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随着社会科学技术的迅猛发展，特别是计算机科学技术以及信息技术日新月异的发展，数学已经渗透到了人类生活的各个领域。学习任何一门工科课程都必须用到高等数学知识。同时，高等数学也是各高校本科生必修的一门重要基础课。“高等数学（一）”共4章内容，包括：微积分的理论基础（函数、极限及连续），一元函数微分学及其应用（导数、微分、中值定理、函数形态），一元函数积分学及其应用（定积分、微积分基本公式、不定积分、反常积分），常微分方程（几类简单的微分方程、二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程）。为方便在线学习，我们将每讲内容分成了若干小片段，每个片段讲解1~2个知识点，便于学习者理解掌握。而针对每一讲的教学内容都配有一定量的典型例题、释义解难、思考题、数学史资料等，每讲还配有自测题供学习者作为平时成绩考核之用。& & & & &本课程的教学目标是要求学生系统地掌握一元函数微积分学，常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法，同时通过数学实验来培养学生的综合素质，即实验动手能力、分析设计能力及团队合作精神，拓展学生思维，激发学生的创新意识，使学生在分析问题的基本思维方面受到必要的训练，在运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力方面有一定提高，并对现代数学的某些思想方法有所了解，为继续学习现代数学接轨。&&
第一章&&&微积分的理论基础第一节&函数．集合的概念映射函数．几个函数及图形的例子．函数的几种特性．复合映射与复合函数．逆映射与反函数基本初等函数与初等函数双曲函数第二节数列极限的概念．数列的概念．数列极限的描述性定义．数列极限的严格定义．数列极限的几何解释第三节&收敛数列的性质．收敛数列极限的唯一性．收敛数列极限的有界性．收敛数列极限的保号性．子数列的概念第四节&自变量趋于无穷大时函数极限的概念．自变量趋于无穷大时函数极限的定义．自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释第五节&自变量趋于有限值时函数极限的概念．自变量趋于有限值时函数极限的定义．自变量趋于有限值时函数极限的几何解释．左右极限及其与极限存在的关系第六节&函数极限的性质．函数极限的几个简单性质．函数极限与数列极限的关系第七节&无穷小与无穷大．无穷小的概念．无穷大的概念第八节&函数极限的运算法则．函数极限的四则运算法则．复合函数极限的运算法则第九节&极限存在准则及两个重要极限．极限存在的夹逼准则．重要极限sin x / x及其在求极限中的应用举例．数列的单调有界收敛准则．重要极限其在求极限中的应用举例第十节&无穷小的比较．无穷小阶的概念．等价无穷小在求极限中的应用举例第十一节&函数的连续性．函数连续的概念．连续函数举例第十二节&函数的间断点．函数的间断点．间断点举例第十三节&连续函数的运算第十四节&初等函数的连续性第十五节&闭区间上连续函数的性质第二章&&一元函数微分学及其应用第一节&导数的概念．引例．导数的定义．左右导数及其与可导的关系．在一个区间上的可导性与可导函数．导数的几何意义．函数可导性与连续性的关系第二节&函数的求导法则．函数求导的四则运算法则．反函数的求导法则．复合函数的求导法则．基本初等函数的导数公式表第三节&高阶导数．高阶导数的概念．高阶导数的计算．几个基本初等函数的高阶导数公式第四节&隐函数的求导法．隐函数的概念．隐函数的求导法及应用举例第五节&由参数方程所确定的函数的导数．由参数方程所确定的函数的概念．由参数方程所确定的函数的求导法．参数方程求导法应用实例第六节&相关变化率．相关变化率的概念与计算．相关变化率的应用实例第七节&函数的微分．微分的概念．可微与可导的关系．微分的几何意义．微分运算法则．微分在近似计算中的应用第八节&罗尔定理．罗尔定理及其几何意义2．罗尔定理的证明．罗尔定理的应用举例第九节&拉格朗日定理．拉格朗日定理及其几何意义2．拉格朗日定理的证明．拉格朗日公式的几种形式．f(x)的导函数在区间I上恒为零的充要条件．拉格朗日公式的其他应用举例第十节&柯西中值定理．柯西中值定理及其几何意义．柯西中值定理的证明3．三个中值定理间的关系4.&柯西中值定理的应用举例第十一节&洛必达法则比零型未定式的洛必达法则．无穷比无穷型未定式的洛必达法则．&用洛必达法则求无穷减无穷型和0乘无穷型未定式的极限4．&用洛必达法则求其他型未定式的极限5．不能用洛必达法则求解的未定式的例子第十二节&泰勒定理．多项式逼近函数与泰勒公式．具有佩亚诺余项的泰勒定理．具有拉格朗日余项的泰勒定理．常用函数的麦克劳林公式及其应用举例第十三节&函数的单调性．函数单调性的判别法．函数单调性的应用举例&&&&&第十四节&函数曲线的凹凸性．曲线凹凸性的定义和几何解释．曲线凹凸性的判别法．拐点的定义和几何解释．拐点的判别法&&&&第十五节&函数的极值．函数极值的概念．函数极值点的必要条件．函数极值点的第一充分条件．函数极值点的第二充分条件&第十六节&函数的最值．函数最大值最小值的求法．函数最值的应用实例第十七节&函数图形的描绘．借助导数描绘函数图形的步骤．函数作图举例．利用软件函数作图第十八节&平面曲线的曲率&．弧微分及其计算公式．曲率的概念．曲率的计算公式．曲率圆与曲率半径& & &．曲率的应用举例第三章&&一元函数积分学及其应用第一节&&定积分的概念1．定积分问题举例2．定积分的定义3．定积分的几何意义4．定积分存在的条件第二节&定积分的性质& & && 1．线性性质及、区间的可加性及积分不等式& & && 2．定积分的中值定理第三节&微积分基本公式与基本定理1.&牛顿-莱布尼茨公式2.&变上限积分求导3.&变上限积分求导举例4.&不定积分第四节&两种基本积分法1．不定积分的第一换元法2．不定积分的第二换元法3．定积分的换元公式4．不定积分的分部积分法5．定积分的分部积分法6．初等函数的积分问题第五节&反常积分& & & & 1．无穷区间上的积分2．无界函数的积分3．伽马函数第六节&定积分的元素法（微元法）第七节&定积分在几何上的应用& & &&& 1．直角坐标系下面积的计算&&& &&& 2．极坐标系下面积的计算3．旋转体体积的计算4．平行截面面积已知的立体体积的计算5．平面曲线弧长的计算第八节&定积分在物理上的应用1．变力沿直线做功的计算2．液体压力的计算3．引力的计算第四章 常微分方程第一节& 常微分方程的基本概念1．&引例与微分方程的定义2．&微分方程的阶、解、通解、初值条件、特解的含义3．&一阶微分方程及其解的几何意义第二节& 可分离变量的微分方程第三节&齐次微分方程第四节&一阶线性微分方程1．一阶线性微分方程的一般形式2．一阶线性微分方程的解法第五节&伯努利方程第六节&一阶微分方程的应用举例1．用几何、物理知识建立微分方程举例2．用微元法建立微分方程举例第七节&可降阶的高阶微分方程1．第一型微分方程及其降阶法2．第二型微分方程及其降阶法3．第三型微分方程及其降阶法4．可降阶微分方程的应用举例第八节 二阶齐次线性微分方程1．二阶线性微分方程的概念2．二阶齐次线性微分方程解的性质．函数的线性相关与线性无关．二阶齐次线性微分方程通解的结构第九节 二阶非齐次线性微分方程．二阶非齐次线性微分方程解的性质．二阶非齐次线性微分方程的解法第十节 二阶常系数齐次线性微分方程．二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式．二阶常系数齐次线性微分方程的解法．高阶常系数齐次线性微分方程的解法第十一节 二阶常系数线性非齐次微分方程．第一型微分方程的解法．第二型微分方程的解法第十二节 欧拉方程1．欧拉方程的一般形式2．欧拉方程的解法第十三节 二阶常系数线性微分方程的应用举例
高中毕业所要求的数学知识。
本课程的学习包含：观看讲课视频及其他课程资源、完成每周测试题、参与课程讨论、参加期末考试。&& &课程学习成绩由二部分构成：& （1）单元测验：每周学习结束后有一次单元测验，题型为单项选择题和判断题，每次测试题10道，每题10分。每人每周有3次机会可以尝试，有效成绩为三次提交的最高分数。所有单元测验分数占课程成绩的50%。& （2）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占50%。&&& && 完成课程学习并考核合格(&=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(&85分)的可获得优秀证书。
（1）王绵森，马知恩，工科数学分析基础（第三版& 上册），高等教育出版社，2017.&&&&& && 点击购买链接：&&&& && 或者& （2）武忠祥，工科数学分析基础教学辅导书（上册），高等教育出版社，2006.（3）魏战线，工科数学分析基础释疑解难，高等教育出版社，2007.
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(C) icourse163.org高数中的极限定义是个什么鬼？
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高数中的极限定义是个什么鬼？
新浪微博：上回说到高数的特点, 今天举一个简单的例子让大家感受一下. 看下面的定义:看了这个定义以后, 一个正常的心理是这样的:别急, 听我细细道来. 其实这个定义说的是特别简单的一件事, 就是当n趋于无限大时, 这个数列的数无限接近于A的意思. 举个粟子, 对于数列我写出它的前几项:2, & 1.25, & 1.1111, & 1.0625, & 1.04, &1.02778, & 1.0104, & 1.015625, ...看, 这些数是不是无限接近于1呢? 你也可以多算几项, 这个规律更明显. 所以在这个粟子中, 我们可以说: 这个数列的极限是1.接下来有两个内容:●为什么要用这么复杂的方式来定义这么简单的一件事●这个定义该怎么理解基于你们更喜欢听故事, 就先说说为什么要采用这个复杂的定义. 01为什么要用这么复杂的定义呢?是啊, 这么难理解, 为什么我们不这样定义呢: 若一个数列的项无限接近于A, 则称A是这个数列的极限.这样多好理解啊!这要追溯到17世纪. 当时, 牛顿等一大批欧洲数学家大力发展了一套数学方法, 这套方法包括了极限和微积分等工具. 数学的这一次突破在人类历史上具有非常重要的意义, 直接导致了随后的工业革命. 可以说我们现在生活在的各种便利, 生产力的各种强大, 对其他动物的各种优势, 都离不开那一次数学上的突破.在这部分数学发展的初期, 各种定义就是怎么直观怎么来的. 但是这样带来了很多不严谨. 例如上面的定义, '无限趋于'这个词, 就是很含糊的, 或者说, 不够精确. 本来这也没什么, 反正 大家都知道是什么, 能够计算就行了. 但是后来, 牛顿的同胞, 英国的一个大主教, 乔治·贝克莱, 为了维护神学, 抨击数学, 利用了当时数学当中的很多不严谨定义, 找到了很多要害. 他收集了很多这些问题, 专门写了一本书, 书名很长, 叫做《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》那个不信神数学家指的就是牛顿, 牛顿是当时数学界的代表人物, 分析学就是指这套新发展的数学理论. 这个书名我翻译成人话, 就是 你们这些分析学家啊, 还好意思说我们神学太神秘, 故弄玄虚, 看, 你们的分析学又好到哪里去? 我看了下你们的理论, 随便就发现很多问题了, 都够写成一本书了. 你们数学也是在故弄玄虚, 凭什么不信我们神学! 你们啊, 拿衣服!新鲜事物的发展肯定不是那么容易被接受的. 贝克莱主教虽然是神学人物, 但是书中的批评却切中了要害. 很多数学家谎了, 感觉到数学的基础出现了问题, 就好像大厦的地基没打好, 数学的大厦摇摇欲坠. 数学史上称贝克莱主教提出的问题为'贝克莱悖论', 对数学的冲击称为'第二次数学危机'.那么, 数学是不是就落败了呢? 没有, 这个事件(以及其他一些事)让数学家认识到了, 各种定义不能像以前那样乱来了, 必须严谨化. 于是, 在柯西等人的努力下, 数学概念都用严谨的方式表示出来, 从此数学成为了最严谨的学科. 于是, 数列的极限就变成了一开始那样定义了. 贝克莱们再也没有办法从这个角度攻击数学了.总结一下, 为什么要这么晦涩地定义数列的极限, 是因为:严谨否则数学的根基会不牢固, 会出现很多问题.贝克莱主教的目的虽然是抨击数学, 但是客观上也促进了数学的发展, 因此, 数学史上应该有他的名字.02怎么理解这个定义?这部分估计看的人不会多, 我就随便说说吧. 主要理解一下'无限接近'是怎么体现出来的.'无限接近', 就是'要多接近有多接近'的意思, 相差很小就'接近'的意思了, 相差再小都可以, 就是'无限接近'了.首先把粟子中的数列化简为好, 我想说明这个数列的极限是1. 要无限接近于1吧, 好, 你要多接近? 相差0.01? 在第10项之后, 这个数列的每一项都和1相差小于0.01. 也就是:嫌不够接近吗? 好, 相差0.001也行, 32项之后就是:经过严谨的推理, 可以得出一个结论: 不管相差得再小, 总能够在某一项之后实现, 也就是说不够再小的正数ε, 都能找到一个N, 在第N&项之后, 相差小于ε.看, 这不就是本文一开始的定义吗? 所以说, 这个定义既严谨又准确地把数列的极限描述出来了.
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高等数学极限练习题及答案
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高等数学课件极限
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工程数学 高等数学 第一章 函数与极限 第一节
映射与函数 一、集合 表示法： （二）集合的运算 2、集合的并、交、补运算满足下列法则： 区间的概念: (1)开区间:设a和b都是实数,且a&b,数集 二、映射 注意： 说明: （二） 逆映射与复合映射 2、复合映射 三、函数 函数构成要素 （二） 函数的几种特性 2、 单调性 3、 奇偶性 4、 周期性 （三） 反函数与复合函数 性质: 2、 复合函数 两个以上函数也可构成复合函数. 3、函数的运算 （四） 初等函数 内容小结 第二节 数列的极限 一 、数列极限的定义 几何解释 : 例1、 例2、 二、收敛数列的性质 例、 定理2、（收敛数列的有界性） 定理3、（ 收敛数列的保号性） 定理4、（收敛数列的与其子数列的关系） 内容小结 第三节
函数的极限 一、函数极限的定义 几何解释: 例1、 例2、 例3、 例4、
左极限与右极限 （二）自变量趋于无穷大时函数的极限 例6 极限的两种特殊情况 : 二、函数极限的性质 定理3（函数极限的局部保号性） 推论: 定理4（函数极限与函数极限的关系） 内容小结 第四节
无穷小与无穷大 一、 无穷小 定义1、 定理 1
( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 例 、 无穷小与无穷大的关系 内容小结 第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例1、 二、 极限的四则运算法则 证1、 证3、 定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 定理4、 例2、 例3、 分式求极限一般有如下结果： 定理5、 三、 复合函数的极限运算法则 说明: 内容小结 第六节 极限存在准则
两个重要极限 一、极限存在准则 2、 例、 二、 单调有界数列必有极限 例、 *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 二、 两个重要极限 注： 2. 例、 两个重要极限的其它表达 第七节 无穷小的比较 定义. 例1、 定理1、 定理2 、 例2. 内容小结 证明 证:
任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若
则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 说明: 渐近线 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 二、 极限的四则运算法则
三、 复合函数的极限运算法则
一 、无穷小运算法则
时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 求 解:
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 则有 定理 3 、若 1、 2、 3、 因 则有 (其中 为无穷小)
于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略 为无穷小 (详见P44) 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, （1） （2） 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 情形 若 则有 提示:
因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证:
说明: 若 不能直接用商的运算法则 .
x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 为非负常数 ) 证： 由第三节定理3推论，有 定理6、 设 且 x 满足 时, 又 则有 证:
当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 若定理6中 则类似可得 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 二、 两个重要极限
一、极限存在准则 （一）
夹逼准则 证:
由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时,
有 由条件 (1) 即 故
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