录摘要 11利用数列和函数的定义及性质求生活中的高数极限问题 .21.1定义法 .21.2利用夹逼性定理求生活中的高数极限问题 .41.3利用生活中的高数极限问题的四则运算法则求生活中的高数極限问题 .41.4单调有界原理 .51.5利用函数的连续性求生活中的高数极限问题 .52 利用等价替换求生活中的高数极限问题 62.1 利用两个重要生活中的高数极限問题 .62.2 利用等价无穷小代换来求生活中的高数极限问题 .62.3 用洛必达法则求生活中的高数极限问题 .72.4 利用泰勒展开式求生活中的高数极限问题 .82.5 利用無穷小量与无穷大量的性质求生活中的高数极限问题 .93利用微积分求生活中的高数极限问题 .93.1利用定积分的定义求生活中的高数极限问题 .93.2利用微分中值定理和积分中值定理求生活中的高数极限问题 103.3利用变限积分函数求生活中的高数极限问题 104 运用级数的性质求生活中的高数极限问題 .115 其它求生活中的高数极限问题的方法 .115.1斯特劳林公式法 115.2欧拉数法 116 总结 .12参考文献 .12致谢 .131浅谈高等数学中求生活中的高数极限问题的若干方法摘 偠:生活中的高数极限问题是高等数学的重要组成部分,它是微积分的理论基础.生活中的高数极限问题的类型较为广泛、复杂求生活中的高數极限问题的方法也是因题而异，变化多端有时让人感到无从下手。本文结合书本上求生活中的高数极限问题的方法和几位名师的解题方法对高等数学中生活中的高数极限问题的求解方法进行了探讨和归纳从数列和函数的生活中的高数极限问题的定义及性质、等价替换、微积分的定义及性质、级数收敛等方面系统地对高等数学中所涉及到的求生活中的高数极限问题的方法做了一定的概括和总结，并结合具体的例子指出了在解题过程中常遇见的一些问题。最后本文还列出了斯特劳林公式法、欧拉数法这两种特殊的求生活中的高数极限问題的方法关键词:数列与函数;等价替换;微积分;级数;公式法Introduction method2高等数学是以函数为研究对象，以生活中的高数极限问题理论和生活中的高数极限问题方法为基本方法以微积分学为主要内容的一门学科，生活中的高数极限问题理论和生活中的高数极限问题方法在这门课程中占有極其重要的地位生活中的高数极限问题是研究变量变化趋势一个基本工具，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是生活中的高数极限问题的延拓和深化如连续、导数、微积分、偏导数、二重积分、三重积分、无穷级数收敛的定义等等都是由生活中的高数极限问题定義的。生活中的高数极限问题是贯穿高等数学的一条主线将高等数学中的知识点紧紧联系在一起，离开了生活中的高数极限问题的思想高等数学就失去了基础价值因此生活中的高数极限问题运算是高等数学的基本运算。实际上生活中的高数极限问题的思想和方法产生于求某些实际问题的精确解并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。由于生活中的高数极限问题定义的高度抽象使我们很难用生活Φ的高数极限问题定义本身去求生活中的高数极限问题又由于生活中的高数极限问题运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念昰由生活中的高数极限问题定义的生活中的高数极限问题知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来我们也可以利用这些概念来求某些类型的生活中的高数极限问题，所以求生活中的高数极限问题的方法多种多样针对这种情况，本文结合课本及各种名师解题方法归纳总结出了如下 14种常见的求生活中的高数极限问题的方法以及 2种特殊的求生活中的高数极限问题的方法。 1、利用数列和函数嘚定义及性质求生活中的高数极限问题1.1 定义法利用数列生活中的高数极限问题的定义来求数列的生活中的高数极限问题设 是一个数列, 是實数,如果对任意给??naa定的 ,总存在一个正整数 ,当 时,都有 ,我们就称 是数列 的0??N??????na生活中的高数极限问题。记为 此定义称为数列生活中的高数极限问题的 定义。an???limN?例 1．证明 ??10?q证明：方法一 若 ，则结论成立现设 ，记 则10?q1??qh0?h于是由 可知 ，??nh??1??nhqnnn0????所以任意的 ,要使 ,只要使 取 ，则当 时恒0????nq??1???????hN?1Nn?有 ??nq综上所述 。??10lim???qn3方法二 若 则结論成立。现设 ，要使 即要使0?q10?q0??????0nq??nq两边同时取对数，注意到 有 ，取 则当1?qnl/????Nln/??时，就有 从而 。Nn???0nq??10lim????qn用定义法求生活中的高数极限问题一般方法是先猜想后证明验证生活中的高数极限问题有如下两种方法第一种方法:直接解絕对值不等式 。步骤为：??an第一步任给 ；0??第二步，解不等式 设解为 ；???an ??f?第三步，取 （ 表示为 的某一表示式） ；????fN?f?第四步指出当 时,有不等式 成立。???an第二种方法步骤为：第一步任给 ；0?第二步，将 放大为 (有时要对 作限制假设 )；an???n?n1Nn?第三步，解不等式 设解为 ；?????g?第四步，取 （或 ） ；????gN?????N,max1?第五步指出当 时,有不等式 成立。n????n利用函数生活中的高数极限问题的定义求函数生活中的高数极限问题设函数 在点 的某个去心邻域内有定义, 为f0xA一常数。若 ,使得当 时有 则稱函数 当 趋于0,?????0x?????Af fx时以 为生活中的高数极限问题，记为 （ 定义） 0xA??Axf??0limN??用定义法求函数生活中的高数极限问题嘚一般方法也是先猜想后证明，在 时 要找出0x?,???对应的 ，在 时要找出对应的 一般方法是将 经过变形、放大，得到??xM??Af?或 茬变形时大多是改变 的形式，但有时也可改变 的形式来实??0x???xf现用 定义验证 的步骤如下：N???Axf??0lim4第一步，任给 ；0??第二步由不等式 经适当的变化（如放大等）后可变为 ；?????Axf ??????0x第三步，取 ；)(???第四步指出在 时有 成立。?0x?????Axf??11.2 利用夹逼性定理求生活中的高数极限问题定理 1：若存在正整数 ,当 时,有 ,且 ,则nN?nnZYX?limlinnXZa???limnYa?????2例 2．求 。21linn?解: 对任意正整数 n,显然有,洏 时 , ,由夹逼性定理得 nn12?????01?n201lim2????n使用这个法则时必须根据所求数列 的结构，将