1第二章极限习题及答案：极限的㈣则运算分类讨论求极限的题例 已知数列?an? 、?bn? 都是由正数组成的等比数列公比分别为 p,q，其中 p?q且 p?1，q?1 设cn?an?bn，Sn 为数列?Cn? 嘚前 n 项和求 lim（1997 年全国高考试题，理科难度 0.33） 解： ∴limSnSn?1n??3???1np?a1?q?1??1??n?p???lim???1?pn?1?a1?q?1??1?n?1?p?????qn?1?????b1?p?1???pn?pn????????qn?1????b1?p?1???pn?1????? ??1??n?1????p?????p?a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1?a1?q?1??p?p?4（2）当 p?1 时，∵ 0?q?p?1SnSn?1∴ limn???lima1?q?1?p?1?b1?p?1?q?1nnn??a1?q?1?p?n?1???1?b?p?1?q1?n?1?1?5a1?q?1???0?1??b1?p?1???0?1?a1?q?1??0?1??b1?p?1??0?1??a1?q?1??b1?p?1??a1?q?1??b1?p?1??1.?说明：该题综合考查了數列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的题的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限： （1）limx?5x?11?x?2x2442x??2?x3?x? ?（2）lim?2x???2x?12x?1???6分析：第（1）题中当 x?? 时，分子、分母都趋于无穷大属于“的一般方法是分子、分母哃除以 x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中当 x??时，分式x23??”型变形2x?1??与x22x?100都趋向于∞，这种形式叫“∞ 求极限的题：（1）lim(?x?x??x?x)x???22（2）lim(?x?x??x?x)x???22分析：含根式的函数求极限的题一般要先进行变形，进行分子、分母有理化再求极限的题． 解：（1）原式?lim2x?x?x?222x???11?x?x2?lim?2x2x????x?x??x?x?21x2?limx????1x?1?1x2?1x2x??1. 2n?1?（2）lim1?11n?11?. ????????1n?n???39273??（1992 年全国高考试题，文科难度 0.63）1解： ????16n??44?3?????4说明：该题计算时要先求和，再求所得代数式的极限不能将只適用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式?lim （2）原式1?lim13n??1n?12n???lim4n?12n?????lim3n?2n?12n??17?lim19n???lim127n?????lim??1?n??n?113n?13?19?127???0?1??1?41?????3?用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限的题181???1??n??*例 设 p?N求 limn??1n1??分析：把?1??n??p?1p?1?1．用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．1??解：??1??n??p?1?1?Cp?p?11p?1?Cp?1()???Cp?1()nnn1???1??n???1np?1?1?Cp?1?111232p?11pCp?1?()Cp?1???Cp?1() nnn1??1???n???limn??1np?120?1?Cp?1?p?11或：逆用等比数列求和公式：2p?1??1?1????原式?lim?1??1????1??????1???n??n??n?n????????1???1??1?p?1 ????p?1 个p?11??说明：要注意 p 是与 n 无关的正整数， ?1??n??不是无限项对某些分式求極限的题应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的题的形式以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求 lim(n?1?n??21n)n.??分析：当 n??时所求极限的题相当于 0??型，需要设法化为我们熟悉的解： lim(n?1?n??型．n)n?lim(n?1?n)(n?1?n)n)nn??(n?1?nn?1?1?1n?1n?12.?lim?limn??n??说明：对于这种含有根号的 0??型的极限可采取分子有理化或分母囿理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn?1?22n即为??型，也可以将分子、分母同除以 n的最高次幂即 n完成极限的计算．根據极限确定字母的范围例 已知 lim44n?2nnn???(m?2)?116，求实数 m 的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题我们仍然从求极限的題入手来解决． 解：lim44n?2n23nn???(m?2)?lim1?m?2?16????4?nn???116于是m?24?1 ，即?4?m?2?4,?6?m?2 ．n?m?2?说明：在解题过程中运用了逆向思维，由 lim 可