复变函数作业1 复数及其代数运算 幾何表示 1. 求下列复数的实部和虚部、共轭复数、模与辐角： （1）；（2）；（3）；（4） 解： （1） ；；；；；. （2） ；；；；；. （3） ；；；；；. （4）；；；；；. 2. 证明： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） 证 （1）设，则，从而有. （2）设，则 从而有 . （3）设，则 从而有 . （4）由 可知 . （5）设则，. 即. （6）设则，从而 结论得证. 3. 将下列复数化为三角表示式和指数表示式： （1） （2） （3） （4）； （5） （6）. 解 （1）（三角表示式） （指数表示式） （2） （3）故 （三解表示式） （指数表示式） （4） （注意）， 故 （三角表示式） （指数表示式） （5），其模为其輻角 ，故 （6）（指数式） （三角式） 4. 将下列坐标变换公式写成复数形式： （1）平移公式： （2）旋转公式： 解 （1）令则平移公式的复数形式为. （2）令，又可写成从而旋转公式 可写成 5. 证明：，并说明其几何意义. 证 几何意义为：以为边构成的平行四边形的两条对角线长度的平方和等手四边长的平方和. 6. 设复数满足关系式求. 解 设，代入关系式得. 比较等式两边的虚部与实部，解得即 7. 复数满足求. 解 因为，故. 8. 设为複数的辐角为的辐角为求. 解 设 ，则 得解得于是 9. 证明虚单位有这样的性质：. 证 因，所以 . 10. 对任何是否成立？如果是就给出证明，如果鈈是对哪些值才成立？ 解：对于任何复数易知 于是，由可得 比较两边的实虚部等价地有 即. 故 对任复数不成立，只有当为实数（虚部為零）时等式才成立. 复变函数作业2 复数的乘幂与方根 区域 1. 计算 （1）， （2） （3）， （4） （5）. 解 （1） （2） （3） . （4） （5） 评注 解这类题，通常是利用同乘共轭因式或化为三角形式、指数形式等方法，进行简化计算求得所需结果. 2. 求下列复数的辐角、模和共轭复数. （1）， （2） （3）， （4）. 解 （1） 故模为32，辐角主值其轭复数为 （2），故模为辐角主值，共轭复数为. （3） 故模为，辐角主值共轭复数为 （4） 故模为1，辐角主值为（取使）共轭复数为 评注 解这类题，一般要化为的形式然后再求模和辐角；若直接化为三角形式，则求模和辐角尤为方便. 3. 证明. 证 在中学三角中，证明这两个公式是比较麻烦的但在复数中却很简单. 因为 ， 对比等式两端的虚部与实部即得 4. 证明：對任意自然数，若则 证 因为 所以于是 5. 求把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数. 解 6. 设，求的值. 解 故 7. 求下列各式的徝： （1） （2）； （3）； （4） 解 （1） （2） （3）由得 即6个值分别为. （4）由 即3个值分别为 . 8. 如果，证明： （1）； （2） 证 由易知所以 9. 一个复数乘以，它的模与辐角有何改变 解 由于复数，所以复数乘以为. 即模不变，辐角减小. 10. 描出下列不等式所确定的区域或闭区域并指明它是有界嘚还是无界的？单连通的还是多连通的 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）. 解 令后可将本题的条件转化为滿足的条件，然后在直角坐标系中解答. （1）即为上半平面，是无界单连通区域见图2-1. （2），即为圆周的外部（不含圆周）是无界多连通区域，见图2-