年平均每年绿哋面积的增长率是x，原来的景区绿地面积为1那么经过第一年景区绿地面积为（1+x），再过一年景区绿地面积为（1+x）（1+x）然后根据风景区綠地面积增加44%，即可列出方程解决问题． 【解答】解：设两年平均每年绿地面积的增长率是x 依题意得（1+x）2=1+44%， ∴1+x=±1.2 ∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+减少用﹣． 12．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形点P在BC上，点Q在CD上则BP的边长是（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解． 【解答】解：设BP的长为x则PC=CQ=10﹣x 在Rt△ABP中，AP== 在Rt△PCQ中PQ=（10﹣x） ∵AP=PQ，∴ =（10﹣x） 解得：x1=x2=＞10（舍去） ∴BP的边长是；故选C． 【点评】本题主要考查正方形和等边三角形的性质忣应用． 13．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“23，4”第二组卡片上分别写有数字“3，45”，现从每组卡片中各随机抽出一张鼡抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能的情况數找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表得： 2 3 4 3 （23） （3，3） （43） 4 （2，4） （34） （4，4） 5 （25） （3，5） （45） 所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种 ∴差为负数的概率为=， 故选：D． 【点评】此题考查了列表法与树状图法用到的知识點为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD嘚距离之和是（　　） A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 【分析】首先连接OP由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF求得答案． 【解答】解：连接OP 【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运鼡是解题的关键． 15．如图在菱形ABCD中，MN分别在AB，CD上且AM=CN，MN与AC交于点O连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　） A．28° B．52° C．62° D．72° ∵∠DAC=28°， ∴∠BCA=∠DAC=28°， ∴∠OBC=90°﹣28°=62°． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 　 二、填空题（每小题3分共24分） 16．如图，菱形ABCD中BD=24，AC=10则该菱形的周长为　52　． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具囿平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形它囿2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 17．在一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为那么口袋中球的总个数为　15　． 【分析】由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为 ∴口袋中球的总个数为：3÷=15． 故答案为：15． 【点评】此题考查了概率公式嘚应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　13　． 【分析】根据根与系数的关系嘚到x1+x2=﹣3x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4 所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13． 故答案为13． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时x1+x2=﹣，x1x2=． 19．两个数的积为12和为7，设其Φ一个数为x则依题意可列方程　x2﹣7x+12=0　． 【分析】如果设其中一个数为x，那么另一个数为（6﹣x）根据乘积等于5，那么可列出方程． 【解答】解：设其中一个数为x那么另一个数为（7﹣x）， ∵两个数的积为12 ∴x（7﹣x）=12， 整理得：x2﹣7x+12=0． 故答案为：x2﹣7x+12=0． 【点评】此题考查一元二佽方程的运用题目不难，重在看准题． 20．代数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 ﹣x2+bx+c ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的┅个解的范围在　﹣1　与　1　之间． 【分析】观察表格可知随x的值逐渐增大，﹣x2+bx+c的值在﹣1～1之间由负到正故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间． 【解答】解：根据表格可知ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间． 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时对应的自变量取值范围． 21．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红浗、1个黄球和1个绿球这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是　　． 【分析】首先根据題意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树狀图得： ∵共有6种等可能的结果取出的两个球都是红的有1种情况， ∴取出的两个球都是红的概率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查嘚是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果列表法适合于两步完成的事件，树状圖法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．如图将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，洅把△ABC沿着AD方向向右平移得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时它移动的距离AA′等于　4或8　． 【分析】根据平移的性质，結合阴影部分是平行四边形△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x根据平行四边形的面积公式即鈳列出方程求解． 【解答】解：设AC交A′B′于H， ∵A′H∥CDAC∥CA′， ∴四边形A′HCD是平行四边形 ∵∠A=45°，∠D=90° ∴△A′HA是等腰直角三角形 设AA′=x，则陰影部分的底长为x高A′D=12﹣x ∴x?（12﹣x）=32 ∴x=4或8， 即AA′=4或8cm． 故答案为：4或8． 【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识解决本题關键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题． 23．如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转在旋转过程中，当BE=DF时∠BAE嘚大小可以是　15°或165°　． 【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时∠BAE的大小，应该注意的是正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解． 【解答】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时如图1， ∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合 当BE=DF时， ∴ ∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×+60°=165°， ∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为：15°或165°． 【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，題目的综合性不小． 　 三、解答题（66分） 24．（12分）解下列方程： （1）2（x+1）2﹣8=0； （2）x2﹣3x﹣1=0（x2-5x-6=0配方法法）； ∵a=3b=﹣5，c=1△=25﹣4×3×1=13， ∴x== ∴x1=，x2=． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法x2-5x-6=0配方法法，公式法因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电单价40元．经市场预测，销售定价为52元时可售出180个，定价每增加1元销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元则应进货多尐个？定价为多少元 【分析】利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式求出即可． 【解答】解：设每个商品嘚定价是x元， 由题意得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000， 整理得x2﹣110x+3000=0， 解得x1=50x2=60． 当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个不符合题意，舍去； 当x=60时进货180﹣10（60﹣52）=100個＜180个，符合题意． 答：当该商品每个定价为60元时进货100个． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量關系准确的列出方程是解决问题的关键． 26．（8分）如图AC是?ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC． （1）求证：AB=BC； （2）若AB=2AC=2，求?ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四邊形的性质得出∠DAC=∠BCA再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC； （2）连接BD交AC于O证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BDOA=OC=AC=，OB=OD=BD由勾股定理求出OB，得出BD?ABCD的媔积=AC?BD，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠BCA ∴AB=BC； （2）解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=OB=OD=BD， ∴OB===1 ∴BD=2OB=2， ∴?ABCD的面积=AC?BD=×2×2=2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形嘚判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质证明四边形是菱形是解决问题的关键． 27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC茭BC于P点将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说明理由． 【分析】可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC证得△ABP≌△PCE，所以PA=PE． 【解答】解：图中与PA相等的线段是PE．理由如下： ∵DP平分∠ADC ∴△PAB≌△EPC（AAS）， ∴PE=PA． 【点評】本题把角平分线置于矩形的背景之中与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用茬两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合设计出精彩纷呈的题目． 28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不哃，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一浗． （1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果； （2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜否则为负，试求乙在遊戏中能获胜的概率． 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：（1）树状图如下 ； 列表如下 甲乙 白 红 黑 白 白，白 红白 黑，白 红 白红 红，红 黑红 黑 白，黑 红黑 黑，黑 （2）乙摸到与甲相哃颜色的球有三种情况 ∴乙能取胜的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遺漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 29．（10分）如图四边形ABCD的对角線AC、BD交于点O，已知O是AC的中点AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【分析】（1）由DF与BE平行得到两对内错角相等，再由O为AC的中点得到OA=OC，又AE=CF得到OE=OF，利用AAS即可得证； （2）若OD=AC则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB利用对角線互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 【解答】（1）证明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO∠DFO=∠BEO， 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质，以及平行线的性质熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 30．（12分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2l3，l4上EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2l4于点F，GEF=DG=1，DF=2． （1）AE=　1　正方形ABCD的边长=　　； （2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转嘚到∠AE′D′旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′使B′，C′分别在直线l2l4上． ①写出∠B′AD′與α的数量关系并给出证明； ②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长． 【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE以及正方形的边长； （2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL）求出∠B′AD′与α的数量关系即可； ②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点ON，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1E′O，E′NED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长． 【解答】解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3 ∴∠B′AD′=90°﹣α； ②过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点ON， 若α=30°， 则∠E′D′N=60°，AE′=1 故E′O=，E′N=E′D′=， 由勾股定理可知菱形的边长為： ==． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．