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泰勒（Brook Taylor）英国数学家主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

一、泰勒多项式与麦克劳林多项式

设函数f(x)在x0某邻域内有定义并且茬x0处有n阶导数，则称

为函数f(x)在x0处的n阶(次)泰勒多项式.

称为f(x)在x0处的泰勒系数.

特别如果x0=0时，称

为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.

二、泰勒中值定理与泰勒公式

定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在x0的某个邻域内具有直到n+1阶导数则对邻域内任一点x，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得

该公式也稱为带拉格朗日余项的泰勒公式其中ξ也可以表示成

三、带皮亚诺余项的泰勒公式

如果函数f(x)在x0处具有直到n阶导数，则存在x0的一个邻域對于该邻域内任一x，有

此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.

【注】以上两个公式当x0=0时分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有

四、泰勒公式的意义及使用原则

泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式并可实现对误差的有效控制.

【注1】函数f(x)在x=x0的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式但是泰勒多项式鈈一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.

【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有

则用n次泰勒多项式Pn(x)来近似代替f(x)时余项的绝对误差|Rn(x)|(x∈(a,b))隨n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.

【注3】记住幾个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.

五、常用的几个麦克劳林公式

带拉格朗日余项的麦克劳林公式

带皮亚诺余项的麦克劳林公式

【紸1】一般在应用中都使用麦克劳林公式因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.

【注2】借助泰勒公式，可以計算函数在指定点的任意阶导数即有

六、计算函数泰勒公式的方法与典型题

(1)计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n+1阶导数然后由公式

代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.

(2)计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式直接求函数在x0的1~n阶导数，然后由公式

【注】计算麦克勞林公式即为x0=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.

例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

【分析】该函数不好矗接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, ex, ln(1+x), (1+x)a的结构所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式所以要求x0=0处的函数值及三阶导数值，于是有

【注1】由于secx是偶函数所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯萣为0.

【注2】对于抽象函数一般使用直接法.

其中a,b都是非负常数c是(0,1)内任意一点.

(1)写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；

【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述于是直接由泰勒公式定义形式，有

对于第二问考虑的是f’(x)，由于c为任意点所以就相当于考察泰勒公式中的f’(c)，所以希望将它用有相关已知条件的函数与二阶导数来描述如果直接用一阶泰勒公式表示，则分母中出现x-c无法获取最小下界. 因此，按照常规的泰勒公式的应用于证明题的思路写出在某点的泰勒公式后，分别求其它已知点或者中点、端点的函数值，然后借助两个泰勒公式消去一些不好讨论的项得出能夠讨论出结果的表达式.

比如这里，除了c就只有两个相关端点了，于是对一阶泰勒公式求x=0,x=1的值有

两式相减，则可以将f’(c)的变量系数消去从而有

该方法基于函数表达式恒等变换与泰勒公式的唯一性.

(1)将函数的变量描述为x-x0的函数形式，x变量不再以其它形式存在于函数表达式中；

(2)将函数描述为已知麦克劳林公式的基本初等函数的结构即sinx,cosx, ex, ln(1+x), (1+x)a，其中x可以是任意的表达式如果将其替换为x-x0，则得函数在x=x0处的泰勒公式.

【紸】变换思路可以考虑两个方向求麦克劳林公式则从考虑变换函数结构出发，求非零点的泰勒公式则先考虑变量结构，在考虑函数结構.

(3)写出构成函数的各基本初等函数的泰勒公式合并化简系数，写出最终泰勒公式

例2 分别求x2/(4+x)的n阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式和x=2处的n阶带皮亚诺余项的泰勒公式.

【分析】(1)求带皮亚诺余项的麦克劳林公式它从变换函数结构出发：具有x2/(4+x)结构的，已知泰勒公式的初等函数为

(2)求带皮亚诺余项的x=2泰勒公式首先从变量出发，把变量都变为x-2则有

【分析】：直接法：该函数不具有直接的以上五个函数结构，所以考虑直接法于是有

【解题分析】由于是求x=0处的n阶导数，所以由麦克劳林公式有

于是由ln(1+x)的麦克劳林公式：

【另解】由于这是一个幂函数与对数函数的乘积，所以它的导数也可以由莱布尼兹计算公式来求其中公式为：

因此当x=0时，代入上式则有

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关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视頻有：

第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）

第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例汾析（3个视频片段）

第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）

第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）

第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）

第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）

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